江西省景德镇一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 含解析

江西省景德镇一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 含解析

景德镇一中2019-2020学年上学期高二期中考试数学理 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 下列命题正确的是（　　）‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 2. 已知两个等差数列（和）的前n项和分别为An和Bn，且，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（　　）‎ A. 11 B. ‎10 ‎C. 9 D. 8‎ 4. 设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ 5. 若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为，则a=（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ 6. 在等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（　　）‎ A. 或 B. C. D. 或 7. 方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. B. 或 C. D. ‎ 8. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则‎2a-4b的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a7=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（　　）‎ 景德镇一中2019-2020学年上学期高二期中考试数学理 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 下列命题正确的是（　　）‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 2. 已知两个等差数列（和）的前n项和分别为An和Bn，且，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（　　）‎ A. 11 B. ‎10 ‎C. 9 D. 8‎ 4. 设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ 5. 若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为，则a=（　　）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ 6. 在等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（　　）‎ A. 或 B. C. D. 或 7. 方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. B. 或 C. D. ‎ 8. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则‎2a-4b的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a7=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（　　）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. D. 2‎ 1. 若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 不等式的解集为______．‎ 3. 数列{an}中，a1=-60，且an+1=an+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为______．‎ 4. 下列结论正确的序号是______． ①当x≥2时，的最小值为2 ②当x＞0时， ③当0＜x≤2时，无最大值 ④当x＞0且x≠1时， ⑤当时，‎ 5. 在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn满足，设，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥6的最小正整数n是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 已知不等式ax2-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）=（‎2a+b）x-（x∈A）的最小值． ‎ 7. 已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|． （Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集； （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|‎3m+1|有解，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，n∈N*． （Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（a2n+2）log3（an+2），求数列{bn}的前n项和Tn． ‎ 2. 设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3． （1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）． ‎ 3. 已知数列{an}满足（1-）（1-）…（1-）=，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项的和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值； （3）是否存在k∈N*，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由． ‎ 4. 已知数列{an}中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn． （1）若，且S2019=2019，求a； （2）是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求Sn． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A．取a=2，b=-3满足条件，则a2＞b2不成立； B．由a＞|b|，利用不等式的基本性质可得：a2＞b2，成立； C．取a=-2，b=1满足条件a2＞b2，则a＞|b|不成立； D．a2＞b2⇔|a|＞|b|，则＞不成立． 故选：B． 利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误． 本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：依题意，数列{an}和{bn}为等差数列， 所以A9==‎9a5， 同理B9=9b5， 所以====． 故选：D． 因为数列{an}和{bn}为等差数列，所以A9=‎9a5，B9=9b5，将转化为即可． 本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项与前n项和的关系，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d． 则S7=28，a2+a5+a8=15， 则‎7a1+21d=28，‎3a1+12d=15， 解得a1=1，d=1． ∴a10=1+9×1=10． 故选：B． 设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果． 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下， ， 化z=-3x+y为y=3x+z， 从而可得当过点（3，1）时，有最小值， 故z=3x+y的最小值为-3×3+1=-8． 故选：C． 由题意作平面区域，化z=-3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值． 本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：不等式|ax-2|＜3可化为-3＜ax-2＜3， 即-1＜ax＜5； 当a＞0时，解不等式得-＜x＜， 由不等式的解集为，得a=3； 当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意； 当a＜0时，解不等式得＜x＜-，不满足题意； 综上知，a=3． 故选：C． 去掉绝对值，不等式化为-1＜ax＜5，讨论a＞0和a=0与a＜0时，解不等式求得a的值． 本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根， ∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3， 故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=， 故选：B． 由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：令f（x）=x2-2ax+1， ∵方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内， ∴，∴， ∴1＜a＜， ∴a的取值范围为（1，）． 故选：A． 令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围． 本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：先根据约束条件画出可行域， 当直线z=‎2a-4b过点A（，）时，z最小是-7， 当直线z=‎2a-4b过点B（，）时，z最大是5， 故选：A． 先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=‎2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可． 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1）①， 当n≥2时，②， ①-②得an+1-an=3an， 所以， 所以数列{an}是以3为首项，4为公比的等比数列． 所以． 所以 故选：A． 直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1， 即有n≥2时，an-an-1=n， 可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） =1+2+3+…+n=n（n+1）， ==2（-）， 则=2（1-+-+…+-） =2（1-）=‎ ‎． 故选：B． 由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1， ∴a32=a‎1a13， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2． ∴an=1+2（n-1）=2n-1． Sn=n+×2=n2． ∴===n+1+-2≥2-2=4， 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4， 故选：A． a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a‎1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当n为奇数时，an=-a，bn=2+，且当n增加时，bn减少； ∴（bn）min=2； ∵an＜bn对任意n∈N*恒成立 ∴-a≤2，即a≥-2； 当n为偶数时，an=a，bn=2+，且当n增加时，bn增加； ∴（bn）min=2-=； ∵an＜bn对任意n∈N*恒成立 ∴a＜． 综上可得：-2≤a＜． 故选：C． 分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可． 本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由得，或，解得， ∴原不等式的解集为． 故答案为：． 可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可． 本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题． 14.【答案】570 ‎ ‎【解析】解：数列{an}中，a1=-60，且an+1=an+3，则an+1-an=3（常数）， 故数列{an}是以首项为a1=-60，公差为3的等差数列． 所以an=-60+3（n-1）=3n-63， 当n=21时，a21=0， 当0＜n≤21，|an|=-an， 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+a3+…+an）=-=． 当n≥22时，|an|=an， 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a21+a22+…+an， =-2（a1+a2+…+a21）+（a1+a2+a3+…+an）， =-， =630+， 当n=40时，=630-60=570． 故答案为：570 首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15.【答案】②⑤ ‎ ‎【解析】解：①当x≥2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立； ②当x＞0时，，当x=1时成立， ③当0＜x≤2时，y=，y'=，递增，x=2时，取最大值，故有最大值， ④当x＞0且x≠1时，lgx可能小于0，故不成立， ⑤当时，x＜0，y＜0，而，故利用基本不等式，又x不等于y，故成立． 故答案为：②⑤ 分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可． 考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题． 16.【答案】10 ‎ ‎【解析】解：数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn满足， 整理得， 所以（常数）， 所以数列{}是以1为首项，1‎ 为公差的等差数列． 所以， 则， 所以…=， 所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件． 故答案为：10． 首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17.【答案】解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2； （2）由（1）知a=1，b=2， ∴A={x|1＜x＜2}，， 而x＞0时，， 当且仅当，即时取等号， 而， ∴f（x）的最小值为12． ‎ ‎【解析】本题主要考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题． （1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论； （2）利用基本不等式，可求函数的最小值． 18.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8， 可化为① 或② ​或③， 解①得-＜x＜-，解②得-≤x≤，解③得＜x＜， 综合得：-＜x＜， 即原不等式的解集为{x|-＜x＜}． （Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x-1| ​≥|（2x+3）-（2x-1）|=4， 当且仅当-≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4， 又不等式f（x）≤|‎3m+1|有解，则|‎3m+1|≥4， ​解得：m≤-或m≥1． ‎ ‎【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题． （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可； ​（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可． 19.【答案】证明：（Ⅰ）数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，整理得an+1+2=3（an+2），n∈N*． 即（常数）， 所以数列{an+2}是以3为首项，3‎ 为公比的等比数列． 故， 整理得． （Ⅱ）由于，所以bn=（a2n+2）log3（an+2）=n•9n， 所以①， 9②， ①-②得：=， 所以． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 20.【答案】解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立； 即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立； 当a=0时，x≥0，显然不能恒成立； 当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立， 满足，解得a≥； 综上述，实数a的取值范围是[，+∞）． （2）由条件化简不等式f（x）＜a-2， 得ax2+（1-a）x-1＜0， ①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，不等式的解集为（-∞，1）； 当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和； ②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0， ∴不等式的解集为（，1）； ③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0， 当-1＜a＜0时，1＜，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）； 当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}． 当a＜-1时，1＞，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）； ‎ ‎【解析】（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论； （2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集． 本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题． 21.【答案】解：（1）数列{an}满足（1-）（1-）…（1-）=，① 可得1-=， 可得a1=2， 当n≥2时，（1-）（1-）…（1-）=，②‎ ‎ 由①②可得（1-）=， 即有an-an-1=1， 可得an=2+n-1=n+1，n∈N*； （2）Sn=， ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列， 可得ap+Sq=60，ap•Sq=182=324， 即有p+1+=60，（p+1）•=324， 解得p=5，q=9； （3）假设存在k∈N*，使得为数列{an}中的项， 即有， 可令=n+1， 即有（k+1）（k+2）=（n-3）（n+5）， 由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数， 即有n=5，k=3；n=15，k=14． 则存在正整数k=3，14，使得为数列{an}中的项． ‎ ‎【解析】（1）由等式可得a1=2，将n换为n-1，两式相除可得an-an-1=1，由等差数列的通项公式可得所求； （2）运用等差数列求和公式和等差数列、等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值； （3）假设存在k∈N*，使得为数列{an}中的项，即有，可令=n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值． 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于较难题． 22.【答案】解：（1）k=，an+1=（an+an+2），∴数列{an}为等差数列， ∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1， ∴S2019=2019=2019+×（a-1），解得a=1； （2）设数列{an}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a， ∴am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列， ①an+1为等差中项，则2am+1=am+am+2． 即am-1+am+1=2am，解得a=1，不合题意； ②am为等差中项，则2am=am+1+am+2， 即2am-1=am+1+am，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）； ③若am+2为等差中项，则2am+2=am+1+am， 即2am+1=am+am-1，化简得：‎2a2-a-1=0，解得a=-； ∴k====-． 综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个-； （3）k=-，则an+1=-（an+an+2）， ‎ ‎∴an+2+an+1=-（an+1+an），an+3+an+2=-（an+2+an+1）=an+1+an， 当n是偶数时，Sn=a1+a2+…+an=（a1+a2）+…+（an-1+an）=（a1+a2）=（a+1）． 当n是奇数时，Sn=a1+（a2+a3）+…+（an-1+an） =1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1-（a+1）（n≥1）， n=1也适合上式， 综上可得，Sn=． ‎ ‎【解析】（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a； （2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k； （3）k=-，an+1=-（an+an+2），an+2+an+1=-（an+1+an），an+3+an+2=-（an+2+an+1）=an+1+an，结合题意分类讨论，然后分组求和可得Sn． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． ‎