高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练

高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练

‎2015高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练 ‎　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 圆锥曲线的综合问题 ‎2、4、6、11‎ 直线与圆锥曲线的综合问题 ‎3、8、9、14‎ 圆与圆锥曲线的综合问题 ‎7、10、12、13‎ 圆锥曲线与其他内容的综合 ‎1、5‎ 一、选择题 ‎1.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为(　D　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:设D(0,b),则=(-c,-b),‎ =(-a,-b),=(c,-b),‎ 由3=+2得-3c=-a+2c,‎ 即a=5c,‎ ‎∴e==.‎ 故选D.‎ ‎2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　A　)‎ ‎(A) (B)4 (C)3 (D)5‎ 解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),‎ ‎∴c=3,b2=c2-a2=5.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 焦点(3,0)到y=±x的距离d==.‎ 故选A.‎ ‎3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为(　A　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),‎ 将y=1-x代入ax2+by2=1‎ 得(a+b)x2-2bx+b-1=0,‎ 故x1+x2=,x0=,‎ ‎∴y1+y2=2-=,y0=,‎ ‎∴k===.‎ 故选A.‎ ‎4.(2013山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆+=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为,则双曲线-=1的离心率e的值是(　B　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:设椭圆的半焦距为c1,‎ 在椭圆中当x=c1时,+=1,‎ y2=b21-=,‎ ‎∴y=±.‎ ‎∴=,‎ 即a2=4b2,‎ 设双曲线的半焦距为c2,‎ ‎∴在双曲线中=a2+b2=5b2,‎ ‎∴e===.‎ 故选B.‎ ‎5.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(　D　)‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)5‎ 解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,‎ 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,‎ 则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,‎ 解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,‎ 代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,‎ 两边同除以a2得e2-6e+5=0,‎ 解得e=1或e=5.‎ 又e>1,所以e=5.故选D.‎ ‎6.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈0,,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则(　B　)‎ ‎(A)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值 ‎(B)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值 ‎(C)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大 ‎(D)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小 解析:设AD=1,则AB=2,DC=2-2cos θ,‎ 在△ABD中,由余弦定理得BD=,‎ e1==,θ∈0,,‎ 所以随着角度θ的增大,e1减小;‎ 又e2===,‎ ‎∴e1e2==1,故选B.‎ ‎7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为(　B　)‎ ‎(A)x±y=0 (B)2x±y=0‎ ‎(C)4x±y=0 (D)x±2y=0‎ 解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连结OT、PF′.‎ ‎∵FT为圆的切线,‎ ‎∴FT⊥OT,且|OT|=a,‎ 又∵T、O分别为FP、FF′的中点,‎ ‎∴OT∥PF′且|OT|=|PF′|,‎ ‎∴|PF′|=2a,‎ 且PF′⊥PF.‎ 又|PF|-|PF′|=2a,‎ ‎∴|PF|=4a.‎ 在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,‎ 即16a2+4a2=4c2,∴=5.‎ ‎∴=-1=4,∴=2,‎ 即渐近线方程为y=±2x,‎ 即2x±y=0.故选B.‎ 二、填空题 ‎8.(2012年高考重庆卷)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=　　　　. ‎ 解析:由 消去y得x=±a.‎ 又PF1⊥x轴,∴a=c,∴e==.‎ 答案: ‎9.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是　　　　. ‎ 解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,‎ 当t≠0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为 =,‎ 即4x-ty-t=0,‎ 由 得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0,‎ 解得t<-或t>.‎ 答案:(-∞,-)∪(,+∞)‎ ‎10.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为　　　　. ‎ 解析:如图,由题知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°,‎ ‎∴∠AOF=60°.‎ 又OA=a,OF=c,‎ ‎∴==cos 60°=,‎ ‎∴=2.‎ 答案:2‎ ‎11.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于　　　　. ‎ 解析:设A(x0,y0),‎ ‎∵A在抛物线上,‎ ‎∴x0+=p,‎ ‎∴x0=,‎ 由=2px0得y0=p或y0=-p.‎ ‎∴双曲线渐近线的斜率==2.‎ ‎∴e===.‎ 答案: 三、解答题 ‎12.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.‎ 解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,‎ 圆心C(2,-),半径r= 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),‎ 则 ‎∴ ‎∴所求椭圆的方程是+=1.‎ ‎(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎|F2C|==)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆于M、N两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若⊥(O为坐标原点),求m的值;‎ ‎(3)若点P的坐标是(4,0),试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意知,圆D:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,‎ 故圆D与x轴交于两点(3,0),(1,0),‎ 所以在椭圆中c=3或c=1,‎ 又b2=3,‎ 所以a2=12或a2=4(不满足a>,舍去),‎ 于是,椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 直线l与椭圆C方程联立 化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,‎ ‎∴y1+y2=,y1y2=,‎ ‎∴x1+x2=m(y1+y2)+6=,‎ x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9‎ ‎=++9‎ ‎=.‎ ‎∵⊥,‎ ‎∴·=0,‎ 即x1x2+y1y2=0得=0,‎ 所以m2=,m=±.‎ ‎(3)S△PMN=|FP|·|y1-y2|‎ ‎=·1· ‎= ‎=2 ‎=2≤2=1.‎ 当且仅当m2+1=3,‎ 即m=±时等号成立.‎ 故△PMN的面积存在最大值1.‎ ‎14.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为+=1(a>b>0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A、B.‎ ‎(1)求椭圆Ω的方程;‎ ‎(2)若椭圆Ω:+=1(a>b>0)在点(x0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;‎ ‎(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).‎ ‎(1)解:椭圆Ω的焦点是(-1,0),‎ 故c=1,又=,‎ 所以a=2,b==,‎ 所以所求的椭圆Ω方程为 +=1.‎ ‎(2)解:设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),‎ 则切线AM、BM的方程分别为 +=1,+=1.‎ 又两切线均过点M,‎ 所以x1+y1=1,x2+y2=1,‎ 即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,‎ 故直线AB的方程是x+y=1,‎ 显然直线x+y=1恒过点(1,0),‎ 故直线AB恒过定点C(1,0).‎ ‎(3)证明:将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得 ‎3-y+12+4y2-12=0,‎ 即+4y2-2ty-9=0,‎ ‎∴y1+y2=,‎ y1y2=,‎ 不妨设y1>0,y2<0,‎ ‎|AC|= ‎= ‎=y1,‎ 同理|BC|=-y2,‎ ‎∴+=·- ‎=· ‎=-· ‎=-· ‎=· ‎=,‎ 即+为定值.‎ 大题冲关集训(五)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.‎ ‎(2013福师大附中模拟)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上.‎ ‎(1)求抛物线C1的方程及其准线方程;‎ ‎(2)过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM,PN,切点为M,N.若PM,PN的斜率乘积为m,且m∈[2,4],求|OP|的取值范围.‎ 解:(1)C1的焦点为F0,,‎ 所以=0+1,p=2.‎ 故C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.‎ ‎(2)任取点P(2t,t2),设过点P的C2的切线方程为 y-t2=k(x-2t).‎ 由得x2-2kx+4tk-2t2+2=0.‎ 由Δ=(-2k)2-4(4tk-2t2+2)=0,‎ 化简得k2-4tk+2t2-2=0,‎ 设PM,PN斜率分别为k1,k2,‎ 则m=k1k2=2t2-2,‎ 因为m∈[2,4],所以t2∈[2,3],‎ 所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12,21],‎ 所以|OP|∈[2,].‎ ‎2.(2013河南洛阳一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A、B,求△OAB面积的最大值.‎ 解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,‎ 因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,‎ 故有=b,‎ 所以b=.‎ 又e==,所以有a2=3c2=3(a2-b2),‎ 所以a2=3,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0),‎ 则y0=kx0,‎ 设AB交x轴于点D,如图,‎ 由对称性知:‎ S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=k.‎ 由解得=.‎ 所以S△OAB=k·=≤=.‎ 当且仅当=3k,即k=时取等号.‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎3.‎ ‎(2013泉州五中模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(a,)到焦点距离为1.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)直线y=kx+2交C于M,N两点,Q是线段MN的中点,过Q作x轴的垂线交C于点T.‎ ‎①证明:抛物线C在点T处的切线与MN平行;‎ ‎②是否存在实数k使·=0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)依据抛物线的定义知,P到抛物线焦点F的距离为PF=+=1,所以p=,‎ 抛物线的方程为x2=y.‎ ‎(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),‎ 联立得2x2-kx-2=0,‎ 所以x1+x2=,x1·x2=-1,‎ 所以x0==.‎ 因为y=2x2,所以y′=k,‎ 所以抛物线y=2x2在T点处的切线与MN平行.‎ ‎②由①可得T,,‎ 则·=x1-x2-+y1-y2- ‎=(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)++2-2‎ ‎=-(k2-4)(k2+16)=0,‎ 解得k=±2,所以存在k=±2满足·=0.‎ ‎4.(2012年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)点Q(x0,y0)(-20,‎ ‎∴关于m的方程m2-m+2-3=0有解.‎ ‎∴在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.‎ ‎7.(2013年高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.‎ 解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,‎ ‎∴=,得c=1,‎ ‎∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由x2=4y得y′=x,‎ ‎∴切线PA:y-y1=x1(x-x1),‎ 有y=x1x-+y1,而=4y1,‎ 即切线PA:y=x1x-y1,‎ 同理可得切线PB:y=x2x-y2.‎ ‎∵两切线均过定点P(x0,y0),‎ ‎∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,‎ 由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,‎ ‎∴直线AB的方程为y0=xx0-y,‎ 即y=x0x-y0.‎ ‎(3)设点P的坐标为(x′,y′),‎ 由x′-y′-2=0,‎ 得x′=y′+2,‎ 则|AF|·|BF|=· ‎=· ‎=· ‎=(y1+1)·(y2+1)‎ ‎=y1y2+(y1+y2)+1.‎ 由 得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,‎ 有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,‎ ‎∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1‎ ‎=y′2+(y′+2)2-2y′+1‎ ‎=2y′+2+,‎ 当y′=-,x′=时,‎ 即P,-时,|AF|·|BF|取得最小值.‎