【数学】2019届一轮复习人教A版不等式、推理与证明学案

【数学】2019届一轮复习人教A版不等式、推理与证明学案

第六章 不等式、推理与证明 第五节直接证明与间接证明 ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 思维过程 由因导果(顺推证法)‎ 执果索因(逆推证法)‎ 框图表示 P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论 →→…→ → ‎→…→ 文字语言 因为……，所以……，或由……得……，或“⇒”‎ 要证(欲证)……，只需证……，即证……‎ ‎2．间接证明——反证法 要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )‎ ‎(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”．( )‎ ‎(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )‎ 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝( )‎ A．2sin θ B．2cos θ C．sin 2θ D．cos 2θ 解析：选D cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ.‎ ‎3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是( )‎ A．假设三个内角都不大于60°‎ B．假设三个内角都大于60°‎ C．假设三个内角至多有一个大于60°‎ D．假设三个内角至多有两个大于60°‎ 解析：选B 根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.‎ ‎4.－2与－的大小关系是________．‎ 解析：假设－2>－，由分析法可得，‎ 要证－2>－，只需证＋>＋2，‎ 即证13＋2>13＋4，即>2.‎ 因为42>40，所以－2>－成立．‎ 答案：－2>－ ‎[考什么·怎么考]‎ 分析法是数学命题直接证明的重要方法，在高考中较少单独出现，但分析法的解题思想在高考中常常出现.‎ ‎1．若a，b∈(1，＋∞)，证明<.‎ 证明：要证<，‎ 只需证()2<()2，‎ 只需证a＋b－1－ab<0，‎ 即证(a－1)(1－b)<0.‎ 因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，‎ 即(a－1)(1－b)<0成立，‎ 所以原不等式成立．‎ ‎2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ 证明：要证＋＝，‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．‎ ‎2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ 高考中，经常以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法的原理，结合具体问题考查学生解决问题的能力.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2016·天津高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是 ‎❶ ❷‎ an和an＋1的等比中项.(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎❸ ❹ ‎ ‎(2)设a1＝d，Tn＝(－1)kb，n∈N*，求证：＜.‎ ‎❺ ❻‎ ‎[学审题]‎ ‎①想到an>0，且an＋1－an＝d；‎ ‎②想到b＝an·an＋1；‎ ‎③由cn＝b－b，结合bn与an的关系可得cn的关系式；‎ ‎④若想证{cn}是等差数列，想到只需让cn＋1－cn是个常数；‎ ‎⑤Tn表示{bn}的偶数项与奇数项平方差的和，结合③可得；‎ ‎⑥在⑤的基础上易得，进而可证．‎ 证明：(1)由题意得b＝anan＋1，‎ cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.‎ 因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，‎ 所以{cn}是等差数列．‎ ‎(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝2d· ‎＝2d2n(n＋1)．‎ 所以＝ ‎＝ ‎＝· ‎＜.‎ ‎[解题师说]‎ 掌握综合法证明问题的思路 ‎[冲关演练]‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)若C＝，求证：‎5a＝3b.‎ 证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 ‎(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，‎ 所以‎5a＝3b.‎ 反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具，体现了正难则反的思维方法，在高考中有所体现，既有选择题，也有解答题，属于中低档题.‎ ‎[典题领悟]‎ 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.‎ 证明：假设a，b，c均小于1，‎ 即a<1，b<1，c<1，‎ 则有a＋b＋c<3，‎ 而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，‎ 两者矛盾，所以假设不成立，‎ 故a，b，c至少有一个不小于1.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．反证法证明问题的3步骤 ‎2．反证法的适用范围 ‎(1)否定性命题；‎ ‎(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；‎ ‎(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；‎ ‎(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．‎ ‎[冲关演练]‎ 设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ 解：(1)设{an}的前n项和为Sn.‎ 则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，‎ 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)，‎ 当q≠1时，Sn＝，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，‎ 所以Sn＝ ‎(2)证明：假设数列{an＋1}是等比数列，‎ 则(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2，‎ 即a‎1a3＋a1＋a3＋1＝a＋‎2a2＋1，‎ 因为{an}是等比数列，公比为q，‎ 所以a‎1a3＝a，a2＝a1q，a3＝a1q2，‎ 所以a1(1＋q2)＝‎2a1q.‎ 即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1，‎ 这与已知q≠1矛盾，‎ 所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列．‎ 普通高中、重点高中共用 (高考难度一般，无须挖潜)‎ A级——基础小题练熟练快 ‎1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实数根”时，假设为( )‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实数根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实数根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实数根 解析：选A “至少有一个实数根”的否定是“一个实数根也没有”，即“没有实数根”．‎ ‎2．在△ABC中，sin Asin C0，‎ 即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，‎ 从而B>，故△ABC必是钝角三角形．‎ ‎3．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是( )‎ A．x2>2 B．x2>4‎ C．x2>0 D．x2>1‎ 解析：选C 因为x>0，‎ 所以要证<1＋，‎ 只需证()2<2，即证0<，‎ 即证x2>0，‎ 因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．‎ ‎4．设x，y， ∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝ ＋，则a，b，c三个数( )‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ 解析：选C 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋ ＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c＜6矛盾，‎ ‎∴a，b，c都小于2不成立．‎ ‎∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C.‎ ‎5．在等比数列{an}中，a10，则11，‎ 此时，显然数列{an}是递增数列，‎ 若a1<0，则1>q>q2，即00，则f(x1)＋f(x2)的值( )‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，‎ 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>0，则①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正确的序号是________．‎ 解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>，故①正确；‎ 当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．‎ 答案：①③④‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1．已知x，y， 是互不相等的正数，且x＋y＋ ＝1，求证：>8.‎ 证明：因为x，y， 是互不相等的正数，且x＋y＋ ＝1，‎ 所以－1＝＝>，①‎ －1＝＝>，②‎ －1＝＝>，③‎ 又x，y， 为正数，由①×②×③，‎ 得>8.‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ 解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.‎ ‎(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，‎ 只需要a＝a1·am，‎ 即(3n－2)2＝1·(‎3m－2)，‎ 即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.‎ 所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎3.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．‎ ‎(1)求证：EC∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EAC⊥平面PBC.‎ 证明：(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF，‎ 则AF＝CD，AF∥CD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ 则CF∥AD.‎ 又EF∥AP，且CF∩EF＝F，AP∩AD＝A，‎ ‎∴平面CFE∥平面PAD.‎ 又EC⊂平面CEF，‎ ‎∴EC∥平面PAD.‎ ‎(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.‎ ‎∵四边形ABCD是直角梯形，‎ 且AB＝2AD＝2CD＝2，‎ ‎∴AC＝，BC＝.‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，‎ ‎∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.‎ ‎∵AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC.‎ ‎4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.‎ ‎(1)证明：是f(x)＝0的一个根；‎ ‎(2)试比较与c的大小；‎ ‎(3)证明：－20，‎ 由00，‎ 知f>0与f＝0矛盾，‎ ‎∴≥c，又∵≠c，‎ ‎∴>c.‎ ‎(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，‎ ‎∴b＝－1－ac.‎ 又a>0，c>0，∴b<－1.‎ 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－＝<＝x2＝，‎ 即－<.‎ 又a>0，∴b>－2，∴－2

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