高考数学数列与极限专项训练

高考数学数列与极限专项训练

高考数学数列与极限专项训练（02）‎ 一、选择题（本题每小题5分，共60分）‎ ‎1．在等比数列中，,，则公比的值为 （ ）‎ ‎ A．25　　　 B．5　　　 C．－5 　　 D．±5 ‎ ‎2．已知等差数列中，，则的值是 （ ）‎ A．5 　　 B． 15 　　 C．20 　 D．25‎ ‎3．给定正数,其中,若成等比数列,成等差数列,则一元二次方程 （ ） ‎ ‎ A．无实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．有两个同号的相异的实数根 D．有两个异号的相异的实数根 ‎4．等差数列的前项和记为,若为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（ ）‎ ‎　　A．　　 B．　　　 C． D．‎ 第1个 第2个 第3个 ‎5．设数列为等差数列，且等于 （ ）‎ ‎ A．501 B．±501 C． D．±‎ ‎6．已知等差数列的前项和为，若，且，则等于（ ）‎ ‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎7．设等比数列的前项和为，若，则 （ ）‎ ‎ A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3‎ ‎8．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．已知为的一次函数，为不等于1的常量，且, 设，则数列为 （ ）‎ ‎ A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 ‎10．已知,则的值为 （ ）‎ ‎ A．1 B．－1 C．0 D．不存在 ‎11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）‎ ‎ A．10% B．16.4% C．16.8% D．20%‎ ‎12．已知的值为 （ ）‎ ‎ A．－4 B．8 C．0 D．不存在 二、填空题（本题每小题4分，共16分）‎ ‎13．已知等比数列及等差数列，其中，公差．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 .‎ ‎14．设数列满足,且数列是等差数列，求数列的通项公式 .‎ ‎15．设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求…的值为 .‎ ‎16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：‎ 则第个图案中有白色地面砖 块.‎ ‎ （理）已知，把数列的各项排成三角形状；‎ ‎ 记表示第行，第列的项，则 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：‎ ‎17．（本小题满分12分）已知一个数列的各项是1或3．首项为1，且在第个1和第个1之间有个3,即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前项的和为．‎ ‎（1）试问第2004个1为该数列的第几项？（2）求；（3）；‎ ‎（4）是否存在正整数，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,说明理由．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△，△，…△…设正三角形的边长为,(记为),.‎ y O x Q1‎ Q2‎ P1‎ P2‎ P3‎ ‎ （1）求的值;（2）求数列的通项公式;‎ ‎ （3）求证:当时, 有.‎ ‎19．（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：‎ ‎ （Ⅰ）每年年末加1000元； （Ⅱ）每半年结束时加300元。请你选择。‎ ‎ （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ ‎ ‎ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ ‎ ‎20．（本小题满分12分）已知数列的前项的“均倒数”为，‎ ‎ （1）求的通项公式；（2）设，试判断并说明的符号；‎ ‎ （3）（理）设函数，是否存在最大的实数，当时，对于一切自然数，都有。‎ ‎ （文）已知，数列的前项为，求的值。‎ ‎21．（本小题满分12分）若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数 ‎，.‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线的斜率为.且与曲线有且仅一个交点，与轴交于，记求；‎ ‎（Ⅲ）若 ‎22．（本小题满分14分）已知数列中，且点在直线上.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若函数求函数的最小值；‎ ‎ （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得 对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。‎ ‎‎ 参 考 答 案（二）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）：‎ ‎(1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示（9）B ‎ ‎……‎ 二、填空题（每小题4分，共16分）‎ ‎(13). 978； (14). （n∈N*）；(15).5；(16).（文）（理）‎ 提示13.设的公比为q，由题知：解得则，．这个新数列的前10项之和为 ‎14. 由已知∴‎ ‎≥2时，‎ ‎==也合适 ∴ ‎ ‎15. 设…‎ 三、解答题（共74分，按步骤得分）‎ ‎17. 解：将第个1与第个1前的3记为第对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；为第对，共项；…．故前对共有项数为． …………2分 ‎ （Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）．…4分 ‎ （Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而．…7分 ‎ （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是=45+3×1959=5922．…9分 ‎ （Ⅳ）前对所在全部项的和为．‎ 易得，=3×252+25=1900，=3×262+26=2054，=1901，且自第652项到第702项均为3,而2004-1901=103不能被3整除，故不存在，使=2004．…………12分 ‎18. 解 （1）由条件可得,代入曲线得;……5分 ‎(2) ∴点代入曲线并整理得,‎ 于是当时,即 ‎ …………10分 又当 ,故 所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, ;…………12分 ‎19．解：设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；‎ 设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；‎ ‎(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。‎ 方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋=63000元；……6分 ‎(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：‎ Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋=500n2＋500n T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋=600n2＋300n …………10分 令T2n≥Sn即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。‎ ‎∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案…12分 ‎20. 解：(1)，两式相减，得，‎ ‎ (2)，.…………8分 ‎(3)（理）由（2）知 是数列中的最小项，∵时，对于一切自然数，都有，即，‎ ‎ ∴，即，解之，得 ， ∴取 。 ……12分 ‎ （文），当时，，；当时，；‎ ‎ 当时，。综上得，………………12分 ‎21．解：（I）……2分 当 ‎ 当……4分 ‎（II）设 由 由于仅有一个公共点.‎ ‎（III）…10分 ‎ ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎………………3分 ‎…6分 ‎…12分 ‎……13分 ‎……14分