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文档介绍
2014北京四中高考总复习集合的概念和运算知识梳理
数学高考总复习:集合的概念和运算 【考纲要求】 1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义; 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法; 3、 学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。 【知识网络】 集 合 集 合 表 示 法 集 合 的 关 系 集 合 的 运 算 描 述 法 图 示 法 列 举 法 相 等 包 含 交 集 并 集 补 集 子集、真子集 【考点梳理】 1、集合的概念: (1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2) 集合的分类: ① 按元素个数分:有限集,无限集; ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2} 表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线; (1) 集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。 2、两类关系: (1) 元素与集合的关系,用或表示; (2)集合与集合的关系,用,,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。 3、集合运算 (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xA},集合U表示全集; (2) 运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB), CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。 【典型例题】 类型一:集合的概念、性质与运算 例1、已知集合,,则=( ) A.{-1,1} B.{0} c.{-l} D.{-l,0} 答案:C 解析:集合, 所以,选C。 点评:集合需要通过求解一个指数不等式得到。 举一反三: 【变式】已知集合,,则 A. B. C. D. 答案: A 解析:集合表示一个正方形区域;集合表示一个圆形区域,且点只在中。 类型二:集合的两种关系 例2、已知集合, (1)若,求实数的值; (2)若,求实数的取值范围。 解析:, (1)因为,所以 (2) 因为,所以,或,所以,或 点评:数形结合是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面。 举一反三: 【高清课堂:集合 思考题1(1)】【变式】设2011∈{x,,x2},则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】由题意得x=-2011或x=-,所以集合{-2011,-}的真子集有22-1=3个.选A。 例3.(1)设全集U={不超过5的自然数},A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-7x+12=0},则A∩B= , A∪B= ,= ,= ; (2)设全集,已知,,则M∩N= , = 。 解析: (1)方法一: U={0,1,2,3,4,5},A={2,3},B={3,4},则 A∩B={3},A∪B={2,3,4},={0,1,3,4,5},={0,1,5}. 方法二:用韦恩图示: 由图知A∩B={3},A∪B={2,3,4},={0,1,3,4,5},={0,1,5}. (2)由不等式,得M=(-,1),由不等式,得N=(-1,+), 因而M∩N=(-1,1),,. 点评: 1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。 2. 关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简形式,再进行计算. 3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法,而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷. 举一反三: 【高清课堂:集合 例1(2)】【变式1】若集合A={y|y=3x+1},B={x|},则A∩B=( ) A.∅ B.[-1,0) C.(0,1] D.[-1,1] 【答案】C 【高清课堂:集合 思考题2】【变式2】设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y, x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①② 类型三:分类讨论的集合问题 例4.设函数的定义域为D。(1),求使的概率;(2),求使的概率. 解析:(1) 的所有可能为:(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2), (4,3)共计12种。 而 那么满足D=R的的所有可能为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,2),(3,3),(4,3)共计9种,∴其概率 (2)∴所有的点构成的区域的面积=12 而 满足构成的区域的面积为7,故所求概率. 点评:在一定条件约束下求参数的问题,体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍微涉及到一点概率知识。 举一反三: 【变式】已知集合, 若,求实数m的取值范围. 【答案】由不等式恒成立, 可得 , (※) (1)当,即时,(※)式可化为,显然不符合题意. (2)当时,欲使(※)式对任意x均成立,必需满足 即 解得 . 集合B是不等式的解集, 可求得, 结合数轴,只要即可,解得 .查看更多