2020高中数学 第1章 解三角形正弦定理、余弦定理的应用

2020高中数学 第1章 解三角形正弦定理、余弦定理的应用

1 正弦定理、余弦定理的应用 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 正弦定理、 余弦定理的 应用 1. 通过对任意三角形边长 和角度关系的探索，掌握正 弦定理、余弦定理，并能解 决一些简单的三角形度量问 题。 2. 能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法，解决一 些与测量和几何计算有关的 实际问题。 填空题 解答题 高考必考 运用正、余弦定理 可以实现边角的互化， 不同的转化方向考查了 思维的灵活性；解三角 形问题经常与三角恒等 变换结合，体现了考查 的综合性；实际问题需 要数学化，体现了数学 的应用价值。 二、重难点提示 重点：正弦定理及余弦定理的灵活运用。 难点：运用三角函数及正、余弦定理解决生活中的实际问题。 1. 正弦定理及三角形面积公式： 2sin sin sin a b c RA B C    ， 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C ac B bc A    。 2. 余弦定理：                      。 ab cbaC ac bcaB bc acbA Cabbac Baccab Abccba 2cos ,2cos ,2cos ,cos2 ,cos2 ,cos2 222 222 222 222 222 222 3. 三角形的边角互化： ① 2 sina R A ， 2 sinb R B ， 2 sinc R C ②sin 2 aA R  ，sin 2 bB R  ，sin 2 cC R  ③ sin sin sin a b c A B C   = sin sin sin a b c A B C     = 2R ④ : : sin :sin :sina b c A B C ⑤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos2 2 2 b c a a c b a b cA B Cbc ac ab         4. 三角形中的基本关系式： sin( ) sin ,cos( ) cos ,B C A B C A     2 sin cos ,cos sin2 2 2 2 B C A B C A   5. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角。（这种 类型也可以用余弦定理求解） 6. 应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角。 7. 实际问题的思考策略 审题  建模（三角形模型）  解模（解三角形求符合题意的边或角）  答模（检验 并写出实际问题的答案） 例题 1 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测 出该渔船在方位角为 45°，距离 A 为 10 n mile 的 C 处，并测得渔船正沿方位角为 105°的 方向，以 9 n mile／h 的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile／h 的速度前 去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。 思路分析：本题中的自变量是时间 x，有了时间就有了距离，求舰艇的航向就是当舰艇 与渔船同时到达点 B 时舰艇的方位角，其大小为 45o CAB  。在 ABC 中， ACB 可求， 其它三边可表示或已知，用余弦定理列出一个方程即可求出 x。求 BAC 既可以用余弦定 理，也可以用正弦定理，通常用正弦定理运算量稍小些。 答案： 解：设舰艇在 B 处靠近渔船所用的时间为舰艇 x h，则 AB=21x，BC=9x，又 AC=10，  120)]45180(105[360ACB ， 在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2(21 ) 10 (9 ) 2 10 9 cos120x x x      ，解得 2 3x  h， （负值已舍）。 由正弦定理得 9 sin120 3 3sin 21 14 oxBAC x    ，又 21.8 ,oBAC  BAC 为锐角，故 方位角约为 45 21.8 66.8o o o  。 答：舰艇应按照方位角 66.8o 的航向前进，靠近渔船所用的时间为 2 3 h 。 3 例题 2 （江苏高考）在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 6cosb a Ca b   ， 则 tan tan tan tan C C A B  = 。 思路分析：本题已知锐角三角形边角的一个等量关系，求关于三个角的正切的代数式的 值。基本思路是化边为角，为此可以先用正弦定理，将已知条件转化为关于三个角 A、B、C 的等量关系式，然后向所求的目标变形，若本思路受挫，可以考虑化角为边进行类似变形。 另一思路是将已知条件与所求目标同时变形，然后求解。第三个思路是小题小做，考虑特殊 情况求出答案。 答案： 方法一： 2 26cos 6 cosb a C ab C a ba b      ， 2 2 2 2 2 2 2 2 36 ,2 2 a b c cab a b a bab       2tan tan sin cos sin sin cos sin sin( ) 1 sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B         2 2 2 2 2 2 4c ab c a b c ab     。 方法二：考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时 满 足 题 意 ， 此 时 有 ： 1cos 3C  ， 2tan 2 2,tan 2 2 CC   ， cos 2tan tan tan( ) 22 sin 2 C CA B C      ，故 tan tan tan tan C C A B  = 4。 技巧点拨：解三角形的正余弦定理可以实现边角的互化，“化边为角”还是“化角为 边”要因题而易，有时甚至是在思路碰壁后的重新调整，用特殊值法可以简化思考，但取特 殊值或特殊情况应合理简便。 【综合拓展】 （新课标高考改编）已知 cba ,, 分别为 ABC 三个内角 CBA ,, 的对边， 2a ，且   CbcBAb sin)()sin(sin2  ，则角 A 的大小为____________. 答案： 解法一：由正弦定理得 2 2(2 )(2 ) ( ) ,4b b c b c b c bc       ，故由余弦定理得 2 2 4 1cos 2 2 b cA bc    ，因为 A 为三角形的内角，故 60oA  。 解法二：将 a=2 代入到已知条件中，得 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C    ，由正弦 定理得 2 2 2( )( ) ( ) ,a b a b c b c b c a bc       ，由余弦定理得 1cos , (0, )2A A   ， 故 3A  。 4 技巧点拨：当 a， b， c 在等式两边且次数相同时，可以“化边为角”，同样地，当 sinA， sinB， sinC 位于等式两边时，也可以化角为边，依据是正弦定理。出现 2 2 ,2b c bc 等表达式时，通常运用余弦定理。本题第二种解法，将 2 换成了 a，体现数学中的协调与和 谐，给解题者以愉悦感。