2015高考数学人教A版本（9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2013·陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立主体中数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的左视图为(　　)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由俯视图知左视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1，选C.‎ ‎2．(文)(2013·北京东城区统一检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．75＋2　　　 　 B．75＋4 C．48＋4 D．48＋2 ‎[答案]　B ‎[解析]　由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面面积之和为2××3＝27，四个侧面的面积之和是(3＋4＋5＋)×4＝48＋4，故表面积是75＋4.‎ ‎(理)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．48　　　　　　　　　　 B．32＋8 C．48＋8 D．50‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4.‎ 如图，两底面等腰梯形的面积 S1＝2S梯形ABCD＝2××(2＋4)×4＝24，‎ 作D1E⊥A1B1，则D1E＝4，A1E＝1，∴A1D1＝，‎ ‎∴梯形底面周长为4＋2＋2＝6＋2，‎ ‎∴侧面积S2＝(6＋2)×4＝24＋8，‎ ‎∴表面积S＝S1＋S2＝48＋8.‎ ‎3．(文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　　)‎ A．32 B．16＋16 C．48 D．16＋32 ‎[答案]　B ‎[解析]　‎ 由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图：‎ ‎∵AO＝2，OB＝2，‎ ‎∴AB＝2.‎ 又∵S侧＝4××(4×2)＝16，‎ S底＝4×4＝16，‎ ‎∴S表＝S侧＋S底＝16＋16.‎ ‎(理)(2013·昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．1＋ B．2＋2 C. D．2＋ ‎[答案]　D ‎[解析]　‎ 依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面边长为1，PD＝1，PD⊥平面ABCD，S△PAD＝S△PCD＝×1×1＝，S△PAB＝S△PBC＝×1×＝，S四边形ABCD＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋，选D.‎ ‎4．(2012·广东文，7)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　)‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查三视图及圆锥、球的体积公式，由三视图知，该几何体是由一个半球与一个圆锥的组合体，半球半径为3，圆锥底面半径为3，母线长为5，所以其体积V＝×π×33＋×π×32×4＝30π.‎ ‎[点评]　解决此类问题，应先由三视图确定该几何体形状，(依据是长对正，高平齐，宽相等)再具体确定各尺寸，角度等．‎ ‎5．(文)(2013·新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π ‎[答案]　A ‎[解析]　该几何体是一个组合体，其中上面是一个长、宽、高分别为4,2,2的长方体，下面是底面半径为2，高为4的半圆柱，故体积V＝V上＋V下＝4×2×2＋×π×22×4＝16＋8π.‎ ‎(理)(2013·山西师大附中期中，长春市调研)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　该几何体由底半径为1的半圆锥与四棱锥组成，且高都为，四棱锥底面为正方形，边长为2，因此该几何体体积为V＝·(·π·12)·＋·(2×2)×＝＋＝，故选A.‎ ‎6.‎ ‎(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为 ‎，则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为，故为锥体，∴S底＝1，A中为三角形，此时其底面积为，舍去；B为个圆，底面积为，也舍去，C为圆，其面积为π舍去，故只有D成立．‎ ‎[点评]　如果不限定体积为 ，则如图(1)在三棱锥P－ABC中，AC⊥BC，PC⊥平面ABC，AC＝BC＝PC＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA与POB截下一角，OA⊥OB，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·武汉武昌区联考)已知某几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．‎ ‎[答案]　26π ‎[解析]　由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的全面积S＝π×12＋π×32＋π×(1＋3)×＝26π.‎ ‎8．(文)(2012·北京东城综合练习)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由三视图知原几何体是如图所示的三棱柱．‎ 则V＝Sh＝××1×＝1.‎ ‎(理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，梯形两底边长为1和2，高为2，棱柱的高为1，‎ ‎∴体积V＝×(1＋2)×2×1＝3.‎ ‎9．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．‎ ‎[答案]　3π ‎[解析]　此几何体是一个半球，所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积，球半径为1，故所求表面积为S＝2π＋π＝3π.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2012·沈阳质量监测)已知一个四棱锥P－ABCD的三视图(主视图与左视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角线的正方形)如下，E是侧棱PC的中点．‎ ‎(1)求四棱锥P－ABCD的体积；‎ ‎(2)求证：平面APC⊥平面BDE.‎ ‎[解析]　(1)由三视图可知，AB＝BC＝1，PC⊥平面ABCD，且PC＝2，‎ 又底面ABCD是正方形，故S正方形ABCD＝1，‎ 所以VP－ABCD＝×1×2＝.‎ ‎(2)证明：因为底面ABCD是正方形，‎ 所以对角线AC⊥BD，‎ 又PC⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，‎ 故BD⊥PC，‎ 又PC∩AC＝C，所以，BD⊥平面APC.‎ 又BD⊂平面BDE，‎ 故平面APC⊥平面BDE.‎ ‎(理)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、‎ G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.‎ ‎(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；‎ ‎(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．‎ ‎[解析]　(1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，‎ ‎∴PD⊥平面ABCD，‎ 又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.‎ ‎∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.‎ 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，‎ ‎∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.‎ 又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.‎ ‎(2)不妨设MA＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2，‎ 又∵PD⊥平面ABCD，‎ 所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.‎ ‎∵MA⊥平面ABCD，∴MA⊥AD，‎ 又ABCD为正方形，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面MAB，‎ 又PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，‎ 三棱锥VP－MAB＝××2＝.‎ 所以VP－MABVP－ABCD＝14.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)(2013·辽宁鞍山一模)几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(　　)‎ A．3π B．2π C. D．以上都不对 ‎[答案]　C ‎[解析]　该几何体是底面半径为1，母线长为2的圆锥，设外接球半径为R，则有(－R)2＋1＝R2，解得R＝.故S球＝4π×()2＝.‎ ‎(理)(2013·淮北第一次检测)已知某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．π＋4 B. C. D．π＋ ‎[答案]　B ‎[解析]　该几何体是由过轴的截面所截得的半个圆锥和一个三棱锥所组成的组合体．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为2.‎ V＝×(×π×12×2)＋×(×2×2)×2＝.‎ ‎12．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是(　　)‎ A.＋π B．3＋π C．9＋π D．9＋π ‎[答案]　C ‎[解析]　由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V＝π×0.82×2＋6××22×1.5＝9＋，故选C.‎ 二、填空题 ‎13．(文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为‎10cm的扇形，则圆锥的体积为________．‎ ‎[答案]　96πcm3‎ ‎[解析]　扇形弧长l＝10×＝12π，设圆锥底面半径为R，高为h，则2πR＝12π，∴R＝6，∴h＝＝8，‎ ‎∴体积V＝πR2h＝96π.‎ ‎(理)(2013·长春三校)在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝2，∠BAC＝，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　‎ 如图，依题意可知，球心O到平面ABC的距离为AA′＝1，平面ABC所在圆的半径为BC＝，则球的半径为＝2，则球的体积为×π×23＝.‎ ‎[解法探究]　一般地，在题设条件中有两两垂直的三条线段时，常考虑长方体进行补形．‎ ‎∵AA′⊥平面ABC，∠BAC＝90°，‎ ‎∴可将三棱柱ABC－A′B′C′补成长方体ABEC－A′B′E′C′，则此长方体内接于球；‎ 设球半径为R，则2R＝ ‎＝＝＝4，∴R＝2，‎ ‎∴V球＝πR3＝.‎ 三、解答题 ‎14．(文)多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．‎ ‎　 　‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：PA⊥平面PDC.‎ ‎[解析]　由多面体PABCD的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰直角三角形，PA＝PD＝，且平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)连接AC，则F是AC的中点，‎ 又∵E是PC的中点，‎ ‎∴在△CPA中，EF∥PA，‎ 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.‎ ‎∵△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝.‎ 即PA⊥PD.又CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PDC.‎ ‎(理)(2013·广州调研)已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．‎ ‎(1)求证：AD⊥PC；‎ ‎(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．‎ ‎[解析]　‎ ‎(1)由俯视图可知点P在平面ABCD上的射影是线段CD的中点E，如图，连接PE，则PE⊥平面ABCD.‎ ‎∵AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴AD⊥PE.‎ ‎∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，‎ CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，‎ ‎∴AD⊥平面PCD.‎ ‎∵PC⊂平面PCD，‎ ‎∴AD⊥PC.‎ ‎(2)依题意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，‎ 在Rt△PED中，PE＝＝.‎ 过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，‎ ‎∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥PE.‎ ‎∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，‎ ‎∴AB⊥平面PEF.‎ ‎∵PF⊂平面PEF，‎ ‎∴AB⊥PF.‎ 依题意得EF＝AD＝2.‎ 在Rt△PEF中，PF＝＝3，‎ ‎∴△PAB的面积S＝·AB·PF＝6.‎ ‎∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6.‎ 考纲要求 ‎1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．‎ ‎3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ 补充说明 ‎1．特殊的四棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．‎ ‎2．正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．‎ 正棱锥的性质：‎ ‎①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形的高叫做棱锥的斜高．‎ ‎②‎ 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．‎ ‎3．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．‎ 正棱台的性质：‎ ‎①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，斜高都相等．‎ ‎②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；‎ ‎③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；‎ ‎④两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．‎ ‎4．圆柱的结构特征 平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．‎ ‎①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫做等边圆柱．‎ ‎②用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形．也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大．‎ ‎5．圆锥的结构特征 ‎①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形．‎ ‎6．圆台的结构特征 ‎①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形．‎ ‎7．(1)平行投影的投影线相互平行．‎ ‎(2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：‎ ‎①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；‎ ‎②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；‎ ‎③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；‎ ‎④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；‎ ‎⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，如图＝.‎ ‎8．侧(表)面展开 多面体及旋转体沿表面或侧面最短路程问题，一般用侧(或表)面展开图解决．‎ ‎9．三视图的画法要求 ‎(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出．‎ ‎(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽，主左一样高．‎ 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断，还要特别注意观察的方位．‎ 备选习题 ‎1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为(　　)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，因此位于俯视图的左侧；从左侧向右看时在观察者右侧，因此在俯视图中应位于靠近观察者的一侧，故俯视图为C.‎ ‎2．(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．180　　 　 B．200　　 　‎ C．220　　 　 D．240‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由三视图可知，此几何体是一个横放的四棱柱，底面梯形的面积为＝20，‎ 梯形的腰长为＝5，‎ 侧面面积和为2×10＋2×(5×10)＋8×10＝200，‎ 故四棱柱的表面积为2×20＋200＝240.‎ ‎3．(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m3)．(　　)‎ A．4＋2 B．4＋ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB＝BC＝，AC＝2的△ABC绕AC边转动到△PAC位置(平面PAC⊥‎ 平面ABC)所形成的几何体，故其体积V＝×(×2×2)×2＝.‎ ‎4．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 如右图所示，连接OA、OB(O为球心)．‎ ‎∵AB＝2，∴△OAB为正三角形．‎ 又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，‎ 且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．‎ ‎∴BO⊥SC，AO⊥SC.‎ 又AO∩BO＝O，∴SC⊥平面ABO.‎ ‎∴VS－ABC＝VC－OAB＋VS－OAB＝·S△OAB·(SO＋OC)‎ ‎＝××4×4＝，故选C.‎ ‎5.‎ 如图，已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面边长为‎2cm，高为‎5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.‎ ‎[答案]　13‎ ‎[解析]　如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A‎1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.‎