北师大版中考数学模拟卷解析

北师大版中考数学模拟卷解析

一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1、2014的绝对值等于（ ）‎ A、2014 B、－2014 C、 D、‎ ‎2、下列说法中：①邻补角是互补的角；②数据7、1、3、5、6、3的中位数是3，众数是4；③的算术平方根是5；④点（1，）在第四象限，其中正确的个数是（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0 ‎ 建 设 美 丽 揭 阳 ‎3、一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）‎ A．美 B．丽 C．揭 D．阳 ‎4、已知一组数据5、7、、4的众数为4，则这组数据的平均数为（ ）‎ A、4 B、5 C、6 D、7‎ ‎5、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　）‎ A．‎ ‎50°‎ B．‎ ‎60°‎ C．‎ ‎70°‎ D．‎ ‎80°‎ ‎6、已知方程组，则的值为（ ）‎ A． B．‎0 ‎ C．2 D．3‎ ‎7、下列图形中，由，能使成立的是（　　）‎ A B C D ‎8、在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）‎ A． B． C． D、‎ ‎9、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ） A．6 B．‎3 ‎‎ ‎ C． D．‎ ‎10、如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（ ）‎ A B C D E 第9题图 D C E F A B A．1∶3 B．2∶‎3 ‎ C．∶2 D．∶3 ‎ 二、填空题：（每小题4分，共24分）‎ ‎11、若代数式可化为，则的值是 ‎ ‎12、函数y=中，自变量x的取值范围是　 　‎ ‎13、如图4，平行四边形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．‎ ‎14、如右图，直线AB交双曲线于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12.则k的值为___________.‎ ‎15、若关于的函数与轴仅有一个公共点，则实数的值为 .‎ ‎16、在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。已知二进位制与十进位制的比较如下表：‎ 十进位制 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ 二进制 ‎0‎ ‎1‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎100‎ ‎101‎ ‎110‎ ‎…‎ 请将二进制数10101010（二）写成十进制数为 .‎ 三．解答题（每小题6分，共18分）‎ ‎17、先化简，再求值：÷，其中是方程的一个解．‎ ‎18．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号） ‎ ‎19、为了了解学生课业负担情况，某初中在本校随机抽取50名学生进行问卷调查，发现被抽查的学生中，每天完成课外作业时间，最长不足120分钟，没有低于40分钟的．并将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图，如图10所示．‎ ‎（1）请补全频数分布直方图；‎ ‎（2）被调查50名学生每天完成课外作业时间的中位数在 组（填时间范围）；‎ ‎（3）若该校共有1200名学生，请估计该校大约有 名学生每天完成课外作业时间在80分钟以上（包括80分钟）．‎ 四、解答题（二）（每小题7分，共21分）‎ ‎20、先阅读理解下面的例题，再按要求解答：‎ 例题：解一元二次不等式.‎ 解：∵，‎ ‎∴.‎ 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ‎（1） （2）‎ 解不等式组（1），得，‎ 解不等式组（2），得，‎ 故的解集为或，‎ 即一元二次不等式的解集为或.‎ 问题：（1）请直接写出一元二次不等式：的解集是 ‎ ‎（2）求分式不等式的解集.‎ ‎21、如图６，等腰△ＯＡＢ的顶角∠ＡＯＢ＝３０°，点Ｂ在轴上，腰ＯＡ＝４．‎ ‎（１）Ｂ点的坐标为：　　　　　　；‎ ‎（２）画出△ＯＡＢ关于轴对称的图形△ＯＡ１Ｂ１（不写画法，保留画图痕迹），求出 Ａ1 的坐标;‎ ‎（３）则经过Ａ１点的反比例函数解析式为 ．‎ y ‎1‎ x ‎1‎ O 图6‎ B A ‎22、如图， 在中，∠BAC=90°,是边上的中线，过点作，过点作，与、分别交于点、点，连结．‎ ‎（1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AB=AO，求tan∠OAD的值．‎ 五、解答题（三）（每小题9分，共27分）‎ ‎23、如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. ‎ ‎(1)DE与圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；‎ ‎(2)若AD、AB的长是方程的两个根，求直角边BC的长。‎ ‎24、由于受甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元．‎ ‎（1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？‎ ‎（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．‎ ‎25、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．‎ ‎（1）则∠ACB= 度；‎ ‎（2）写出A，B两点的坐标；‎ ‎（3）试确定此抛物线的解析式；‎ ‎（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2013•怀集县二模）（1）根据两点坐标，构造直角三角形，求出两直角边的长，然后再求斜边的长．‎ 两点坐标 构造 直角三角形 一直角边长 另一直角 边长 斜边长 A（1，-2） B（4，2）‎ RT△ABC AC=4-1=3‎ BC=2-（-2）‎ AB=‎ ‎(4−1)2+(2−(−2))2‎ ‎＝5‎ M（-4，2） N（1，-3）‎ RT△‎ MPN PN=1-（-4）=5‎ PM=2-（-3）=5‎ MN=‎ ‎[1−(−4)]2+[2−(−3)]2‎ ‎=5‎ ‎2‎ ‎（2）观察表格中的关系，探究任意两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2）与P1、P2之间的距离P1P2有什么关系？并证明你的结论． （3）求函数y＝‎ ‎(x−1)2+4‎ ‎+‎ ‎(x−4)2+4‎ 的最小值． ‎ 在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．‎ ‎（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．‎ ‎（2）延长BC交l于T，比较AT与AM、AN的大小即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎∵AB=40km，AC=km，‎ ‎∴BC===16（km）．‎ ‎∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，‎ ‎∴×60=12（千米/小时）．‎ ‎（2）作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．‎ ‎∵∠2=60°，‎ ‎∴∠4=90°﹣60°=30°．‎ ‎∵AC=8（km），‎ ‎∴CS=8sin30°=4（km）．‎ ‎∴AS=8cos30°=8×=12（km）．‎ 又∵∠1=30°，‎ ‎∴∠3=90°﹣30°=60°．‎ ‎∵AB=40km，‎ ‎∴BR=40•sin60°=20（km）．‎ ‎∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．‎ 易得，△STC∽△RTB，‎ 所以=，‎ ‎，‎ 解得：ST=8（km）．‎ 所以AT=12+8=20（km）．‎ 又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，‎ ‎∵19.5＜AT＜20.5‎ 故轮船能够正好行至码头MN靠岸．‎ ‎25、图①是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，MN与CC2交于点G,且图①被直线MN分成面积相等的上、下两部分．‎ 第24题图 图②‎ M G D1‎ A1‎ B1‎ C1‎ D A B C N C D E C2‎ D2‎ A1‎ D1‎ C1‎ A B F 图①‎ B1‎ M ‎⑴求的值；‎ ‎⑵求MB、NB的长；‎ ‎⑶将图①沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图②）后，求两点M、N 间的距离．‎ 解：⑴∽,且,‎ ‎∴,………………………………………………………2分 即,‎ 整理，得,两边同除以ＭＢ·ＮＢ得，‎ ‎．…………………………………………………………4分 ‎⑵由题意，得即又由⑴可知………………………………………………5分 ‎∴分别是方程的两个实数根．…………………6分 解方程，得 ‎…………………………………………………7分 ‎………………………………8分 ‎⑶由⑵知，……9分 ‎∵图 ②中的BN与图①中的EN相等，‎ ‎∴BN＝B1M，………………………………………………………………10分 ‎∴四边形BB1MN是矩形，∴MN的长是1.………………………………11分 如图，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．‎ ‎（第16题）‎ ‎．计算：‎ 如图，A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．‎ ‎（1）在图中作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎(第14题)‎ ‎（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交ON于点C，连接CB，将图形补充完整，判断四边形OABC的形状，并证明.‎ 光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知错误！未找到引用源。≈1.732）‎ ‎△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．‎ ‎(1)如图1,设DE与AB交手点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；‎ ‎(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形?并证明你的结论.‎ 证：(1)△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠MBE=45°．‎ ‎∴∠BME+∠MEB=135°(2分)‎ 又∵△DEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DEF=45°‎ ‎∴∠NEC+∠MEB=135°，‎ ‎∴∠BME=∠NEC，(4分)‎ 而∠MBE=∠ECN=45°，‎ ‎∴△BEM∽△CNE (6分)‎ ‎(2)与(1)同理△BEM∽△CNE，‎ BE /CN=EM/NE (10分) ‎ 又∵BE=EC．(12分)‎ ‎∴EC/CN=EM/NE则△ECN与△MEN中EC/CN＝ME/EN，又∠ECN=∠MEN=45°‎ ‎∴△ECN∽△MEN (16分)‎ 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于两点，点在上以每秒1个单位的速度从点向点运动，同时点 在线段上以同样的速度从点向点运动，运动时间用（单位：秒）表示．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）当为何值时，与相似？并直接写出此时点的坐标；‎ ‎（3）的面积是否有最大值？若有，此时为何值？若没有，请说明理由．‎ 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． ‎ ‎（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．‎ 图12‎ ‎（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为 2分 同样可得，反比例函数解析式为 3分 ‎（2）当点Q在直线DO上运动时，‎ 设点Q的坐标为， 4分 于是，‎ 而，‎ 所以有，，解得 6分 所以点Q的坐标为和 7分 ‎（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，‎ 而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 8分 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，‎ 由勾股定理可得，‎ 所以当即时，有最小值4，‎ 又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，‎ 所以OQ有最小值2． 9分 ‎ 由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 ‎． 10分 ‎．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）‎ A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。‎ ‎（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）‎ ‎（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。‎ ‎（3）请你探索：当x为何值时，⊿‎ MPA是一个等腰三角形？‎ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。‎ ‎30、（１）（6—x , x ）; (2)设⊿MPA的面积为S，在⊿MPA中，MA=6—x，MA边上的高为x，其中，0≤x≤6.∴S=（6—x）×x=(—x2+6x) = — (x—3)2+6‎ ‎∴S的最大值为6, 此时x =3. (3)延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ ①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2; ‎ ②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (x) 2∴x= ‎ ‎ ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝6—x ∴x=6—x ∴x= ‎ 综上所述，x=2，或x=，或x=。‎ 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，轴于点E，．求该反比例函数及直线AB的解析式．‎ O x y A C B E D 如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.‎ ‎（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；‎ ‎（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？‎ ‎（3）若，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式.‎ 第25题图 ‎、如果两个相似三角形的对应边分别是4cm和6cm，那么这两个相似三角形的面积之比是 。‎ 在中，，，则 ．‎ 已知函数的图象与轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线交于点A、D， ‎ 若AB+CD= BC，则k的值为 ‎ 如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连结AC、DM、CM，则图中阴影部分的面积是 * ．‎ 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为 。‎ ‎．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 甲杯 y x A B C D O 第16题图 第16题 D A C B M ‎16cm cm 解：（1）和 ‎（2）（0，±或（（0，1）‎ 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，‎ ‎∴△DEC∽△FDC．‎ ‎（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，‎ ‎∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，‎ ‎∴FE：FC=1：3，‎ ‎∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；‎ 设EF=x，则FC=3x，‎ ‎∵△DEC∽△FDC，‎ ‎∴=，即可得：6x2=12，‎ 解得：x=，‎ 则CF=3，‎ 在Rt△CFD中，DF==，‎ ‎∴BC=2DF=2．‎ 如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则等于 ‎ B C D A M N 答 卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1、 2、 3、 4、 5、 ‎ ‎ 6、 7、 8、 9、 10、 二、填空题：（每小题4分，共24分）‎ ‎11、 12、 13、 ‎ ‎14、 15、 16、 ‎ 三．解答题（每小题6分，共18分）‎ ‎17、解：‎ ‎18．解：‎ ‎19、解： （2） ‎ ‎（3） ‎ 四、解答题（二）（每小题7分，共21分）‎ ‎20、解：（1） ‎ ‎（2）‎ y ‎1‎ x ‎1‎ O 图6‎ B A ‎21、解：（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）则经过Ａ１点的反比例函数解析式为 ‎ ‎22、解：‎ 五、解答题（三）（每小题9分，共27分）‎ ‎23、解：‎ ‎24、解：‎ ‎25、解：(1)∠ACB= 度；‎ ‎(2)‎ 参 考 答 案 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1、A 2、B 3、D 4、B 5、A 6、D 7、A ‎ ‎8、A 9、C 10、A 二、填空题：（每小题4分，共24分）‎ ‎11、5 12、 13、3 14、8 15、－1或0 16、170‎ 三．解答题（每小题6分，共18分）‎ ‎18、‎ ‎19、解：（1）如图1． （2分）‎ ‎（2）80－100． （4分）‎ ‎（3）840 （6分）‎ 四、解答题（二）（每小题7分，共21分）‎ ‎20、解：（1）…………………………2分 ‎（2）解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有 ‎（1） （2）‎ 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得无解，‎ 故分式不等式的解集为……………….7分 ‎21、解：(1) （4，0） ………..1分 ‎(2) （2）如图，(作图正确得2分)……3分 过点A作AC⊥x轴于C点， 在Rt△OAC中， ∵斜边OA=4，∠AOB=30°， ∴AC=2，OC=OA•cos30°=4 ∴点A的坐标为（2） 由轴对称性，得A点关于y轴的对称点A1的坐标为（-2………5分 ‎ (3)反比例函数的解析式为y= …………………………………7分 ‎22、解：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD且AE=BD， 又∵AD是边BC上的中线， ∴BD=CD， ∴四边形ADCE是平行四边形 ‎∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线， ∴AD=BD=CD 又∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形；…………………………4分 （2）∵四边形ADCE是菱形， ∴AO=CO，∠AOD=90° 又∵BD=CD， ∴OD是△ABC的中位线，则OD=AB， ∵AB=AO， ∴OD=AO， ∴在Rt△AOD中，tan∠OAD=……………………………7分 五、解答题（三）（每小题9分，共27分）‎ ‎23、（1）DE与圆O相切，证明如下： ‎ ‎ 连接OD,BD ‎ -----1分 ‎ ‎ ‎ -----3分 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 即 DE与圆O相切 -----4分 ‎（2）解：方程的解为 ‎ ‎ ‎ -----6分 ‎ -----7分 ‎ 由 ‎ 得 -----8分 ‎ -----9分 ‎24、解：（1）设4月初猪肉价格下调后每斤元．‎ 根据题意，得 2分 解得 3分 经检验，是原方程的解 答：4月初猪肉价格下调后每斤10元． 4分 ‎（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为．‎ 根据题意，得 6分 解得（舍去） 8分 答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%． 9分 ‎ 25、解：（1）120°…………………………………1分 ‎（2）A(1-，0 )   B（1+，0）……………………3分 ‎（3）  ‎ 由题可得该抛物线的对称轴为  直线x=1，PM=3‎ ‎∴顶点坐标为（1,3）             设 经过点A(1-，0 )  ，得 0=3a+3‎ ‎∴a=-1    ∴    ……………………………………………5分 ‎（4）存在   ‎ 设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形 ‎∴PC//OD且PC=OD．‎ ‎∵PC//y轴，∴点D在y轴上．‎ 又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．   ……………………………………….7分 ‎ 又D（0，2）满足 ‎∴点D在抛物线上    所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分． …………….9分