对200考9年高考数学上海卷理科第22题的深入研究试

对200考9年高考数学上海卷理科第22题的深入研究试

对2009年高考数学上海卷理科第22题的深入研究 卫福山（上海市松江二中）‎ ‎2009年高考数学上海卷理科第22题如下：‎ 已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质”。若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。‎ ‎（1）判断函数g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1和性质”，并说明理由；‎ ‎（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ ‎（3）设函数y=f(x)(x＞0)对任何a＞0满足“a积性质”，求y=f(x)的表达式。‎ 这道题目的得分率很低，特别是第（3）问的得分率低于0.1，算是一道难度偏大的题。但从数学研究的角度，笔者对这道题进行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中学数学教师的教学有一定的启示。‎ 一、对题目的理解 本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而来的，对高中生而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点。学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透。‎ ‎1．关于题设的理解 ‎（1）从代数角度，由于y=f-1(x+a)的反函数为y=f(x)-a，故函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数即满足f(x+a)=f(x)-a。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则。‎ ‎（2）从几何角度，不妨假定a＞0，由于函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，函数y=f-1(x+a)的图象是由函数y=f-1(x)的图象向左平行移动a个单位得到的，所以函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)的图象关于直线y=x+a对称。同理，函数y=f(ax)与y=f-1(ax)的图象关于直线y=ax对称。‎ ‎2．关于问题的理解 试题的第（1）问和第（2）问是让考生研究满足“a和性质”的特殊函数，这里起点很低，一个是给定一个具体函数，让考生按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类满足“a和性质”的函数（即一次函数）。第（3）问要求很高，让考生探求满足“a积性质”的函数表达式,这里要深刻理解“给定”与“任何”的差异。对给定的实数a(a≠0)，则a视为（常）参数；对任何a＞0，则a视为（变）参数，因此第（2）问和第（3）问对参数a的要求不同。‎ 二、对问题的深入思考 关于第（2）问，给出前提“一次函数”，解决起来问题不大。但是反问一下：满足“2和性质”的函数是否一定是一次函数呢？或者更一般地，满足“a和性质”的函数是否一定是一次函数呢？这里题目中“给定”两字尤为重要。事实上，对给定的实数a(a≠0)，函数f(x)不一定是一次函数，如满足“1和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=[-x]等，满足“2和性质”的函数可以是f(x)=-x+b(b∈R)、f(x)=(c∈R)等，即满足“a和性质”的函数不一定是一次函数。‎ 如果对任何实数a，函数f(x)满足“a和性质”，结果如何呢？笔者经过研究发现结果是肯定的，有如下的命题。‎ 命题：设y=f(x),x∈R是初等函数，且对任何实数a(a≠0)有f(x+a)=f(x)-a，则f(x)=-x+b（b为任何实数）。‎ 证法1：令a=1有f(x+1)-f(x)=-1。‎ 当x∈N*时，有：‎ f(2)-f(1)=-1,‎ f(3)-f(2)=-1,‎ ‎……‎ f(n)-f(n-1)=-1, ‎ 相加得f(n)=-n+f(1)+1。‎ 因此，当x∈N*时，有f(x)=-x+f(1) +1。‎ 令a=(n∈N*)，则有，于是：‎ 相加得，即。‎ 同样，（n∈N* ,m∈N*）。‎ 于是对任何正有理数x，f(x)=-x+f(1) +1。‎ 用-x代替x有f(-x+a)=f(-x)-a，同样得对任何负有理数x，f(x)=-x+f(1) +1。‎ 于是对任何有理数x，有f(x)=-x+f(1) +1。‎ 对任何x∈R，利用实数的稠密性，存在一串有理数{xn}，使得 ‎ 利用初等函数的连续性，有 f(x)=。‎ 又由已知条件f(1)的值无法确定，是（常）参数，令f(1)+1=b(b∈R)，得f(x) =-x+b。‎ 证法2：令x=1有f(1+a)=f(1)-a。‎ 由于a为任何实数，令1+a=x，则x∈R,a=x-1，‎ 于是有f(x)=f(1)-(x-1)=-x+f(1)+1。‎ 令f(1)+1=b(b∈R)，得f(x)=-x+b。‎ 证法3：由于方程f(x+a)=f(x)-a对任何a∈R,x∈R成立，‎ 不妨先将x看作参数，a看成是变量，‎ 于是f(x+a)=-(x+a)+f(x)+x，且此时f(x)+x看成是参数。‎ 记f(x)+x=b(b∈R)，即f(x+a)=-(x+a)+b，‎ 再用x代替x+a有f(x)=-x+b(b∈R)。‎ ‎【评注】对任何实数a，则视a为变参数，这就是证法1中可以令a=1,a=,以及证法2中令1+a=x，x∈R的原因。证法3就是辨证看待变元a、x，使解题简单。‎ 关于第（3）问，有了第（2）问的深入理解就很简单了。简解如下.‎ 解：由于函数y=f(x)(x＞0)对任何a＞0满足“a积性质”，即，视x为参数，a为变量，将方程改写成，这里a＞0, x＞0，显然，否则与f(x)存在反函数矛盾，由于x为参数，不妨令xf(x)=k。用x代替ax，有。‎ 三、对试题编制的想法 笔者认为这样一道高考试题的想法很好，将反函数的概念与函数图象的平移、伸缩变换结合起来，又涉及到最基本又最重要的加法、乘法运算，而进一步的研究又发现本题涉及含参数的问题中参数与变量的辩证看待。学生在学习反函数时，常常不能正确区分记号“f”与“f-1”，事实上，若f(x)存在反函数，则f(a)=bÛa=f-1(b)。y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x)-a，y=f(ax)的反函数是，从中我们或许能感受反函数的“反”。从函数f(x)与f-1(x)互为反函数出发编制与f(x)及f-1(x)均有关的试题，学生在平时的解题中也会遇到，如求满足f(x)= f-1(x)（即自反函数）的函数表达式，这样的函数很多，比如y=x，，……‎ 结合自己对问题的深入思考，笔者有以下的一些想法。‎ ‎（1）对给定的实数a，满足“a和性质”的函数不一定是一次函数，如前面的反例，但如果结合高等数学有关连续的知识后，若要求函数是连续函数时结果如何呢？即问题1.‎ 问题1：若函数f(x), x∈R是连续函数，且对给定的实数a(a≠0)，有f(x+a)=f(x)-a，则f(x) =-x+b（b为任何实数）是否成立？‎ 对满足“a和性质”有完全类似的想法，即问题2.‎ 问题2：若函数f(x), x＞0是连续函数，且对给定的实数a(a＞0)，有，则是否成立？‎ ‎（2）受到本题理解上的启发，我们也可以研究对给定的实数a(a≠0)，函数y= f(x+a)与y=f-1(x-a)互为反函数及函数y= f(ax)与互为反函数的函数的相关性质，在此不一一写出，有兴趣的读者可以去尝试。一、职业生涯规划的意义 ‎ ‎1、以既有的成就为基础，确立人生的方向，提供奋斗的策略。 ‎ ‎2、突破生活的格线，塑造清新充实的自我。 ‎ ‎3、准确评价个人特点和强项。 4、评估个人目标和现状的差距。 ‎ ‎5、准确定位职业方向。 6、重新认识自身的价值并使其增值。 ‎ ‎7、发现新的职业机遇。 8、增强职业竞争力。 ‎ ‎9、将个人、事业与家庭联系起来。 ‎ 二、正确的心理认知 ‎ ‎1、认清人生的价值 ‎ 社会的价值并不被所有的人等同接受“人云亦云”并不等于自我的人生价值人生价值包括：经济价值、权力价值、回馈价值、审美价值、理论价 值。 ‎ ‎2、超越既有的得失每个人都很努力，但成就并不等同。后悔与抱怨对未来无济于事，自我陶醉则像“龟兔赛跑”中的兔子。 人生如运动场上的竞技，当下难以断输赢。 ‎ ‎3、以万变应万变 ‎ 任何的执着都是一种“阻滞”前途的行为想想“流水”的启示“学非所用”是真理 ‎ 三、剖析自我的现状 ‎ ‎1、个人部份健康情形：身体是否有病痛？是否有不良的生活习惯？是否有影响健康的活动？生活是否正常？有没有养生之道？自我充实：是否有专长？经常阅读和收集资料吗？是否正在培养其他技能？休闲管理：是否有固定的休闲活动？有助于身心和工作吗？是否有休闲计划？ ‎ ‎2、事业部份 ‎ 财富所得：薪资多少？有储蓄吗？有动产、有价证券吗？有不动产吗？价值多少？有外快吗？社会阶层：现在的职位是什么？还有升迁的机会吗？是否有升迁的准备呢？内外在的人际关系如何？自我实现：喜欢现在的工作吗？理由是什么？有完成人生理想的准备吗？ ‎ ‎3、家庭部份 ‎ 生活品质：居家环境如何？有没有计划换房子？家庭的布置和设备如何？有心灵或精神文化的生活吗？小孩、夫妻、父母有学习计划吗？家庭关系：夫妻和谐吗？是否拥有共同的发展目标？是否有共同或个别的创业计划？父母子女与父母、与公婆、与姑叔、与岳家的关系如何？是否常与家人相处、沟通、活动、旅游？家人健康：家里有小孩吗？小孩多大？健康吗？需要托人照顾吗？配偶的健康如何？家里有老人吗？有需要你照顾的家人吗？ ‎ 四、人生发展的环境条件 ‎ ‎1、友伴条件：朋友要多量化、多样化、且有能力。 ‎ ‎2、生存条件：要有储蓄、发展基金、不动产。 ‎ ‎3、配偶条件：个性要相投、社会态度要相同、要有共同的家庭目标。 ‎ ‎4、行业条件：注意社会当前及未来需要的行业，注意市场占有率。 ‎ ‎5、企业条件：要稳定，则在大中型企业；要创业，则在小企业。公司有改革计划吗？公司需要什么人才？ ‎ ‎6、地区条件：视行业和企业而定。 ‎ ‎7、国家（社会）条件：注意政治、法律、经济（资源、品质）、社会与文化、教育等条件，该社会的特性及潜在的市场条件。 ‎ ‎8、世界条件：注意全球正在发展的行业，用“世界观”发展事业。 ‎ 五、人生成就的三大资源 ‎ ‎1、人脉：家族关系、姻亲关系、同事（同学）关系、社会关系。 [解决方案]沟通与自我推销 ‎ ‎2、金脉：薪资所得、有价证券、基金、外币、定期存款、财产（动产、不动产）、信用（与为人和职位有关）。 ‎ ‎[解决方案]储蓄、理财有方、夫妻合作、努力工作提高自己的能力条件及职位。 ‎ ‎3、知脉：知识力、技术力、咨讯力、企划力、预测（洞察）力、敏锐力。[解决方案]做好时间管理、安排学习计划、上课、听讲座、进修、组织内轮调、多做事、反复练习、经常做笔记、做模拟计划。 ‎