2018湖北襄阳市中考数学试题及答案解析

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2018湖北襄阳市中考数学试题及答案解析

‎2018年湖北省襄阳市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)﹣2的相反数为(  )‎ A.2 B. C.﹣2 D.‎ ‎2.(3分)近几年,襄阳市经济呈现稳中有进,稳中向好的态势,2017年GDP突破4000亿元大关,4000亿这个数用科学记数法表示为(  )‎ A.4×1012 B.4×1011 C.0.4×1012 D.40×1011‎ ‎3.(3分)如图,把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为(  )‎ A.55° B.50° C.45° D.40°‎ ‎4.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.a2+a2=2a4 B.a6÷a2=a3 C.(﹣a3)2=a6 D.(ab)2=ab2‎ ‎5.(3分)不等式组的解集为(  )‎ A.x> B.x>1 C.<x<1 D.空集 ‎6.(3分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为(  )‎ A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm ‎8.(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是(  )‎ A.任意画一个四边形,其内角和为180°‎ B.经过任意点画一条直线 C.任意画一个菱形,是屮心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆 ‎9.(3分)已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是(  )‎ A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2‎ ‎10.(3分)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为(  )‎ A.4 B.2 C. D.2‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共6小题,每题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)计算:|1﹣|=   .‎ ‎12.(3分)计算﹣的结果是   .‎ ‎13.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是   元.‎ ‎14.(3分)一组数据3,2,3,4,x的平均数是3,则它的方差是   .‎ ‎15.(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为   .‎ ‎16.(3分)如图,将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=,则AP的长为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共9题,72分)‎ ‎17.(6分)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2,其中x=2+,y=2﹣.‎ ‎18.(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).‎ ‎19.(6分)“品中华诗词,寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”,将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.‎ 频数分布统计表 组别 成绩x(分)‎ 人数 百分比 A ‎60≤x<70‎ ‎8‎ ‎20%‎ B ‎70≤x<80‎ ‎16‎ m%‎ C ‎80≤x<90‎ a ‎30%‎ D ‎90≤<x≤100‎ ‎4‎ ‎10%‎ 请观察图表,解答下列问题:‎ ‎(1)表中a=   ,m=   ;‎ ‎(2)补全频数分布直方图;‎ ‎(3)D组的4名学生中,有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛,则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为   .‎ ‎20.(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.‎ ‎21.(7分)如图,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(﹣4,1)和点B(m,﹣4).‎ ‎(1)求双曲线和直线的解析式;‎ ‎(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.‎ ‎22.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.‎ ‎(1)求证:DA=DE;‎ ‎(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.‎ ‎23.(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).‎ ‎(1)m=   ,n=   ;‎ ‎(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎(3)在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天?‎ ‎24.(10分)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.‎ ‎(1)证明与推断:‎ ‎①求证:四边形CEGF是正方形;‎ ‎②推断:的值为   :‎ ‎(2)探究与证明:‎ 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:‎ ‎(3)拓展与运用:‎ 正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC=   .‎ ‎25.(13分)直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.‎ ‎(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;‎ ‎(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.‎ ‎①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;‎ ‎②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.‎ ‎ ‎ ‎2018年湖北省襄阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每题只有一个正确选项,本题共10小题,每题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)﹣2的相反数为(  )‎ A.2 B. C.﹣2 D.‎ ‎【分析】根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数,﹣2的相反数为2.‎ ‎【解答】解:与﹣2符号相反的数是2,‎ 所以,数﹣2的相反数为2.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)近几年,襄阳市经济呈现稳中有进,稳中向好的态势,2017年GDP突破4000亿元大关,4000亿这个数用科学记数法表示为(  )‎ A.4×1012 B.4×1011 C.0.4×1012 D.40×1011‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:4000亿=4×1011,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)如图,把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为(  )‎ A.55° B.50° C.45° D.40°‎ ‎【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题;‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵∠1=∠3=50°,∠2+∠3=90°,‎ ‎∴∠2=90°﹣∠3=40°,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查平行线的性质,三角板的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.a2+a2=2a4 B.a6÷a2=a3 C.(﹣a3)2=a6 D.(ab)2=ab2‎ ‎【分析】根据合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;同底数幂相除,底数不变指数相减;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、a2+a2=2a2,故A错误;‎ B、a6÷a2=a4,故B错误;‎ C、(﹣a3)2=a6,故C正确;‎ D、(ab)2=a2b2,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】‎ 本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)不等式组的解集为(  )‎ A.x> B.x>1 C.<x<1 D.空集 ‎【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:解不等式2x>1﹣x,得:x>,‎ 解不等式x+2<4x﹣1,得:x>1,‎ 则不等式组的解集为x>1,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状.‎ ‎【解答】‎ 解:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体.主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体,俯视图为几边形就是几棱柱.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为(  )‎ A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm ‎【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵DE垂直平分线段AC,‎ ‎∴DA=DC,AE=EC=6cm,‎ ‎∵AB+AD+BD=13cm,‎ ‎∴AB+BD+DC=13cm,‎ ‎∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是(  )‎ A.任意画一个四边形,其内角和为180°‎ B.经过任意点画一条直线 C.任意画一个菱形,是屮心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆 ‎【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.‎ ‎【解答】解:A、任意画一个四边形,其内角和为180°是不可能事件;‎ B、经过任意点画一条直线是必然事件;‎ C、任意画一个菱形,是屮心对称图形是必然事件;‎ D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件;‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是(  )‎ A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2‎ ‎【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式,求出不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点,‎ ‎∴△=(﹣1)2﹣4×1×(m﹣1)≥0,‎ 解得:m≤5,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为(  )‎ A.4 B.2 C. D.2‎ ‎【分析】根据垂径定理得到CH=BH,=,根据圆周角定理求出∠AOB,根据正弦的定义求出BH,计算即可.‎ ‎【解答】解:∵OA⊥BC,‎ ‎∴CH=BH,=,‎ ‎∴∠AOB=2∠CDA=60°,‎ ‎∴BH=OB•sin∠AOB=,‎ ‎∴BC=2BH=2,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共6小题,每题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)计算:|1﹣|= ﹣1 .‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.‎ ‎【解答】解:|﹣|=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质,是基础题,主要利用了绝对值的性质.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)计算﹣的结果是  .‎ ‎【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可,最后要注意将结果化为最简分式.‎ ‎【解答】解:原式=‎ ‎=‎ ‎=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了分式的加减,归纳提炼:分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是 53 元.‎ ‎【分析】设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,根据“每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,‎ 根据题意得:,‎ 解得:.‎ 故答案为:53.‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)一组数据3,2,3,4,x的平均数是3,则它的方差是 0.4 .‎ ‎【分析】由于数据2、3、3、4、x的平均数是3,由此利用平均数的计算公式可以求出x,然后利用方差的计算公式即可求解.‎ ‎【解答】解:∵数据2、3、3、4、x的平均数是3,‎ ‎∴2+3+3+4+x=3×5,‎ ‎∴x=3,‎ ‎∴S2=[(3﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(3﹣3)2]=0.4.‎ 故答案为:0.4.‎ ‎【点评】此题主要考查了平均数和方差的计算,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 2或2 .‎ ‎【分析】分两种情况:‎ ‎①当△ABC是锐角三角形,如图1,‎ ‎②当△ABC是钝角三角形,如图2,‎ 分别根据勾股定理计算AC和BC即可.‎ ‎【解答】解:分两种情况:‎ ‎①当△ABC是锐角三角形,如图1,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠CDA=90°,‎ ‎∵CD=,AD=1,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∵AB=2AC,‎ ‎∴AB=4,‎ ‎∴BD=4﹣1=3,‎ ‎∴BC===2;‎ ‎②当△ABC是钝角三角形,如图2,‎ 同理得:AC=2,AB=4,‎ ‎∴BC===2;‎ 综上所述,BC的长为2或2.‎ 故答案为:2或2.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用,在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长,要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)如图,将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=,则AP的长为  .‎ ‎【分析】设AB=a,AD=b,则ab=32,构建方程组求出a、b即可解决问题;‎ ‎【解答】解:设AB=a,AD=b,则ab=32,‎ 由△ABE∽△DAB可得:=,‎ ‎∴b=a2,‎ ‎∴a3=64,‎ ‎∴a=4,b=8,‎ 设PA交BD于O.‎ 在Rt△ABD中,BD==12,‎ ‎∴OP=OA==,‎ ‎∴AP=.‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共9题,72分)‎ ‎17.(6分)先化简,再求值:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2,其中x=2+,y=2﹣.‎ ‎【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子,再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.‎ ‎【解答】解:(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2‎ ‎=x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2‎ ‎=3xy,‎ 当x=2+,y=2﹣时,原式=3×(2+)(2﹣)=3.‎ ‎【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值,解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图所示,求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).‎ ‎【分析】作PC⊥AB于C,构造出Rt△PAC与Rt△PBC,求出AB的长度,利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【解答】解:过P点作PC⊥AB于C,由题意可知:∠PAC=60°,∠PBC=30°,‎ 在Rt△PAC中,,∴AC=PC,‎ 在Rt△PBC中,,∴BC=PC,‎ ‎∵AB=AC+BC=,‎ ‎∴PC=100,‎ 答:建筑物P到赛道AB的距离为100米.‎ ‎【点评】此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答.‎ ‎ ‎ ‎19.(6分)“品中华诗词,寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”,将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后,绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.‎ 频数分布统计表 组别 成绩x(分)‎ 人数 百分比 A ‎60≤x<70‎ ‎8‎ ‎20%‎ B ‎70≤x<80‎ ‎16‎ m%‎ C ‎80≤x<90‎ a ‎30%‎ D ‎90≤<x≤100‎ ‎4‎ ‎10%‎ 请观察图表,解答下列问题:‎ ‎(1)表中a= 12 ,m= 40 ;‎ ‎(2)补全频数分布直方图;‎ ‎(3)D组的4名学生中,有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛,则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为  .‎ ‎【分析】(1)先由A组人数及其百分比求得总人数,总人数乘以C的百分比可得a的值,用B组人数除以总人数可得m的值;‎ ‎(2)根据(1)中所求结果可补全图形;‎ ‎(3)列出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵被调查的总人数为8÷20%=40人,‎ ‎∴a=40×30%=12,m%=×100%=40%,即m=40,‎ 故答案为:12、40;‎ ‎(2)补全图形如下:‎ ‎(3)列表如下:‎ 男 女1‎ 女2‎ 女3‎ 男 ‎﹣﹣﹣‎ ‎(女,男)‎ ‎(女,男)‎ ‎(女,男)‎ 女1‎ ‎(男,女)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(女,女)‎ ‎(女,女)‎ 女2‎ ‎(男,女)‎ ‎(女,女)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(女,女)‎ 女3‎ ‎(男,女)‎ ‎(女,女)‎ ‎(女,女)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎∵共有12种等可能的结果,选中1名男生和1名女生结果的有6种.‎ ‎∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,也考查了列表法和画树状图求概率.‎ ‎ ‎ ‎20.(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后,若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等,约为325千米,且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍,则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.‎ ‎【分析】设高铁的速度为x千米/小时,则动车速度为0.4x千米/小时,根据题意列出方程,求出方程的解即可.‎ ‎【解答】解:设高铁的速度为x千米/小时,则动车速度为0.4x千米/小时,‎ 根据题意得:﹣=1.5,‎ 解得:x=325,‎ 经检验x=325是分式方程的解,且符合题意,‎ 则高铁的速度是325千米/小时.‎ ‎【点评】此题考查了分式方程的应用,弄清题中的等量关系是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(7分)如图,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(﹣4,1)和点B(m,﹣4).‎ ‎(1)求双曲线和直线的解析式;‎ ‎(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣,再把B(m,﹣4)代入y1=﹣中求出m得到B(1,﹣4),然后利用待定系数法求直线解析式;‎ ‎(2)利用两点间的距离公式计算AB的长;利用函数图象,写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1>y2时x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)把A(﹣4,1)代入y1=得k=﹣4×1=﹣4,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y1=﹣,‎ 把B(m,﹣4)代入y1=﹣得﹣4m=﹣4,解得m=1,则B(1,﹣4),‎ 把A(﹣4,1),B(1,﹣4)代入y2=ax+b得,解得,‎ ‎∴直线解析式为y2=﹣x﹣3;‎ ‎(2)AB==5,‎ 当﹣4<x<0或x>1时,y1>y2.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.‎ ‎(1)求证:DA=DE;‎ ‎(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【分析】(1)连接OE.推知CD为⊙O的切线,即可证明DA=DE;‎ ‎(2)利用分割法求得阴影部分的面积.‎ ‎【解答】解:(1)证明:连接OE、OC.‎ ‎∵OB=OE,‎ ‎∴∠OBE=∠OEB.‎ ‎∵BC=EC,‎ ‎∴∠CBE=∠CEB,‎ ‎∴∠OBC=∠OEC.‎ ‎∵BC为⊙O的切线,‎ ‎∴∠OEC=∠OBC=90°;‎ ‎∵OE为半径,‎ ‎∴CD为⊙O的切线,‎ ‎∵AD切⊙O于点A,‎ ‎∴DA=DE;‎ ‎(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,‎ ‎∴AD=BF,DF=AB=6,‎ ‎∴DC=BC+AD=4.‎ ‎∵BC==2,‎ ‎∴BC﹣AD=2,‎ ‎∴BC=3.‎ 在直角△OBC中,tan∠BOE==,‎ ‎∴∠BOC=60°.‎ 在△OEC与△OBC中,‎ ‎,‎ ‎∴△OEC≌△OBC(SSS),‎ ‎∴∠BOE=2∠BOC=120°.‎ ‎∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π.‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定与性质:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,运用全等三角形的判定与性质进行计算.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).‎ ‎(1)m= ﹣ ,n= 25 ;‎ ‎(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎(3)在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天?‎ ‎【分析】(1)根据题意将相关数值代入即可;‎ ‎(2)在(1)的基础上分段表示利润,讨论最值;‎ ‎(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数.‎ ‎【解答】解:(1)当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得 ‎32=12m﹣76m 解得m=﹣‎ 当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n 则n=25‎ 故答案为:m=﹣,n=25‎ ‎(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x﹣1)=4x+16‎ 当1≤x<20时 W=(4x+16)(﹣x+38﹣18)=﹣2x2+72x+320=﹣2(x﹣18)2+968‎ ‎∴当x=18时,W最大=968‎ 当20≤x≤30时,W=(4x+16)(25﹣18)=28x+112‎ ‎∵28>0‎ ‎∴W随x的增大而增大 ‎∴当x=30时,W最大=952‎ ‎∵968>952‎ ‎∴当x=18时,W最大=968‎ ‎(3)当1≤x<20时,令﹣2x2+72x+320=870‎ 解得x1=25,x2=11‎ ‎∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下 ‎∴11≤x≤25时,W≥870‎ ‎∴11≤x<20‎ ‎∵x为正整数 ‎∴有9天利润不低于870元 当20≤x≤30时,令28x+112≥870‎ 解得x≥27‎ ‎∴27≤x≤30‎ ‎∵x为正整数 ‎∴有3天利润不低于870元 ‎∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用,应用了分类讨论的数学思想.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.‎ ‎(1)证明与推断:‎ ‎①求证:四边形CEGF是正方形;‎ ‎②推断:的值为  :‎ ‎(2)探究与证明:‎ 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:‎ ‎(3)拓展与运用:‎ 正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC= 3 .‎ ‎【分析】(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形,再由∠ECG=45°即可得证;②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°,据此可得=、GE∥AB,利用平行线分线段成比例定理可得;‎ ‎(2)连接CG,只需证△ACG∽△BCE即可得;‎ ‎(3)证△AHG∽△CHA得==,设BC=CD=AD=a,知AC=a,由=得AH=a、DH=a、CH=a,由=可得a的值.‎ ‎【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,‎ ‎∵GE⊥BC、GF⊥CD,‎ ‎∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,‎ ‎∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,‎ ‎∴EG=EC,‎ ‎∴四边形CEGF是正方形;‎ ‎②由①知四边形CEGF是正方形,‎ ‎∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,‎ ‎∴=,GE∥AB,‎ ‎∴==,‎ 故答案为:;‎ ‎(2)连接CG,‎ 由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α,‎ 在Rt△CEG和Rt△CBA中,‎ ‎=cos45°=、=cos45°=,‎ ‎∴==,‎ ‎∴△ACG∽△BCE,‎ ‎∴==,‎ ‎∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;‎ ‎(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,‎ ‎∴∠BEC=135°,‎ ‎∵△ACG∽△BCE,‎ ‎∴∠AGC=∠BEC=135°,‎ ‎∴∠AGH=∠CAH=45°,‎ ‎∵∠CHA=∠AHG,‎ ‎∴△AHG∽△CHA,‎ ‎∴==,‎ 设BC=CD=AD=a,则AC=a,‎ 则由=得=,‎ ‎∴AH=a,‎ 则DH=AD﹣AH=a,CH==a,‎ ‎∴=得=,‎ 解得:a=3,即BC=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题主要考查相似形的综合题,解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点.‎ ‎ ‎ ‎25.(13分)直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点B,顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A,交x轴于另一点C,连接BD,AD,CD,如图所示.‎ ‎(1)直接写出抛物线的解析式和点A,C,D的坐标;‎ ‎(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动,同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动,当其中一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.‎ ‎①当∠DPE=∠CAD时,求t的值;‎ ‎②过点E作EM⊥BD,垂足为点M,过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N,当PN=EM时,求t的值.‎ ‎【分析】(1)先由直线解析式求得点A、B坐标,将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值,从而得出答案;‎ ‎(2)①由(1)知BD=AC、BD∥OC,根据AB=AD=证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP,即2t=4﹣3t,解之即可;②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解.‎ ‎【解答】解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=2,‎ ‎∴点A(2,0)、点B(0,3),‎ 将点A(2,0)代入抛物线解析式,得:﹣×4+4m﹣3m=0,‎ 解得:m=3,‎ 所以抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣9,‎ ‎∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣(x﹣4)2+3,‎ ‎∴点D(4,3),对称轴为x=4,‎ ‎∴点C坐标为(6,0);‎ ‎(2)如图1,‎ 由(1)知BD=AC=4,‎ 根据0≤3t≤4,得:0≤t≤,‎ ‎①∵B(0,3)、D(4,3),‎ ‎∴BD∥OC,‎ ‎∴∠CAD=∠ADB,‎ ‎∵∠DPE=∠CAD,‎ ‎∴∠DPE=∠ADB,‎ ‎∵AB==、AD==,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∴∠DPE=∠ABD,‎ ‎∴PQ∥AB,‎ ‎∴四边形ABPQ是平行四边形,‎ ‎∴AQ=BP,即2t=4﹣3t,‎ 解得:t=,‎ 即当∠DPE=∠CAD时,t=秒;‎ ‎②(Ⅰ)当点N在AB上时,0≤2t≤2,即0≤t≤1,‎ 连接NE,延长PN交x轴于点F,延长ME交x轴于点H,‎ ‎∵PN⊥BD、EM⊥BD,BD∥OC,PN=EM,‎ ‎∴OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH、NF=EH,NE∥FQ,‎ ‎∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t,‎ ‎∵点N在直线y=﹣x+3上,‎ ‎∴点N的坐标为(2t,﹣3t+3),‎ ‎∴PN=PF﹣NF=3﹣(﹣3t+3)=3t,‎ ‎∵NE∥FQ,‎ ‎∴△PNE∽△PFQ,‎ ‎∴=,‎ ‎∴FH=NE=•FQ=×(6﹣5t)=6t﹣5t2,‎ ‎∵A(2,0)、D(4,3),‎ ‎∴直线AD解析式为y=x﹣3,‎ ‎∵点E在直线y=x﹣3上,‎ ‎∴点E的坐标为(4﹣2t,﹣3t+3),‎ ‎∵OH=OF+FH,‎ ‎∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2,‎ 解得:t=1+>1(舍)或t=1﹣;‎ ‎(Ⅱ)当点N在AD上时,2<2t≤4,即1<t≤,‎ ‎∵PN=EM,‎ ‎∴点E、N重合,此时PQ⊥BD,‎ ‎∴BP=OQ,‎ ‎∴2t=6﹣3t,‎ 解得:t=,‎ 综上所述,当PN=EM时,t=(1﹣)秒或t=秒.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点.‎ ‎ ‎
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