【数学】2020届一轮复习北师大版 计数原理 课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版 计数原理 课时作业

‎2020届一轮复习北师大版 计数原理 课时作业 一、选择题 ‎1．(2018·广东理，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B． C. D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　从袋中任取 2个球共有 C215＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有C‎110C15＝50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为＝，故选B.‎ ‎2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　　)‎ A．14 B．15‎ C．120 D．119‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　方法一：至少有1名女生，可分为两种情况：1名女生3名男生；2名女生2名男生，所以不同的选派方案种数为CC＋CC＝14.‎ 方法二：6人中选4人的方案共有C＝15种，没有女生的方案只有1种，所以满足要求的选派方案种数为15－1＝14.‎ ‎3．(2018·全国大纲理，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种　 　 B．70种　‎ C．75种　 D．150种 ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了分步计数原量和组合的运算，从6名男医生选2人有C＝15种选法，从5名女医生选1人有C＝5种选法，所以由分步计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．解决排列组合问题要首先确定是排列问题还是组合问题，是分步还是分类．然后解决问题．‎ ‎4．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有(　　)‎ A．6 B．12‎ C．14 D．16‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　有两类分法①一人3个，一个1个有CCA种分法，②每人各2个有CC种分法．所以共有CA＋CC＝14种不同的分法，选C.‎ ‎5.某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有(　　)‎ A．8种 B．10种 C．12种 D．32种 ‎[答案]　B ‎[解析]　因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：①要走的路程最短必须走5步，且不能重复．②向东的走法定出后，向南的走法随之确定．所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可．故有不同走法有C＝C＝10种．选B.‎ 二、填空题 ‎6．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．‎ ‎[答案]　10‎ ‎[解析]　由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，不同方法种数为C＝＝10.‎ ‎7.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个(用数字作答)．‎ ‎[答案]　300‎ ‎[解析]　能被5整除，个位数字只能是0或5，共分三种情况：‎ ‎(1)只含有数字5，则5一定位于个位上，从1、3、7中选一个，有C种选法，再从2、4、6、8中选两个，有C种选法，然后将这三个数进行全排列，有A种方法，故共有C·C·A＝108个数；‎ ‎(2)同理只含有数字0，有C·C·A＝72个数；‎ ‎(3)既有5又有0，则有两种情况；0位于个位共有C·C·A个数；5位于个位共有C·C·C·A个数．故共有C·C·A＋C·C·C·A＝120个数．‎ 所以符合题意的四位数共有108＋72＋120＝300(个)．‎ ‎8．从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：‎ ‎(1)∅、U都要选出；‎ ‎(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.‎ 那么，共有________种不同的选法．‎ ‎[答案]　36‎ ‎[解析]　将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C×6＝24种．‎ 第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有C×2＝12种．‎ 综上共有24＋12＝36种．‎ 三、解答题 ‎9．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？‎ ‎(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；‎ ‎(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．‎ ‎[解析]　(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C＝20种．‎ ‎(2)第一步从7人中选取6人，有C种选法；第二步从6人中选2人排一列有C种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C·C·C＝630种．‎ ‎10.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？‎ ‎(1)任意选5人；‎ ‎(2)甲、乙、丙三人必须参加；‎ ‎(3)甲、乙、丙三人不能参加；‎ ‎(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；‎ ‎(5)甲、乙、丙三人至少有1人参加．‎ ‎[解析]　(1)C＝792种不同的选法．‎ ‎(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．‎ ‎(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．‎ ‎(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法，再从另外的9人中选4人，有C种选法，故共有C·C＝378种不同的选法．‎ ‎(5)解法一(直接法)：分三类：‎ 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，有C·C种选法；‎ 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，有C·C种选法；‎ 第三类：甲、乙、丙3人均参加，有C·C种选法，‎ 故共有C·C＋C·C＋C·C＝666种不同的选法．‎ 解法二(间接法)：从12人任意选5人共有C种选法，甲、乙、丙三人不能参加的有C种，所以共有C－C＝666种不同的选法.‎ 一、选择题 ‎1．(2018·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(　　)‎ A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 ‎[答案]　A ‎[解析]　根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C＋C＝10种．‎ ‎2.如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有(　　)‎ A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 ‎[答案]　B ‎[解析]　当涂四色时，先涂A、E、D为A，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，如B，再F，若F与D同色，则涂C有2种方法，若F与D异色则只有一种方法，故AA(2＋1)＝216种．‎ 当涂三色时，先涂A、E、D为CA，再涂B有2种，F、C各为一种，故CA×2＝48，‎ 故共有216＋48＝264种，故选B.‎ ‎3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎[答案]　C ‎[解析]　本题考查了排列组合知识与分类讨论的思想．‎ 由题意知，打三局，有两种情形；打四局‎2C种情形，打五局有‎2C种情形，故共有2＋6＋12＝20种不同情形，本题隐含两人最少打三局，最多打五局比赛终止，因此要进行合理分类．‎ ‎4．2015年第十届全国少数民族传统运动会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(　　)‎ A．48种 B．12种 C．18种 D．36种 ‎[答案]　D ‎[解析]　若小张和小赵恰有1人入选，则共有CCA＝24种方案，若小张和小赵两人都入选，则共有AA＝12种方案，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.‎ 二、填空题 ‎5．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种．‎ ‎[答案]　80‎ ‎[解析]　显示的孔不相邻，用插空法，4个不显示孔形成5个空当．‎ ‎∴有C种选法．每个孔有2种显示方法．‎ ‎∴共有‎23C＝80种．‎ ‎6．把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师，2名学生)开展实验活动，但学生甲必须与教师A在一起，这样的分组方法有________种．(用数字作答)‎ ‎[答案]　30‎ ‎[解析]　分别给A、B、C三位老师各安排2名学生(学生甲必须与教师A在一组)，一共有CCCC＝30(种)不同的分组方法．‎ 三、解答题 ‎7.(1)解方程C＝C；‎ ‎(2)已知－＝，求C；‎ ‎(3)计算C＋C＋C＋C.‎ ‎[解析]　(1)由C＝C及组合数的性质得，‎ ‎3x＋6＝4x－2或3x＋6＝18－(4x－2)，‎ 解得x＝8或x＝2，‎ 经检验x＝8不符合题意，舍去．故x＝2.‎ ‎(2)原方程变形为－＝ 即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，‎ 即m2－‎23m＋42＝0，‎ 解得m＝21或m＝2，‎ 又∵0≤m≤5且m∈N＋，‎ ‎∴m＝2，∴C＝C＝28.‎ ‎(3)原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.‎ ‎[反思总结]　解有关组合数的不等式或方程，应注意合组数本身有意义时的未知数的取值范围．‎ ‎8．6个人进2间屋子：‎ ‎(1)每屋内至少进1人；‎ ‎(2)每屋都进3人，问各有多少种分配方法？‎ ‎[解析]　(1)方法一：按第1间屋子内进人的数目可分为5类：进1人，2人，3人，4人，5人．因此，要把这5类分配进屋的方法数加起来，对于每一类而言，如“第1间屋内进4人，第2间进2人”这类分配方式，又可看成先派4人进入第1间屋，再派余下的2人进入第2间屋．这样得到C·C种进屋方 法，于是总共方法为：‎ CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝62(种)．‎ 方法二：从6人进2间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算．不合题意的分配方法只有2种，即6人全进第1间或全进第2间．即间接法解得：26－2＝62(种)．‎ ‎(2)方法一：先派3人进第1间屋，再让其余3人进第2间屋，得分配方法为：C·C＝20(种)．‎ 方法二：先把6人平均分成两组，方法有：(种)，‎ 然后再分配到房间，共有·A＝20(种)．‎ ‎[反思总结]　(1)平均分组问题：一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有：‎ (种)．‎ ‎(2)不平均分组问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有m1，m2，…，mk个，m1，m2，…，mk互不相等，且m1＋m2＋…＋mk＝n，则有不同的分法为：‎ Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmkmk种．如果m1，m2，…，mk中有且仅有i个相等，则不同的分法为：‎ (种)．‎ 上面的组合问题给出两个解法模型，处理此类问题的关键是充分考虑到是否与顺序有关，避免产生重复计数．‎