【数学】北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题

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【数学】北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题

北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题 第Ⅰ卷选择题(共40分)‎ ‎—、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)‎ 1. 在复平面内,复数对应的点的坐标是 ‎2.知抛物线,那么其焦点到准线的距离是 A.2‎ B.4‎ C.6‎ D.8‎ ‎3.已知等差数列}中那么 A.17‎ B.9‎ C. 10‎ D. 24‎ ‎4,已知直线与圆相切,那么a的值为 A.3或-1‎ B. ‎ C.-3或-7‎ D. ‎ ‎5.已知函数f(x)的导函数图像如图所示,那么下列说法正确的是 A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)有三个零点 C.当x=0时,函数f(x)取得最大值 D.当x=0时,函数f(x)取得极大值 ‎6.已知数列的前n项和为,则 A.48‎ B. 32‎ C. 24‎ D. 8‎ ‎7.设函数,则f(x)是 A.有一个零点的增函数 B.有一个零点的减函数 C.有二个零点的增函数 D.没有零点的减函数 ‎8.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖,在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:‎ 小张说:“甲或丙团队获得一等奖";‎ 小王说:“乙团队获得一等奖”;‎ 小李说:“丁、丙两个团队均未获得一等奖";‎ 小赵说:“甲团队获得一等奖".‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是 A. 甲 B.乙 C.丙 D.丁 第Ⅱ卷非选择题(共110分)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上)‎ ‎9.已知复数,那么________‎ ‎10.已知直线与直线互相垂直,那么b=________‎ ‎11.已知双曲线的一个焦点为(3,0),一个顶点为(1,0),那么其渐近线方程为________‎ ‎12.已知等差数列中,,等比数列中, ,那么数列的前4项和________‎ ‎13.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且焦点到渐近线的距离为,那么双曲线的离心率为________‎ ‎14.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )‎ ‎15. (本题满分13分)‎ 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)在[—2,2]上的最大值和最小值.‎ ‎16. (本题满分13分)‎ 设是等差数列的前n项和,,________.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和的最值.‎ 从中任选一个,补充在上面的问题中并作答.‎ ‎(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).‎ ‎17. (本题满分13分)‎ 已知椭圆的离心率为,过点(2,0).‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设左、右焦点分别为,经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点,若,求直线l方程。‎ ‎18. (本题满分14分)已知函数 ‎(Ⅰ)若函数f(x)在x=e处取得极值,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)若对所有,都有f(x),求实数a的取值范围.‎ ‎19.(本题满分14分)‎ 已知椭圆C:的左、右焦点分别为,椭圆上一点满足.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称,点P为椭圆上一动点(不与M、N重合),若直线PM,PN与 轴分别交于G、H两点,证明:为定值.‎ ‎20.(本题满分13分)‎ 定义首项为1,且公比为正数的等比数列为"M—数列”‎ ‎(Ⅰ)已知数列是单调递增的等差数列,满足,求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)已知数列的前n项和为,若是和1的等差中项,证明:数列是"M-数列";‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若存在"M—数列” ,对于任意正整数k,都有成立.求此时数列公比q的最小值.‎ 参考答案 ‎ 一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B A D ‎ C A B 二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. ; 10. 2; 11. ; 12. 320; 13. 14. 40.15‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 解:(I)因为, ……… 2分 ‎,即切线的斜率 ………4分 又因为,即切点坐标为, ……… 6分 所以曲线在点处的切线方程为.……… 7分 ‎(II)由,令, ……… 8分 ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎16‎ 所以的最大值为16,最小值为0. ………13分 ‎16.(本小题满分13分)‎ 选①补充条件.‎ 解:(I)设等差数列的公差为,‎ ‎ 由,,得,解得,‎ 所以. ……… 7分 ‎ (II)解法1:由等差数列的通项公式可知,数列是单调递增数列,且首项为1,所以前项和有最小值,无最大值,且最小值为.‎ 解法2:由数列的前项和 由二次函数图像性质可知,当时有最小值1,无最大值. ……… 13分 选②补充条件.‎ 解:(I)设等差数列的公差为,因为 ,所以 由, ‎ 所以. ………7分 ‎ (II)解法1:因为,所以等差数列是单调递减数列.‎ 令,,,所以前5项和为的最大值.‎ 即前项和的最大值为,无最小值.‎ 解法2:因为数列的前项和 由二次函数图像性质可知,当时有最大值,无最小值. ……… 13分 选③补充条件.‎ 解:(I)设等差数列的公差为,‎ ‎ 由,,得,‎ 解得,‎ 所以. ……… 7分 ‎ (II)解法1:因为,所以等差数列是单调递减数列.‎ 令,,,即当时前项和有最大值.‎ 所以前项和的最大值为,无最小值.‎ 解法2:数列的前项和 由二次函数图像性质可知,当时有最大值45,无最小值. …… 13分 ‎17. (本小题满分13分) ‎ 解:(Ⅰ),且过点.‎ ‎∴, ……… 2分 ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程为:; ……… 4分 ‎(Ⅱ)当斜率不存在时,设:,‎ 得 显然不满足条件. ………6分 当斜率存在时设:,、,……… 7分 联立整理得:,‎ ‎∴, ……… 9分 因为,‎ 所以 即: ‎ 整理得 ……… 11分 带入化简:‎ ‎∴直线方程为. ……… 13分 ‎18.(本小题满分14分)‎ 解:(I)由得……… 2分 因为函数在处取得极值,‎ ‎ 所以, ………4分 ‎ 解得 ………5分 经检验,时,函数在处取得极大值.‎ 所以 ……… 6分 ‎(II) 因为对所有,都有,‎ 所以 ……… 8分 ‎ 设 则 ………10分 因为,所以,‎ 即在上单调递减 ………12分 所以 即 ………14分 ‎19.(本小题满分14分)‎ 解:(I)由椭圆上一点 满足.‎ 得 ……… 2分 且 ……… 3分 所以 ‎ 所以椭圆的方程为. ……… 4分 ‎(II)证明:因为,两点关于轴对称,‎ 所以设,,则, ……… 5分 得直线的方程为,‎ 令得点的横坐标,‎ 同理可得点的横坐标 . ………9分 ‎∴,……… 11分 因为,‎ ‎∴,. ……… 13分 即得:为定值. ……… 14分 ‎20.(本小题满分13分)‎ 解:(I)因为是等差数列,‎ 所以 ……… 1分 又因为是递增等差数列,‎ 所以 ‎ 即数列的通项公式为 ……… 3分 ‎(II)因为是和1的等差中项,‎ ‎ 所以 ……… 4分 当时, ……… 5分 当时,‎ ‎ 化简得 即数列是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 所以数列是“M-数列”. ……… 7分 ‎(III)因为数列是 “M-数列”‎ ‎ 所以数列是首项为1,公比为正数的等比数列,设公比为,‎ 则. ……… 8分 因为对于任意正整数,都有成立,‎ 即恒成立 两边取对数得 ……… 9分 设 则 令 即 即 所以比较大小 而 所以 ……… 11分 即 因为 所以 所以数列公比的最小值为. ………13分
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