【数学】河北省邢台市四校2019-2020学年高一下学期期中考试试题 （解析版）

【数学】河北省邢台市四校2019-2020学年高一下学期期中考试试题 （解析版）

河北省邢台市四校2019-2020学年高一下学期期中考试 数学试题 第I卷（选择题，共60分)‎ 一、单选题（每小题5分，且每题只有一个正确选项）‎ ‎1.设为等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的求和公式 ‎ 化简得，根据等差数列通项公式得 解方程组得 ‎ 所以选C ‎2.在 中，分别为角所对的边，，面积，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，∴，‎ ‎∵，面积，∴，∴，解得，‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ ‎，即.‎ 故选：B ‎3.在中，已知的平分线,则的面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 为角平分线 ‎ ‎，即 ‎ ‎ 则 本题正确选项：‎ ‎4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵不等式的解集是，‎ ‎∴是方程的两根，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴不等式为，‎ 解得，‎ ‎∴不等式的解集为．故选A．‎ ‎5.若正实数满足，则（ ）‎ A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 ‎【答案】C ‎【解析】因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．‎ ‎6.已知数列，则该数列第项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项.‎ ‎【详解】由数列，可发现其项数为 ‎，则前个括号里共有项，前个括号里共有项，‎ 故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为，‎ 所以第个括号里的第项是.‎ 故选：C.‎ ‎7.若点和都在直线上，又点和点，则（ ）‎ A. 点和都不在直线上 B. 点和都在直线上 C. 点在直线上且不在直线上 D. 点不在直线上且在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得：，‎ 易得点满足由方程组得，两式相加得，‎ 即点 在直线上，故选B.‎ ‎8.点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)‎ A. 3，－3 B. 5，2‎ C. 5，1 D. 7，1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】直线，即，‎ 直线是过直线和交点的直线系方程，‎ 由，得，可得直线经过定点，‎ 当直线与垂直时，‎ 点到直线的距离最大，‎ 的最大值为，‎ 此时轴，‎ 可得直线斜率不存在，即.‎ 故选：C.‎ ‎9.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，‎ 解得a1=3．故选B．‎ ‎10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前项和为，，则当取最小值时，的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 4或5 D. 5或6‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵是等比数列且，，公比，‎ 可得：，，‎ 解得或（舍去），∴，‎ 则，，‎ 则数列的前项和，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以或5时，取最小值．‎ 故选：C．‎ 二、多选题（每小题5分，且每题有两个或两个以上正确选项，漏选得2分，错选或不选不得分）‎ ‎11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 ‎【答案】ABC ‎【解析】∵，且公比为整数，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，或（舍去）故A正确，‎ ‎，∴，故C正确；‎ ‎∴，故数列是等比数列，故B正确；‎ 而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选：ABC.‎ ‎12.在三角形中，下列命题正确的有（ ）‎ A. 若，，，则三角形有两解 B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则一定是等边三角形 D. 若，则的形状是等腰或直角三角形 ‎【答案】BCD ‎【解析】因为，，‎ 所以由正弦定理得，‎ 所以角只有一个解，故A错误 由，即 ‎ 所以，即 所以，所以，故一定钝角三角形 故B正确 因为 所以 所以，故C正确 因为 所以 所以 因为 所以，所以或 所以或，所以的形状是等腰或直角三角形 故选：BCD 第II卷（非选择题，共90分)‎ 三、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知直线与互相平行，则实数的值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵直线与互相平行，‎ ‎∴，由，得或，‎ 由得，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14.在数列中，已知，，则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 故可得，‎ 累加可得，又因为，‎ 则，故可得，‎ 则 ‎.故答案为：.‎ ‎15.设的内角所对的边分别为，且满足，的周长为，则面积的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，故可得 即，整理得，故可得.‎ 又三角形为直角三角形，故可得 即解得，当且仅当时取得最大值.‎ 则其面积.‎ 故三角形面积的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知两个正数满足,则使不等式恒成立的实数的范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知两个正数x，y满足，‎ 则，当时取等号；‎ 的最小值是，不等式恒成立，．‎ 故答案为．‎ 四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）‎ ‎17.已知直线经过点（－2，5），且斜率为 ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ 解：（1）由点斜式方程得，，∴.‎ ‎（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，‎ 解得：或.‎ ‎∴或 ‎18.在中，，，分别为内角所对的边，已知，其中为外接圆的半径，，其中为的面积．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ 解：（1）由正弦定理得，，又，‎ ‎，则.‎ 由，由余弦定理可得，‎ ‎，又，，‎ ‎.‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 又，，‎ 又 ‎ ‎.‎ ‎19.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ 解：（1）由等比数列通项公式得：‎ ‎（2）由（1）可得：‎ ‎20.已知不等式的解集为或.‎ ‎（1）求；（2）解关于的不等式 解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，‎ 所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；‎ 由根与系数的关系，得，‎ 解得a＝1，b＝2；‎ ‎（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+‎2c＜0，‎ 即（x﹣2）（x﹣c）＜0；‎ ‎①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；‎ ‎②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；‎ ‎③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．‎ ‎21.已知数列满足.‎ ‎（1）证明数列为等差数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ 解：（1）当时，；‎ 当时，由①；‎ 得②，‎ ‎①-②得，‎ 当时符合，即，‎ 则，所以数列为等差数列.‎ ‎（2）由题可知.‎ 所以③，‎ ‎④，‎ ‎③-④得，‎ 所以.‎ ‎22.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.‎ ‎（1）若，求的周长（结果精确到‎0.01米）；‎ ‎（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.‎ 解：（1）在中，有正弦定理可得，‎ ‎,‎ 的周长为米.‎ ‎（2）在中，有余弦定理得 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形 ‎，.‎