安徽省濉溪县2020届高三上学期第一次月考试题 数学（理） 含答案
濉溪县 2020 届高三第一次教学质量检测
数学试卷(理科)
(考试用时：120 分 全卷满分：150 分)
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题
卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题
卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交。
第 I 卷(选择题部分，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
l.己知集合 A＝{x|lnx>0}，集合 B＝{x∈N|(x－1)(x－5)≤0}，则 A∩B＝
A.{0，l，2，3，4，5} B.{l，2，3，4，5}
C.{l，2，3，4} D.{2，3，4，5}
2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是
A.y＝xln|x| B.y＝xcosx C.y＝2x－2－x D.y＝ex＋e－x
3.设 a∈R，则“y＝sinax 周期为 2π”是“a＝1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝1， ，则 B＝
A. B. C. 或 D. 或
5.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f'(x)，且函数 y＝(x－l)f'(x)的图像如图所示，则下列结
论中一定成立的是
3, 6c A
π= =
6
π
3
π
6
π
2
π
3
π 2
3
π
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)
D.函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
6.已知函数 g(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，a＝g(log20.2)，b＝g(20.2)，
c＝g(0.20.3)，则 a，b，c 的大小关系为
A.a
0 时，xf'(x)<2f(x)，则使得不等式 f(x)>0 的解集为
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡中的横线上。
13.己知曲线 f(x)＝x3 在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为 α，则 的值为 。
14.已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－1，若 f(2x－1)≥－1，则 x 的取值范围是 。
15.已知函数 ，则函数 f(x)＝x＋m 有两个零点，则 m 的取值范围 。
16.在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB＝acosC＋ccosA，b＝1，
则△ABC 的周长取值范围为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17.(本小题满分 12 分)
已知命题 p：关于 x 的不等式 x2－(2a＋2)x＋a(a＋2)≤0；命题 q：不等式组 。
(1)当 a＝1 时，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数 x 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。
18.(本小题满分 12 分)
已知函数 的最小正周期为 π，将函数 f(x)的图
像向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图像。
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 g( )＝0，a＝1 求△ABC 面积
的最大值。
19.(本小题满分 12 分)
( , )4 2
π π 5[ , )4 12
π π 5( , )12 2
π π 5[ , )12 2
π π
2 2
2
sin cos
sin cos cos
α α
α α α
−
+
, 0( )
| ln |, 0
xe xf x
x x
≤= >
3 02
x
x
− ≤−
2 3( ) sin cos 3 cos ( 0)2f x x x xω ω ω ω= − >
6
π 3
2
2
A
己知函数 f(x)＝x2＋alnx。
(I)若 a＝1，求 f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(II)求函数 f(x)在[1，e]上的最小值。
20.(本小题满分 12 分)
有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边 AB 长为 6 分米，另一边足够长。现从中截取矩形
ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱
体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、∠EOF＝120°的扇形，
且弧 分别与边 BC，AD 相切于点 M，N。
(1)当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大?
21.(本小题满分 12 分)
己知函数 f(x)＝lnx＋ (a∈R)。
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)令 ，若对任意的 x>0，a>0，恒有 f(x)≥g(a)成立，求实数 m 的最大整
数。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数)，以原点 O 为极
点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ。
(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
(2)试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点，若存在，则求出两交点间的距离；若不存在，请
说明理由。
23.已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|x－a|。
,EF GH
a
x
( 4) 2( ) a mg a a
− −=
1 3 cos
3sin
x
y
α
α
= +
=
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)<5 的解集；
(2)若 f(x)≥2 的解集为 R，求 a 的取值范围。
濉溪县 2020 届高三第一次教学质量检测
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13、2 14、 15、 16、
三、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17【解析】由 ，得 ， ．
由 解得即 ，所以 2 分
（1）当 时， ，
因为“ ”为假，“ ”为真，所以 ， 一真一假..3 分
当 真 假时， ， ，
此时实数 的取值范围是 ；5 分
当 假 真时， ， ，此时无解..7 分
综上，实数 的取值范围是 ..8 分
（2）因为 是 的必要不充分条件，所以 所以 ，
故实数 的取值范围为 .12 分
18【详解】（1）由题得：函数
=
=
，.2 分
由它的最小正周期为 ，得 ，
∴ .3 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B C C A B D B D B D
( ] [ ),0 1,−∞ ∪ +∞ [ )1,+∞ (1 3,3+
( ) ( )2 2 2 2 0x a x a a− + + + ≤ 2a x a≤ ≤ + { }| 2A x a x a= ≤ ≤ +
3 02
x
x
− ≤− 2 3x< ≤ { }| 2 3B x x= < ≤
1a = { }|1 3A x x= ≤ ≤
p q∧ p q∨ p q
p q { }|1 3A x x= ≤ ≤ { }2 3B x x x= ≤ 或
x [ ]1,2
p q { }| 1 3A x x x= 或 { }| 2 3B x x= < ≤
x [ ]1,2
p q 2,
2 3,
a
a
≤
+ ≥ 1 2a≤ ≤
a [ ]1,2
由 ，得
故函数 的单调递增区间是 6 分
（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数
的图像，8 分
在锐角 中，角 的对边分别为 ，
若 ，可得 ，∴ .
因为 ，由余弦定理，得 ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时取得等号 10 分
∴ 面积 ，
故 面积的最大值为 ..12 分
19（Ⅰ）当 时， ，故
又 切线方程为： ..2 分
(Ⅱ)
当 时， 在 上单调递增，
，.4 分
当 时，由 解得 （负值舍去）
设
若 ，即 ，也就是 时， 单调递增，
，.6 分
1a = ( )' 12f x x x
= + ( )' 1 3f =
( )1 1f = ∴ 3 2 0x y− − =
( ) 222 a x af x x x x
+′ = + =
0a ≥ ( ) ( )0,f x f x′ ≥ [ ]1,e
( ) ( )min 1 1f x f∴ = =
0a < ( ) 0f x′ =
2
ax = ± −
0 2
ax = −
12
a− ≤ 2a ≥ − 2 0a− ≤ < [ ] ( ) ( )1, , 0,x e f x f x′∈ >
( ) ( )min 1 1f x f∴ = =
若 ，即 时
单调递减， 单调递增.
故 8 分
若 即 时 单调递减.
，10 分
综上所述：当 时， 的最小值为 1；
当 时， 的最小值为
当 时， 的最小值为 .12 分
20 解答 (1)在图甲中，连结 MO 交 EF 于点 T.设 OE＝OF＝OM＝R，
在 Rt△OET 中，因为∠EOT＝1
2∠EOF＝60°，所以 OT＝R
2，则 MT＝OM－OT＝R
2.
从而 BE＝MT＝R
2，即 R＝2BE＝2.(2 分)
故所得柱体的底面积 S＝S 扇形 OEF－S△OEF＝1
3πR2－1
2R2sin120°＝4π
3 － 3.(4 分)
又所得柱体的高 EG＝4，所以 V＝S×EG＝16π
3 －4 3.
答：当 BE 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积为 立方分米．(6 分)
(2) 设 BE＝x，则 R＝2x，所以所得柱体的底面积 S＝S 扇形 OEF－S△OEF＝1
3πR2－1
2R2sin120°
＝
1 2
a e< − < 22 2e a− < < −
[ ] ( ) ( )01, , 0,x x f x f x′∈ ≤ [ ] ( ) ( )0 , , 0,x x e f x f x′∈ ≥
( ) ( )0min ln ln 12 2 2 2
a a a af x f x a
= = − + − = − −
2
a e− ≥ 22a e≤ − [ ] ( ) ( )1, , 0,x e f x f x′∈ <
( ) ( ) 2
minf x f e e a∴ = = +
2a ≥ − ( )f x
22 2e a− < < − ( )f x ln 12 2
a a − −
22a e≤ − ( )f x 2e a+
16 4 33
π −
24 33 x
π −
又所得柱体的高 EG＝6－2x，所以 V＝S×EG＝ ，其中 0
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