江苏省苏北四市2020届高三上学期第一次质量检测（期末）数学试题 含解析

江苏省苏北四市2020届高三上学期第一次质量检测（期末）数学试题 含解析

徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合，，则_____.‎ 答案： ‎ 解：由题意直接求解即可得 ‎2.已知复数满足，且的虚部小于0，则_____.‎ 答案：‎ 解: ,则，又因为的虚部小于0，则 ‎3.若一组数据的平均数为7，则该组数据的方差是_____.‎ 答案：‎ 解： 解得，‎ ‎4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____.‎ 答案：20 ‎ ‎5.函数的定义域为_____.‎ 答案：‎ 解：由题意得：，解得，所以函数的定义域为 ‎6.某学校高三年级有两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.‎ 答案：‎ 解：‎ ‎7.若关于的不等式的解集是，则实数的值为______.‎ 答案：4‎ 解：由题意得：，解得 ‎8.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为______.‎ 答案：‎ 解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为，代入得：‎ ‎9.已知等差数列的前项和为，，，则的值为_____.‎ 答案：135‎ 解：，，则，，解得：，‎ 因为 ‎10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是，则的面积为_____.‎ 答案：‎ ‎11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆外切与点，且过点，则圆的标准方程为______.‎ 答案：‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数），若，则实数的值为_____.‎ 答案：3‎ 解：由题意得： ，，解得：‎ ‎13.如图，在中，是上的两个三等分点，，则的最小值为____.‎ 答案：‎ 解：‎ ‎14.设函数，，其中.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.‎ 答案：‎ 方法一：‎ 所以 当且仅当，时，上述等号成立，所以取最小值时，.‎ 方法二：由对称性可知，最小时，，且 所以，即，则 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15. （本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎ ‎ 解：（1）在中，因为M，N分别为棱PB，PC的中点，‎ ‎ 所以MN// BC． ………………………………3分 ‎ 又MN平面AMN，BC平面AMN，‎ ‎ 所以BC//平面AMN．…………………………6分 （2） 在中，因为，M为棱PB的中点，‎ 所以．………………………………8分 ‎ 又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB，‎ ‎ 所以平面PBC．…………………………………………………………12分 ‎ 又平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC． …………………………14分 ‎16. （本小题满分14分）‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 解：（1）在中，由余弦定理得，‎ ‎，即， …………………………4分 解得或（舍），所以． ………………………………………6分 ‎（2）由及得，，…8分 所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而，………………………………………………12分 所以．………………………………………14分 ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图，在圆锥中，底面半径为3，母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥的体积为.‎ ‎（1）将表示成的函数；‎ ‎（2）求得最大值.‎ 解：（1）在中，， …………………………2分 由∽可知，，所以，……………………4分 所以，所以．…7分 ‎（2）由（1）得，‎ 所以，令，得，………………………9分 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减．‎ 所以当时，取得最大值．‎ 答：小圆锥的体积的最大值为．………………………………………14分 ‎18. （本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为,过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.‎ ‎（1）用表示椭圆的离心率；‎ ‎（2）若,求椭圆的离心率.‎ ‎（1）直线l的方程为，即，‎ 因为直线l与圆相切，所以，故．‎ 所以椭圆的离心率．………………………………4分 ‎（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，‎ 由得，所以，…6分 由得，‎ 解得，则，‎ 所以，……………………………………………10分 因为，所以，‎ 即，………………………………………………12分 由（1）知，，所以，‎ 所以，即，所以，故椭圆的离心率为．……16分 ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，‎ 求出的最大值；若不存在，说明理由.‎ 解：（1），‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，得．……………………………………………2分 ‎（2）因为存在两个不相等的零点．‎ ‎ 所以存在两个不相等的零点，则．‎ ‎ ①当时，，所以单调递增，至多有一个零点．……4分 ‎ ②当时，因为当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以时，． …………………………6分 ‎ 因为存在两个零点，所以，解得．………7分 因为，所以．‎ 因为，所以在上存在一个零点． …………8分 因为，所以．‎ 因为，设，则，‎ 因为，所以单调递减，‎ 所以，所以，‎ 所以在上存在一个零点．‎ 综上可知，实数的取值范围为．…………………………………10分 ‎（3）当时，，，‎ 设，则．所以单调递增，‎ 且，，所以存在使得，……12分 因为当时，，即，所以单调递减；‎ 当时，，即，所以单调递增，‎ 所以时，取得极小值，也是最小值，‎ 此时，……………14分 因为，所以，‎ 因为，且为整数，所以，即的最大值为．………16分 ‎20. （本小题满分16分）‎ 已知数列的首项，对任意的,都有，数列是公比不为1的等比数列.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项.‎ 解：（1）由，可知，，，‎ 因为为等比数列，所以，‎ 即，即，解得或，…2分 当时，，所以，则，‎ 所以数列的公比为1，不符合题意；‎ 当时，，所以数列的公比，‎ 所以实数的值为． …………………………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，所以 则 ‎，……………………………………………………6分 则，‎ 因为，又，‎ 且，，所以，则，‎ 设，…………………………………………………………8分 则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，‎ ①当时，，化简得，‎ 即，所以可取值为1，2，3，‎ 验证得，当时，成立．…………………12分 ②当为偶数时，，‎ 设，则，‎ 由①知，当时，；‎ 当时，，所以，所以的最小值为，‎ 所以，令，则，‎ 即，无整数解．‎ 综上，正整数m的值．………………………………………………………16分 徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包含A、B、C小题 ‎，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）‎ 已知矩阵 的一个特征值为4，求矩阵的逆矩阵.‎ 解：矩阵的特征多项式为．…………2分 因为矩阵的一个特征值为4，所以，所以．…………5分 所以，所以．……10分 B．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.在曲线上点,使点到的距离最小，并求出最小值.‎ 解：由，及，，‎ 所以的直角坐标方程为． ………………………………………2分 在曲线上取点，则点到的距离 ‎，…………6分 当时，取最小值，…………………………………………………8分 此时点的坐标为．………………………………………………………10分 C．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 已知正数满足，求的最小值.‎ 解：因为都为正数，且，‎ 所以由柯西不等式得，‎ ‎………………5分 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为3．…………………………………10分 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，平面平面.‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ 解：（1）因为四边形为正方形，所以，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ ‎（第22题）‎ B A C x y z B1‎ A1‎ C1‎ 平面，所以平面. ……………………………2分 以点为坐标原点，分别以,所在的直线 为,轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎ 不妨设正方形的边长为2，‎ 则，．‎ ‎ 在菱形中，因为，‎ 所以，所以．‎ 因为平面的法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．………………………6分 ‎（2）由（1）可知，，所以．‎ ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为 即，‎ 取，，，即．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 所以，取．…………8分 ‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎ 则，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知为给定的正整数，设，.‎ ‎（1）若，求，的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 解：（1）因为，所以，．……………………2分 ‎（2）当时，，‎ 又因为，………………………4分 当时，； …………………………………5分 当时，‎ ‎，‎ 当时，也符合．‎ 所以的值为．………………………………………………10分