数学冀教版九年级上册课件26-4解直角三角形的应用

数学冀教版九年级上册课件26-4解直角三角形的应用

26.4 解直角三角形的应用 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 情境引入 1.复习并巩固解直角三角形的相关知识. 2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题. (重点、难点) 3.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.（重点、难点） 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: tanA＝ a bsinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 别忽略我哦！ 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 利用仰角、俯角解决实际问题 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水 平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°. Rt△ABD中，a =30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． tan ,tan .BD CDa AD AD   30tan120tan  aADBD 3120 40 3.3    60tan120tan  ADCD 120 3 120 3.   3120340  CDBDBC 1.2773160  答：这栋楼高约为277.1m. A B C Dα β 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B CD 40m 54°45° 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°, BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 tan .ACADC DC   tanAC ADC DC    tan54 40 1.38 40 55.2.     所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2. 答：棋杆的高度为15.2m. 利用坡度、坡角解决实际问题 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶ 3 ，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.523 6 1:3i  α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶ m的形式，如i=1∶ 6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 tanh li   坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. 3:1 α l h 30 1：1 1: 3 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E FA D B C i=1:2.5 23 6 1:3i  α 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23 6 1:3i  α BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中 1 3 .BE AEi   3 3 23 69m.AE BE     在Rt△DCF中，同理可得 2 5 2 5 23 57 5m.FD . CF . .    FDEFAEAD  =69+6+57.5=132.5m. 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 2 2 2 269 23 72.7m.AB AE BE     (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 22 .   答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°. 1 2.5 .CF FDi   如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m α β i=1:3i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° 1tan 1.5 AF iBF     33.7   在Rt△CDE中，∠CED=90° tan 1:3DE iCE     18.4   完成第（2）题 1.如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之 间的水平距离BC=_________米. 2.如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物 CD的高为_____米. 100 20 3 3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB 等于 （根号保留）． 4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°， 则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．  100 1 3 米 图3 图4 22 cm2 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 414.12,732.13  解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知 　 DE＝CF＝4（米）， 　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 答： 路基下底的宽约为22.93米．  45tan4 AEAE DEi )(445tan 4 米 AE )(93.630tan 4 米BF 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 6.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固 定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢 缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留 根号）． 解：在Rt△ABO中， ∵tan∠BOA= =tan60°= ∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米） 答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到 地面的距离AB是4 米. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．