高中数学必修2教案：第一章至第二章空间几何体的结构

高中数学必修2教案：第一章至第二章空间几何体的结构

1．1 空间几何体的结构 1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [提出问题] 观察下列图片： 问题 1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ 提示：由若干个平面多边形围成． 问题 2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？ 提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成，(7)的表面是由曲面围成的． 问题 3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？ 提示：可以． [导入新知] 1．空间几何体 概念 定义 空间几 何体 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考 虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形 就叫做空间几何体 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的 顶点 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转 体，这条定直线叫做旋转体的轴 2．多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，并且每 相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面 所围成的多面体叫做棱 柱 如图可记作：棱柱 ABCD－ A′B′C′D′ 底面(底)：两个互相 平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公 共边 顶点：侧面与底面的 公共顶点 棱锥 有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶 点的三角形，由这些面所 围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥 S－ ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的 各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公 共边 顶点：各侧面的公共 顶点 棱台 用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分叫做棱 台 如图可记作：棱台 ABCD－ A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截 面 下底面：原棱锥的底 面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公 共边 顶点：侧面与上(下) 底面的公共顶点 [化解疑难] 1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面： (1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面 围成，就称为几面体． (2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点： (1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图 a 所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图 b 所示． (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱， 如图 c 所示． 3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体 不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图 d 所示． 4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． 棱柱的结构特征 [例 1] 下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． [解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； (2)错误，棱柱的底面可以是三角形； (3)正确，由棱柱的定义易知； (4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)． [答案] (3)(4) [类题通法] 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面， 再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． [活学活用] 1．下列四个命题中，假命题为( ) A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 解析：选 A A 错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、 D 是正确的. 棱锥、棱台的结构特征 [例 2] 下列关于棱锥、棱台的说法： (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形； (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________． [解析] (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面 之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． [答案] (2)(3)(4) [类题通法] 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 [活学活用] 2．试判断下列说法正确与否： ①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台． 解：①不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱；②不正确，两个底面平行且 相似，其余各面都是梯形的多面体．侧棱不一定相交于一点，所以不一定是棱台. 多面体的平面展开图 [例 3] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ [解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图 还原为原几何体，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． [类题通法] 1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力． 2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出 来，然后依次画出各侧面． 3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推． [活学活用] 3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体 的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面 是( ) A．1 B．2 C．快 D．乐 解析：选 B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1 与乐相对，2 与 2 相对，0 与快相对，所以下面是 2. 1.柱、锥、台结构特征判断中的误区 [典例] 如图所示，几何体的正确说法的序号为________． (1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体 可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． [解析] (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围； (2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确； (3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱； (4)(5)都正确，如图所示． [易错防范] 1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理． 2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断． [成功破障] 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形 成的几何体是( ) A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 解析：选 A 如图 ∵平面 AA1D1D∥平面 BB1C1C， ∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水 面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状． [随堂即时演练] 1．下列几何体中棱柱有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 解析：选 D 由棱柱定义知，①③为棱柱． 2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( ) 解析：选 D A、B、C 中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱． 3．棱锥最少有________个面． 答案：4 4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)． 答案：①③④ ⑥ ⑤ 5．(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱？多少个面？ (2)有没有一个多棱锥，其棱数是 2 012？若有，求出有多少个面；若没有，说明理由． 解：(1)三棱锥有 6 条棱、4 个面；四棱锥有 8 条棱、5 个面；十五棱锥有 30 条棱、16 个面． (2)设 n 棱锥的棱数是 2 012，则 2n＝2012，所以 n＝1 006，1 006 棱锥的棱数是 2 012， 它有 1 007 个面． [课时达标检测] 一、选择题 1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( ) 答案：C 2．有两个面平行的多面体不可能是( ) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错 解析：选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行． 3．关于棱柱，下列说法正确的是( ) A．只有两个面平行 B．所有的棱都相等 C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，侧棱也互相平行 解析：选 D 对于 A，如正方体可以有六个面平行，故 A 错；对于 B，如长方体并不是 所有的棱都相等，故 B 错；对于 C，如三棱柱的底面是三角形，故 C 错；对于 D，由棱柱的 概念，知两底面平行，侧棱也互相平行．故选 D. 4．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A．20 B．15 C．12 D．10 解析：选 D 从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点 相连可得 2 条对角线，故共有 5×2＝10 条对角线． 5．下列命题中正确的是( ) A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 解析：选 D A 中的平面不一定平行于底面，故 A 错；B 中侧棱不一定交于一点；C 中 底面不一定是正方形． 二、填空题 6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成． 解析：棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有 3 个，故面数最少的棱柱为三棱柱， 共有五个面围成． 答案：三 5 7.如图，M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 CC1 的 中点，沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是________ cm. 解析：由题意，若以 BC 为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所在 的直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm,3 cm，故两点之间的距离 是 13 cm.若以 BB1 为轴展开，则 A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长 度分别为 1,4，故两点之间的距离是 17 cm. 故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是 13 cm. 答案： 13 8．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体． 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体． 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体． 棱长都相等的长方体叫做正方体． 请根据上述定义，回答下面的问题： (1)直四棱柱________是长方体； (2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”、“不一定”、“一定不”) 解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方 体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体． 答案：(1)不一定 (2)不一定 三、解答题 9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征． 解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台． (2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥． (3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱． (4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱． 10．(2011·山东高考改编)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一 个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计 一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明． 解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥． 如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角 形边长的1 4 ，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形 的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征 旋转体 [提出问题] 如图，给出下列实物图． 问题 1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ 提示：它们不是由平面多边形围成的． 问题 2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？ 提示：可以． 问题 3：如何形成上述几何体的曲面？ 提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成． [导入新知] 旋转体 结构特征 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋 转轴，其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆 柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆 面叫做圆柱的底面；平行于 轴的边旋转而成的曲面叫做 圆柱的侧面；无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边都 叫做圆柱侧面的母线 我们用表示圆柱轴的 字母表示圆柱，左图可 表示为圆柱 OO′ 圆锥 以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两 边旋转形成的面所围成的旋 我们用表示圆锥轴的 字母表示圆锥，左图可 表示为圆锥 SO 转体叫做圆锥 圆台 用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，底面与截面之间的 部分叫做圆台 我们用表示圆台轴的 字母表示圆台，左图可 表示为圆台 OO′ 球 以半圆的直径所在直线为旋 转轴，半圆面旋转一周所形 成的旋转体叫做球体，简称 球．半圆的圆心叫做球的球 心，半圆的半径叫做球的半 径，半圆的直径叫做球的直 径 球常用球心字母进行 表示，左图可表示为球 O [化解疑难] 1．以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆 锥． 2．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部 分． 3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲 面所围成的几何体. 简单组合体 [提出问题] 中国首个空间实验室“天宫一号”于 2011 年 9 月 29 日 16 分成功发射升空，并与当年 11 月与“神舟八号”实现无人空间对接，下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图． 其主体结构如图所示： 问题 1：该几何体由几个几何体组合而成？ 提示：4 个． 问题 2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？ 提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱． [导入新知] 1．简单组合体的概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去 一部分而成的． [化解疑难] 简单组合体识别的要求 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征． (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式． (3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)． 旋转体的结构特征 [例 1] 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的 曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成 的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的 母线长有可能大于圆锥底面圆直径，其中正确说法的序号是________． [解析] (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥， 而是两个同底圆锥的组合体； (2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几 何体是圆锥； (3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； (4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的 2 倍(即直径)． [答案] (2)(3)(4) [类题通法] 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． [活学活用] 1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形 面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的 几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________． 解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面； (2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； (3)不正确，圆台的母线延长相交于一点； (4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体． 答案：(1)(2) 简单组合体 [例 2] 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题： (1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形 180° 后得到几何体①； (2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形 360°得到几何体 ②； (3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数． [解析] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成． 可旋转如下图形 180°得到几何体①. (2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心． 可旋转如下图形 360°得到几何体②. (3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同． 共有 9 个面，9 个顶点，16 条棱． [类题通法] 1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出 棱数、面数和顶点数，如图③所示的组合体有 9 个面，9 个顶点，16 条棱． 2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然 后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力． [活学活用] 2．下列组合体是由哪些几何体组成的？ 解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱． (2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱． (3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台． 1.旋转体的生成过程 [典例] 如图，四边形 ABCD 为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋 转所得到的几何体． [解题流程] 分别以边 AD、AB、BC、CD 所在直线为旋转轴旋转 已知四边形 ABCD 为直角梯形 以边 AD 所在直线为旋转轴旋转―→ 以边 AB 所在直线为旋转轴旋转―→ 以边 CD 所在直线为旋转轴旋转―→ 以边 BC 所在直线为旋转轴旋转 [规范解答] 以边 AD 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是圆台，如图(1)所示． 以边 AB 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何 体，如图(2)所示． 以边 CD 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体， 如图(3)所示． 以边 BC 所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何 体和一个圆锥拼接而成，如图(4)所示． [活学活用] 一个有 30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以 斜边上的高所在的直线 为轴旋转 180°得到什么几何体？旋转 360°又得到什么几何体？ 解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥． 如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥． 如图(4)所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°围成的几何体是两个半圆锥，旋 转 360°围成的几何体是一个圆锥． [随堂即时演练] 1．(2012·临海高一检测)圆锥的母线有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．无数条 答案：D 2.右图是由哪个平面图形旋转得到的( ) 解析：选 A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由 A 中图形绕图中虚线旋转 360° 得到． 3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转 180°，所得几何体是________． 答案：圆锥 4．如图所示的组合体的结构特征为________． 解析：该组合体上面是一个四棱锥，下面是一个四棱柱，因此该组合体的结构特征是四 棱锥和四棱柱的一个组合体． 答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体 5.如图，AB 为圆弧 BC 所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线 AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征． 解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的． [课时达标检测] 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) ①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个； ②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆； ③圆台的两个底面可以不平行． A．①② B．② C．②③ D．①③ 解析：选 B ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于 90°时，其面积不是最大的；③圆台 的两个底面一定平行．故①③错误． 2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥 解析：选 D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个 直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由 一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图： 3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析：选 D 如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小 圆锥． 4．下列叙述中正确的个数是( ) ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B ①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，②中应以直角梯形中的直角 腰所在直线为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确． 5.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不．正确的是( ) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C．该几何体有 8 个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有 9 个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析：选 D 该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组 合体，因而四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面． 二、填空题 6．下列 7 种几何体： (1)柱体有________； (2)锥体有________； (3)球有__________； (4)棱柱有________； (5)圆柱有________； (6)棱锥有________； (7)圆锥有________． 解析：由柱、锥、台及球的结构特点易于分析，柱体有 a、d、e、f；锥体有 b、g；球有 c；棱柱有 d、e、f；圆柱有 a；棱锥为 g；圆锥为 b. 答案：(1)a、d、e、f (2)b、g (3)c (4)d、e、f (5)a (6)g (7)b 7．下面这个几何体的结构特征是___________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：根据图形可知此几何体是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了 一个圆柱而成． 答案：由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成 8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________． 答案：圆柱 三、解答题 9．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体． 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 10.如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、 下底面的半径分别为 2 cm 和 5 cm，圆台的母线长是 12 cm，求圆锥 SO 的母线长． 解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形 ABCD，由已知可得上底半 径 O1A＝2 cm，下底半径 OB＝5 cm，且腰长 AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的 母线长为 l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l ＝2 5 ，所以 l＝20 cm，即截得此圆 台的圆锥的母线长为 20 cm. 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．2.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 中心投影与平行投影 [提出问题] 15 年之后，《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏，而这次的宣传噱头则是 3D.《泰坦尼克号 3D》让观众在明知下一步剧情发展的情况下，仍然会因为 发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶．从右图中我们可以清楚看到 3D 电影是怎么一回事：两个投影机会从不同的方向错开一定距离，把画面中有距离区别的部分 投射到荧幕上．而观众所佩戴的 3D 眼镜也会选择不同的光线进入左右眼，这样你就能看到 物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了． 电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后 留下的影像． 放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件． 问题 1：放电影成像与太阳光成像原理一样吗？ 提示：不一样． 问题 2：电影成像中的光线有何特点？ 提示：光是由一点向外散射． 问题 3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？ 提示：一束平行光线． [导入新知] 1．投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面． 2．中心投影与平行投影 投影 定义 特征 分类 中心投影 光由一点向外散射形成的投 影 投影线交于一点 平行投影 在一束平行光线照射下形成 的投影 投影线互相平行 正投影和斜投影 [化解疑难] 平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别 (1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行． (2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完 全相同；而中心投影则不同． 三 视 图 [提出问题] 如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同 天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地． 问题 1：水立方的外观形状是什么？ 提示：长方体． 问题 2：假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什 么？ 提示：水立方的一个侧面． 问题 3：若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？ 提示：水立方的一个表面． 问题 4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？ 提示：可以． [导入新知] 三视图 概念 规律 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到 的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高度一 样，正视图和俯视图长度一样，侧视图 与俯视图宽度一样 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到 的投影图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到 的投影图 [化解疑难] 1．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图 反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸． 2．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线 表示． 中心投影与平行投影 [例 1] 下列说法中： ①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点； ②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线； ③两条相交直线的平行投影是两条相交直线． 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] 序号 正误 原因分析 ① √ 由平行投影和中心投影的定义可知 ② × 空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当 投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由 近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点 ③ × 两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线 [答案] B [类题通法] 1．判定几何体投影形状的方法： (1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位 置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断． (2)对于平行投影，当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影具有以下性质： ①直线或线段的投影仍是直线或线段； ②平行直线的投影平行或重合； ③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； ④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； ⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． 2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等， 方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． [活学活用] 1.如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别是 BB1、BC 的中点， 则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影为( ) 解析：选 A N 在面 ADD1A1 内的投影是 AD 中点，M 在面 ADD1A1 内的投影是 AA1 中点． 画空间几何体的三视图 [例 2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图． [解] 几何体的三视图如下： [类题通法] 画三视图的注意事项 (1)务必做到长对正，宽相等，高平齐． (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右， 俯视图在正视图的正下方． (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚 线的画法． [活学活用] 2．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能 是( ) 解析：选 D 对于选项 A，两个圆柱符合要求；对于选项 B，一个圆柱和一个正四棱柱 的组合体符合要求；对于选项 C，一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组 合体符合要求；选项 D 如果可能的话，则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的 组合体，其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长 是三棱柱底面三角形的高，故只有选项 D 中的不可能. 由三视图还原空间几何体 [例 3] (1)如图所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状． (1) (2) (3) [解] (1)该三视图表示的是一个四棱台，如图： (2)由俯视图可知该几何体是多面体，结合正视图、侧视图可知该几何体是正六棱锥．如 图： (3)由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合 体，结合侧视图和正视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，所以该几何 体的形状如图所示． [类题通法] 由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高 及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状． [活学活用] 3．根据图中的物体的三视图，画出物体的形状． (1) (2) 解：(1)由三视图可知，下面为棱柱、上面为正方体，故表示物体的 实物图形如图． (2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图． 2.画几何体的三视图常见误区 [典例] 某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确 的是( ) [解析] 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视 方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选 A. [答案] A [易错防范] 1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错． 2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画 成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误． [成功破障] 沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( ) 解析：选 D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线． [随堂即时演练] 1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可 以是( ) A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 解析：选 D 球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三 视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选 D. 2．以下关于投影的叙述不．正确的是( ) A．手影就是一种投影 B．中心投影的投影线相交于点光源 C．斜投影的投影线不平行 D．正投影的投影线和投影面垂直 解析：选 C 平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故 C 错． 3．下图中三视图所表示几何体的名称为________． 解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面在正前面． 答案：圆柱 4．直线的平行投影可能是________． 答案：直线或点 5．画出如图所示几何体的三视图． 解：图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出；图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按 圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示． [课时达标检测] 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．两条相交直线的平行投影可能平行 D．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析：选 D 对于 A，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的 放置及投影面的位置有关；同理，对于 B，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于 C，平 行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确． 2．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图， 则在字母 L，K，C 的投影中，与字母 N 属同一种投影的有( ) 解析：选 A N 和 L，K 属中心投影，C 属平行投影． 3．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示， 则该几何体的侧视图为( ) 解析：选 D 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右 侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与 右侧面的对角线重合，对照各图可知选 D. 4．如图所示，在这 4 个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析：选 D ①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形； ②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心； ③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为：梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外两 个三角形，且对应顶点相连)； ④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形及中心． 5．(2012·陕西高考)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则 该几何体的左视图为( ) 解析：选 B 左视图中能够看到线段 AD1，画为实线，看不到线段 B1C，画为虚线，而 且 AD1 与 B1C 不平行，投影为相交线． 二、填空题 6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体是由(简单几何体)________与________组 成的． 解析：由三视图可得，几何体为一四棱台和长方体的组合体． 答案：四棱台 长方体 7．如图甲所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，C1D1 的中点，G 是正 方形 BCC1B1 的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 ________． 解析：在面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的投影是图乙(1)；在面 ADD1A1 和面 BCC1B1 上的投 影是图乙(2)；在面 ABB1A1 和面 DCC1D1 上的投影是图乙(3)． 答案：(1)(2)(3) 8．两条平行线在一个平面内的正投影可能是________． ①两条平行线；②两个点；③两条相交直线；④一条直线和直线外的一点；⑤一条直线． 解析：如图，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，直线 A1B1∥C1D1，它们在平面 ABCD 内的 投影为 AB，CD，且 AB∥CD，故①正确；它们在平面 BCC1B1 内的正投影是点 B1 和点 C1， 故②正确；取 A1D1 的中点 E，B1C1 的中点 F， 连接 EF，则 EF∥D1C1 且 EF 与 D1C1 在平面 ABB1A1 内的投影是同一直线 A1B1，故⑤正 确，故填①②⑤. 答案：①②⑤ 三、解答题 9．如图所示，画出下列组合体的三视图． 解：三视图如图①②所示． 10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征． 解：该三视图表示的是组合体，如图所示，是 7 个小正方体拼接而成的 组合体． 1．2.3 空间几何体的直观图 [提出问题] 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间 有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表 达出各主要部分的位置关系和度量关系． 问题 1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？ 提示：为了直观，不一定． 问题 2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？ 提示：平行四边形、扁圆形，为增加直观性． 问题 3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？ 提示：不相同． [导入新知] 1．用斜二测画法画平面图形的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成 对应的 x′轴和 y′轴， 两轴 相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面． (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线 段． (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长 度变为原来的一半． 2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． (2)画 z′轴，z′轴过点 O′，且与 x′轴的夹角为 90°，并画出高线(与原图高线相等， 画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图． (3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示． [化解疑难] 1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐 标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可． 2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画 45°(或 135°)． 水平放置的平面图形的直观图 [例 1] 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图． [解] 画法： (1)在图(1)中作 AG⊥x 轴于 G，作 DH⊥x 轴于 H. (2)在图(2)中画相应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图(2)中的 x′轴上取 O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH， y′轴上取 O′E′＝1 2OE，分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线，并在相应的平行线上取 G′A′＝1 2GA，H′D′＝1 2HD. (4)连接 A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线 G′A′，H′D′，x′轴 与 y′轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′(如图(3))． [类题通法] 1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多 边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． 2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的 线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． [活学活用] 1.如图是水平放置的由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形， 请画出它的直观图． 解：画法：(1)以 AB 边所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，两轴相交于 点 O(如图(1))，画相应的 x′轴和 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′ ＝45°(如图(2))； (2)在图(2)中，以 O′为中点，在 x′轴上截取 A′B′＝AB；分别过 A′，B′作 y′轴 的平行线，截取 A′E′＝1 2AE，B′C′＝1 2BC；在 y′轴上截取 O′D′＝1 2OD. (3)连接 E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线 x′轴和 y′轴，便得到平面图形 ABCDE 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′(如图(3))． 空间几何体的直观图 [例 2] 用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体 ABCDA′B′C′D′的直观图． [解] 画法：(1)画轴．如图①，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°， ∠xOz＝90°. (2)画底面．以点 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使 MN＝2 cm；在 y 轴上取线段 PQ， 使 PQ＝1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交 点分别为 A、B、C、D，四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD. (3)画侧棱．过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成图．顺次连接 A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改 为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)． [类题通法] 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz，并且把它们画成对应的 x′轴与 y′轴， 两轴交于点 O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面，再作 z′轴 与平面 x′O′y′垂直． (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴的线段并且长度不变． (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段，且线段长度画成原来的二分之一． (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变． [活学活用] 2．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 解：(1)画轴．如下图①，画 x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是 一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面 ABCD，在 z 轴上截取 OO′，使 OO′等于三视图 中相应高度，过 O′作 Ox 的平行线 O′x′，Oy 的平行线 O′y′，利用 O′x′与 O′y′ 画出上底面 A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点．在 Oz 上截取点 P，使 PO′等于三视图中相应的高度． (4)成图．连接 PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三 视图表示的几何体的直观图，如下图②. 直观图的还原和计算问题 [例 3] 如图所示，梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观 图．若 A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝2 3C1D1＝2，A1D1＝O′D1 ＝1. 试画出原四边形的形状，并求原图形的面积． [解] 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. 在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA＝2D1A1＝2. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB＝A1B1＝2. 连接 BC，即得到了原图形(如图)． 由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB＝2，CD＝3，直角 腰长度为 AD＝2. 所以面积为 S＝2＋3 2 ×2＝5. [类题通法] 由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于 x′轴 的线段还原时长度不变，平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由 此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． [活学活用] 3．如图所示，将水平放置的直观图 A′B′C′D′还原为平面图形． 解：(1)如下图①，在水平放置的直观图中延长 D′A′交 O′x′轴于点 E′. (2)如下图②，画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′， 过 E 作 EF∥Oy，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，DE＝2D′E′，然后分别过 A，D 作 AB ∥Ox，DC∥Ox，并使 AB＝DC＝A′B′. (3)连接 AB，BC，CD，得直观图 A′B′C′D′的还原图形． 综上可知，此水平放置的直观图是矩形． 3.解答平面图形直观图还原问题的易错点 [典例] (2012·温州高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰 梯形，且梯形 OA′B′C′的面积为 2，则原梯形的面积为( ) A．2 B. 2 C．2 2 D．4 [解析] 如图，由斜二测画法原理知， 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不 一样的是两个梯形的高． 原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍，OC′的长 度是直观图中梯形的高的 2倍， 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍，故其面积是梯形 OA′B′C′ 面积的 2 2倍，梯形 OA′B′C′的面积为 2，所以原梯形的面积是 4. [答案] D [易错防范] 1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高 OC 是直观图中 OC′的长度的 2 倍，OC′长度是直观图中梯形的高的 2倍，此处易出错． 2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积 S′与原图形面积 S 满足 S′＝ 2 4 S. [成功破障] 如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图，B′在 x′轴上，A′O′和 x′轴垂直，且 A′O′＝2，则△AOB 的边 OB 上的高为( ) A．2 B．4 C．2 2 D．4 2 解析：选 D 由直观图与原图形中边 OB 长度不变， 得 S 原图形＝2 2S 直观图， 得1 2·OB·h＝2 2×1 2 ×2·O′B′， ∵OB＝O′B′，∴h＝4 2. [随堂即时演练] 1．关于斜二测画法，下列说法不．正确的是( ) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴，长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，长度变为原来的1 2 C．在画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时，∠x′O′y′必须是 45° D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 解析：选 C 斜二测作图时，∠x′O′y′也可为 135°，故 C 错． 2．有下列叙述： ①相等的角，在直观图中仍相等； ②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B 从原图到直观图只能保证平行的仍平行，故只有③正确． 3.已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________． 解析：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3. ∴S△ABC＝1 2 ×6×3＝9. 答案：9 4.如图所示，一个水平放置的正方形 ABCD，它在直角坐标系 xOy 中， 点 B 的 坐 标 为 (2,2) ， 则 在 用 斜 二 测 画 法 画 出 的 正 方 形 的 直 观 图 A′B′C′D′中，顶点 B′到 x′轴的距离为________． 解析：正方形的直观图 A′B′C′D′如图： 因为 O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点 B′到 x′轴的距离为 1×sin 45°＝ 2 2 . 答案： 2 2 5．画边长为 1 cm 的正三角形的水平放置的直观图． 解：(1)如图所示，以 BC 边所在直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在直线为 y 轴，再 画对应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′＝45°. (2)在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝0.5 cm， 在 y′轴上截取 O′A′＝1 2AO＝ 3 4 cm，连接 A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为 正三角形 ABC 的直观图． [课时达标检测] 一、选择题 1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( ) 解析：选 A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能 与底垂直． 2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A′B′C′， 则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 解析：选 C 如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形． 3.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放 置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( ) A．6 cm B．8 cm C．(2＋3 2) cm D．(2＋2 3) cm 解析：选 B 直观图中，O′B′＝ 2，原图形中 OC＝AB＝ 2 22＋12＝3，OA＝BC ＝1， ∴原图形的周长是 2×(3＋1)＝8. 4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线 AD 中，最长的线段是( ) A．AB B．AD C．BC D．AC 解析：选 D 还原△ABC，即可看出△ABC 为直角三角形，故其斜边 AC 最长． 5．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么正三角形 ABC 的直观图△A′B′C′的面积是 ( ) A. 3 4 a2 B. 3 8 a2 C. 6 8 a2 D. 6 16a2 解析：选 D 如图①为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. 如图②，建立坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB ＝a，O′C′＝1 2OC＝ 3 4 a，过 C′作 C′D′⊥O′x′于 D′，则 C′D′＝ 2 2 O′C′＝ 6 8 a. 所以△A′B′C′的面积是 S＝1 2·A′B′·C′D′＝1 2·a· 6 8 a＝ 6 16a2. 二、填空题 6．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知 A′C′＝6， B′C′＝4，则 AB 边的实际长度是________． 解析：易知 AC⊥BC，且 AC＝6，BC＝8，∴AB 应为 Rt△ABC 的斜边，故 AB＝ AC2＋BC2 ＝10. 答案：10 7．(2012·杭州检测)如图 Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边 O′B′＝1， 则这个平面图形的面积是________． 解析：∵O′B′＝1，∴O′A′＝ 2，∴在 Rt△OAB 中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝ 2 2， ∴S△AOB＝1 2 ×1×2 2＝ 2. 答案： 2 8．(2012·石家庄高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ABCD， 如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________． 解析：过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.又∵DC⊥BC 且 AD∥BC，∴ADCE 是矩形，∴EC＝ AD＝1.由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1 知 BE＝ 2 2 ，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别 为 1 和 1＋ 2 2 ，高为 2，∴原平面图形的面积为1 2 ×(1＋1＋ 2 2 )×2＝2＋ 2 2 . 答案：2＋ 2 2 三、解答题 9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 解：画法：(1)如图②，画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OA＝O′A′，即 CA＝C′A′； (2)在图①中，过 B′作 B′D′∥y′轴，交 x′轴于 D′，在图②中，在 x 轴上取 OD＝ O′D′，过 D 作 DB∥y 轴，并使 DB＝2D′B′. (3)连接 AB，BC，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图②. 10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)． 解：画法： 1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 [提出问题] 北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火由“祥云”火炬承载， 传遍五洲四海，宏扬奥林匹克精神．“祥云”火炬外型是细长的圆台形式， 长 72 cm，重 985 克，燃料为丙烷． 问题 1：能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？ 提示：可以，即计算圆台的表面积． 问题 2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？ 提示：可以，即计算其容积． [导入新知] 1．几种几何体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也 就是展开图的面积 旋转 体 圆柱 底面积：S 底＝πr2 侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S 底＝πr2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S 上底＝πr′2 下底面面积：S 下底＝πr2 侧面积：S 侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2．柱体的体积公式 V＝Sh(S 为底面面积，h 为高) 锥体的体积公式 V＝1 3Sh(S 为底面面积，h 为高) 台体的体积公式 V＝1 3(S′＋ S′S＋S)h [化解疑难] 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同． (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的 体积是圆锥的体积的 3 倍． (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． V＝Sh S′＝S ⇐ )V＝1 3(S′＋ S′S＋S)h S′＝0 ⇒ )V＝1 3Sh 柱、锥、台的表面积 [例 1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________． [解析] 由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积 S＝ 2＋5×4 2 ×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92. [答案] 92 [类题通法] 1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体 的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其 展开图的面积进而得表面积． 2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三 视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式 求解． [活学活用] 1．圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°， 求圆台的表面积． 解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝20(cm)． 同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm2). 柱、锥、台的体积 [例 2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是 全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． [解] 如图所示，在三棱台 ABCA′B′C′中，O′、O 分别为上、 下底面的中心，D、D′分别是 BC、B′C′的中心，则 DD′是等腰梯 形 BCC′B′的高， 所以，S 侧＝3×1 2 ×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝ 3 4 ×(202＋302)＝325 3(cm2)． 由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以，DD′＝13 3 3(cm)． 又∵O′D′＝ 3 6 ×20＝10 3 3 (cm)， OD＝ 3 6 ×30＝5 3(cm)， ∴棱台的高 h＝O′O＝ D′D2－OD－O′D′2 ＝ 13 3 3 2－5 3－10 3 3 2＝4 3(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝h 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下) ＝4 3 3 ×(325 3＋ 3 4 ×20×30) ＝1 900(cm3)． [类题通法] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几 何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为 柱、锥、台体的体积计算问题． [活学活用] 2．已知圆台的高为 3，在轴截面中，母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°，轴截面 中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积． 解：如图所示，作轴截面 A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母 线长分别为 r、R，l，高为 h. 作 A1D⊥AB 于点 D，则 A1D＝3. 又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝ A1D tan 60° ， 即 R－r＝3× 3 3 ，∴R－r＝ 3. 又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°. ∴BD＝A1D·tan 60°，即 R＋r＝3× 3， ∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3，而 h＝3， ∴V 圆台＝1 3πh(R2＋Rr＋r2) ＝1 3π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2] ＝21 π. 所以圆台的体积为 21 π. 简单组合体的表面积和体积 [例 3] 已知△ABC 的三边长分别是 AC＝3，BC＝4，AB＝5，以 AB 所在直线为轴，将 此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积． [解] 如图，在△ABC 中，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D. 由 AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知 AC2＋BC2＝AB2，则 AC⊥BC. ∵BC·AC＝AB·CD， ∴CD＝12 5 ，记为 r＝12 5 ，那么△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的 圆锥，且底半径 r＝12 5 ， 母线长分别是 AC＝3，BC＝4， 所以 S 表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×12 5 ×(3＋4)＝84 5 π， V＝1 3πr2(AD＋BD)＝1 3πr2·AB ＝1 3π× 12 5 2×5＝48 5 π. 所以，所求旋转体的表面积是84 5 π，体积是48 5 π. [类题通法] 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式， 对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再 分别代入公式求解． [活学活用] 3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( ) A．12π B．45π C．57π D．81π 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是由底面直径为 6，高为 5 的圆柱与底面直径为 6， 母线长为 5 的圆锥组成的组合体，因此，体积为 V＝π×32×5＋1 3 ×π×32× 52－32＝57π. 4.求几何体表面积、体积考虑不全面 [典例] 把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积． [解] 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h.当 2πr＝4，l＝2 时，r＝2 π ，h＝l＝2， 所以 V 圆柱＝πr2h＝8 π. 当 2πr＝2，l＝4 时，r＝1 π ，h＝l＝4，所以 V 圆柱＝πr2h＝4 π. 综上所述，这个圆柱的体积为8 π 或4 π. [易错防范] 把矩形卷成圆柱时，可以以 4 为底，2 为高；也可以以 2 为底，4 为高．容易漏掉一种情 况，解决此类问题一定要考虑全面． [成功破障] 如图，从底面半径为 2a，高为 3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比． 解：由题意知，S1＝2π·2a· 3a＋2π·(2a)2＝(4 3＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4 3＋ 9)πa2. ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)． [随堂即时演练] 1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A．1∶2 B．1∶ 3 C．1∶ 5 D. 3∶2 解析：选 C 设圆锥底面半径为 r，则高 h＝2r， ∴其母线长 l＝ 5r. ∴S 侧＝πrl＝ 5πr2，S 底＝πr2. 2．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( ) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 解析：选 B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为 3×4×5＝60 cm3. 3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的母线长为 2，设圆锥的半径为 r，则 2πr＝1 2 ×2π·2， ∴r＝1，则高 h＝ l2－r2＝ 3. ∴V 圆锥＝1 3πr2· h＝1 3π× 3＝ 3 3 π. 答案： 3 3 π 4．圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，母线长为 10，则圆台的侧面积为________． 解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，母线长为 10，设圆台上底面的 半径为 r， 则下底面半径和高分别为 4r 和 4r， 由 100＝(4r)2＋(4r－r)2，得 r＝2， 故圆台的侧面积等于π(r＋4r)l＝π(2＋8)×10＝100π. 答案：100π 5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的 表面积与体积． 解：由三视图知直观图如图所示，则高 AA′＝2 cm，底面高 B′D′ ＝2 3 cm， 所以底面边长 A′B′＝2 3× 2 3 ＝4 cm. 一个底面的面积为1 2 ×2 3×4＝4 3 cm2. 所以 S 表面积＝2×4 3＋4×2×3＝(24＋8 3) cm2， V＝4 3×2＝8 3 cm3. 所以表面积为(24＋8 3) cm2，体积为 8 3 cm3. [课时达标检测] 一、选择题 1.(2012·深圳高一检测)如图，ABC－A′B′C′是体积为 1 的棱柱， 则四棱锥 C－AA′B′B 的体积是( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 C ∵VC－A′B′C′＝1 3V 柱＝1 3 ， ∴VC－AA′B′B＝1－1 3 ＝2 3. 2．(2012·许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，那么圆柱的体积等 于( ) A．π B．2π C．4π D．8π 解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的母线长为 2r， 由题意得 S 圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π， 所以 r＝1，所以 V 圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π. 3．(2012·新课标全国高考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：选 B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角 形，高为 3 的三棱锥，其体积为1 3 ×1 2 ×6×3×3＝9. 4．(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．48 B．32＋8 17 C．48＋8 17 D．80 解析：选 C 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底 边长为 2，下底边长为 4，高为 4，两底面积和为 2×1 2 ×(2＋4)×4＝24，四个侧面面积为 4×(4 ＋2＋2 17)＝24＋8 17，所以几何体的表面积为 48＋8 17. 5．(2011·湖南高考)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.9 2π＋12 B.9 2π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析：选 B 由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体，其体积 V＝4π 3 3 2 3＋32×2 ＝9π 2 ＋18. 二、填空题 6.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3，则 a＝ ________. 解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长 为 2 的边上的高为 a， 则 V＝3× 1 2 ×2×a ＝3 3， 所以 a＝ 3. 答案： 3 7．(2012·山东高考)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E、 F 分别为线段 AA1、B1C 上的点，则三棱锥 D1－EDF 的体积为________． 解析：因为 E 点在线段 AA1 上，所以 S△DED1＝1 2 ×1×1＝1 2.又因 为 F 点在线段 B1C 上，所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1，即 h＝1，所 以 VD1－EDF＝VF－DED1＝1 3 ×S△DED1×h＝1 3 ×1 2 ×1＝1 6. 答案：1 6 8．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为 8 cm 和 18 cm，侧棱长为 13 cm， 则其表面积为________． 解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h＝ 132－ 18－8 2 2＝12 (cm)， 所以 S 侧 ＝4×1 2 ×(8＋18)×12＝624 (cm2)，S 上 底 ＝8×8＝64(cm2)，S 下 底 ＝18×18＝ 324(cm2)，于是表面积为 S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)． 答案：1 012 cm2 三、解答题 9．如图是某几何体的三视图． (1)画出它的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积和体积． 解：(1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为 1，高为 2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为 1，母线长为 2，高为 3)，所以所求表面积为 S＝π×12＋2π×1×2＋π× 1×2＝7π，体积为 V＝π×12×2＋1 3 ×π×12× 3＝2π＋ 3 3 π. 10．已知正三棱锥 V－ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中 VA＝4，AC＝2 3，求该 三棱锥的表面积． 解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示， 且 VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2 3. 取 BC 的中点 D，连接 VD， 则 VD⊥BC，有 VD＝ VB2－BD2＝ 42－ 32＝ 13， 则 S△VBC＝1 2 ×VD×BC＝1 2 × 13×2 3＝ 39， S△ABC＝1 2 ×(2 3)2× 3 2 ＝3 3， 所以，三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3＝3( 39＋ 3)． 1．3.2 球的体积和表面积 [提出问题] 从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不 能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是 用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边 形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想． 问题 1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？ 提示：可以． 问题 2：求球的表面积和体积需要什么条件？ 提示：已知球的半径即可． [导入新知] 1．球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V＝4 3πR3. 2．球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍． [化解疑难] 1．一个关键 把握住球的表面积公式 S 球＝4πR2，球的体积公式 V 球＝4 3πR3 是计算球的表面积和体积的 关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎 刃而解了． 2．两个结论 (1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面 面积之比． [解] 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R， 则由题意得 1 3πr2·h＝4 3πR3 r＝2R ∴1 3π(2R)2·h＝4 3πR3，∴R＝h，r＝2h， ∴l＝ r2＋h2＝ 5h， ∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2， ∴S 圆锥侧 S 球 ＝2 5πh2 4πh2 ＝ 5 2 . [类题通法] 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R，然后代入体积 或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目 也就易如反掌了． [活学活用] 1．球的体积是32π 3 ，则此球的表面积是( ) A．12π B．16π C.16π 3 D.64π 3 解析：选 B 设球的半径为 R，则由已知得4 3πR3＝32π 3 ，解得 R＝2. 故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π. 根据三视图计算球的体积与表面积 [例 2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2. [解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中 四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为 1×2－1 2 ×π×12＝2－π 2 ，四棱柱中不重合的表面 积为 2－π 2 ＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π 2 ，半圆柱中不重合的表面积为1 2 ×2π×2＋1 2π＝5 2π， 半球的表面积为1 2 ×4π＝2π，所以该几何体的表面积为 4π＋12. [答案] 4π＋12 [类题通法] 1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体， 并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计 算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆． 2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉． [活学活用] 2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( ) A．18π B．30π C．33π D．40π 解析：选 C 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于 3， 圆锥的母线长等于 5，所以该几何体的表面积 S＝2π×32＋π×3×5＝33π. 球的截面问题 [例 3] 已知球的两平行截面的面积为 5π和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1， 求这个球的表面积． [解] 如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，以 r2 为半径的截面 面积为 8π，O1O2＝1，球的半径为 R，OO2＝x，那么可得下列关系式： r22＝R2－x2 且πr22＝π(R2－x2)＝ 8π， r21＝R2－(x＋1)2 且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π， 于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π， 即 R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即 x＝1. 又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3. 球的表面积为 S＝4πR2＝4π×32＝36π. [类题通法] 球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到截面的距离 d 构成的直角三角形， 即 R2＝d2＋r2. [活学活用] 3．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6， AB＝4，求球的表面积与球的体积． 解：如图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1 垂直平面 ABC 于 O1， 由于 OA＝OB＝OC＝R， 则 O1 是△ABC 的外心． 设 M 是 AB 的中点， 由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB， 设 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x. 解得 x＝7 2 4 .则 O1A＝O1B＝O1C＝9 2 4 . 在 Rt△OO1A 中，O1O＝R 2 ，∠OO1A＝90°，OA＝R. 由勾股定理得(R 2)2＋(9 2 4 )2＝R2. 解得 R＝3 6 2 . 故 S 球＝4πR2＝54π，V 球＝4 3πR3＝27 6π. 1.探究与球有关的组合问题 [典例] (2013·济宁高一检测)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为________． [解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以 球的表面积 S＝4πR2＝14π. [答案] 14π [多维探究] 1．球的内接正方体问题 若棱长为 2 的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积． 解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长， 即 2R＝ 3×2，所以 R＝ 3 所以 V 球＝4 3·π·( 3)3＝4 3π. 2．球内切于正方体问题 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π 3 B. 2π 3 C. 3π 2 D.π 6 解析：选 A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正 方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是4 3 ×π×13＝4π 3 . 3．球的内接正四面体问题 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝ 2x， 由题意 2R＝ 3x＝ 3× 2a 2 ＝ 6 2 a， ∴S 球＝4πR2＝6 4aπ＝3 2aπ. 4．球的内接圆锥问题 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和 此球体积的比值为________． 解析：如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的距离是r 2 ，于是圆锥的底面半径 为 r2－ r 2 2＝ 3r 2 ，高为3r 2 . 该圆锥的体积为1 3 ×π× 3r 2 2×3r 2 ＝3 8πr3，球体积为4 3πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的 比值为 3 8πr3 4 3πr3 ＝ 9 32. 答案： 9 32 5．球的内接直棱柱问题 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为( ) A．πa2 B.7 3πa2 C.11 3 πa2 D．5πa2 解析：选 B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等， 均为 a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝2 3 × 3 2 a＝ 3 3 a， OP＝1 2a，所以球的半径 R＝OA 满足 R2＝ 3 3 a 2＋ 1 2a 2＝ 7 12a2，故 S 球＝4πR2＝7 3πa2. [方法感悟] 1．正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝a 2 ，过在一个 平面上的四个切点作截面如图(1)． 2．球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 r2＝ 2a 2 ，如图(2)． 3．长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的 体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，则过球心作长方体的对 角面有球的半径为 r3＝1 2 a2＋b2＋c2，如图(3)． 4．正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. 5．正四面体的外接球 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝ 6 2 a. [随堂即时演练] 1．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 答案：A 2．棱长为 2 的正方体的外接球的表面积是( ) A．8π B．4π C．12π D．16π 解析：选 C 正方体的体对角线长为 2 3，即 2R＝2 3， ∴R＝ 3，S＝4πR2＝12π. 3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 解析：设火星半径为 r，地球半径则为 2r，V 地 V 火 ＝ 4 3π2r3 4 3πr3 ＝8. 答案：8 4．已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于________． 解析：由题意得圆 M 的半径 r＝ 3，又球心到圆 M 的距离为R 2 ，由勾 股定理得 R2＝r2＋(R 2)2，R＝2，则球的表面积为 16π. 答案：16π 5．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积． (2)已知球的体积为108π 3 ，求它的表面积． 解：(1)∵直径为 2，∴半径 r＝1，∴表面积 S 球＝4πr2＝4π×12＝4π，体积 V 球＝4 3πr3＝4 3π×13 ＝4 3π. (2)∵V 球＝4 3πr3＝108 3 π，∴r3＝27，r＝3，∴S 球＝4π×32＝36π. [课时达标检测] 一、选择题 1．两个球的体积之比为 8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A．2∶3 B．4∶9 C. 2∶ 3 D. 8∶ 27 解析：选 B 设两个球的半径分别为 r1，r2，则V1 V2 ＝r31 r32 ＝ 8 27.∴r1 r2 ＝2 3 ，S1 S2 ＝r21 r22 ＝4 9. 2．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π 3 B.32π 3 C．8π D.8 2π 3 解析：选 C 设球的半径为 R，则截面圆的半径为 R2－1，∴截面圆的面积为 S＝ π( R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积 S＝4πR2＝8π. 3．设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为( ) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析：选 B 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2＝ 6a，又长方体的外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，所以 2R＝ 6a， 则 S 球＝4πR2＝4π 6 2 a 2＝6πa2. 4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积 之比为( ) A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4 解析：选 C 作轴截面如图，则 PO＝2OD，∠CPB＝30°，CB＝ 3 3 PC ＝ 3r，PB＝2 3r，圆锥侧面积 S1＝6πr2，球的面积 S2＝4πr2，S1∶S2＝3∶ 2. 5．(2012·新课标全国高考)平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距 离为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π 解析：选 B 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝  22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝4 3π( 3)3＝4 3π. 二、填空题 6．(2012·盐城模拟)圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水 中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了5 3 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2. 解析：设该铁球的半径为 r，则由题意得4 3πr3＝π×102×5 3 ，解得 r3＝53，∴r＝5，∴这个 铁球的表面积 S＝4π×52＝100π(cm2)． 答案：100π 7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为 a，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个 切点及球心作截面，如图， 所以有 2r1＝a，r1＝a 2 ，所以 S1＝4πr21＝πa2. 答案：πa2 8．(2012·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 ________m3. 解析：由三视图知原几何体是两个半径为3 2 的球体相切放置，上面放长、宽、高分别是 6、 3、1 的长方体，直观图如图． 该几何体的体积 V＝2V 球＋V 长方体 ＝2×4 3π 3 2 3＋6×1×3 ＝18＋9π. 答案：18＋9π 三、解答题 9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r＝ 1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． 解：该组合体的表面积 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积 V＝4 3πr3＋πr2l＝4 3π×13＋ π×12×3＝13π 3 . 10．(2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为 R 的球面，两个截面圆的半径为 r1 ＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离为 d＝27 cm，求球的表面积． 解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 A1B1、A2B2，上述大圆的垂直于 A1B1 的直径交 两截面圆于 O1、O2，设球心到两截面的距离分别为 d1、d2，则 d1＋d2＝27 ①， d21＋242＝R2 ②， d22＋152＝R2 ③， 解得 R ＝25. 当|d1－d2|＝27 时，其与②③组成的方程组无解． ∴S 球＝4πR2＝2 500π(cm2)． 空间几何体 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．下列命题中，正确的是( ) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析：选 D 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分 析，故 A，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确． 2．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( ) A．(1)是棱台 B．(2)是圆台 C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱 解析：选 C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以 (2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平 行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥． 3.如图所示的直观图的平面图形 ABCD 是( ) A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 解析：选 B AB∥Oy，AD∥Ox，故 AB⊥AD.又 BC∥AD 且 BC≠AD，所以为直角梯形． 4．下列说法正确的是( ) A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形 B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体 C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析：选 C 圆锥的侧面展开图是一个扇形，A 不正确；棱柱的侧面只需是平行四边形， 所以 B 不正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以 D 不正确；C 任何一个棱台都可 以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的． 5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积是( ) A．16π B．20π C．24π D．32π 解析：选 C 正四棱柱的底面积为 4，正四棱柱的底面的边长为 2，正四棱柱的底面的对 角线为 2 2，正四棱柱的对角线为 2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即 2R＝2 6，R ＝ 6，S 球＝4πR2＝24π. 6．(2012·福州高一检测)如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断 这三个几何体依次为( ) A．三棱台、三棱柱、圆锥 B．三棱台、三棱锥、圆锥 C．三棱柱、正四棱锥、圆锥 D．三棱柱、三棱台、圆锥 解析：选 C 由俯视图知(1)，(2)是多面体，(3)是旋转体．再由正视图及侧视图可知(1) 是三棱柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥． 7．(2011·山东高考)如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三 个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其 正(主)视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图所示．其 中真命题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 A 只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形的直角边所在 的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真． 8.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的 面积是( ) A．6 B．3 2 C．6 2 D．12 解析：选 D 由水平放置的平面图形的斜二测画法的规则可知，△OAB 为直角三角形且 直角边 OB＝2O′B′＝4，OA＝O′A′＝6，因此 S△OAB＝1 2 ×4×6＝12. 9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 解析：选 B 设圆柱的底面圆半径为 r，母线长为 l，依题意得 l＝2r，而 S 侧＝2πrl，S 全 ＝2πr2＋2πrl，∴S 侧∶S 全＝2πrl∶(2πr2＋2πrl)＝2∶3. 10.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角 形，则该三棱柱的体积为( ) A．12 3 B．27 3 C．36 3 D．6 解析：选 C 若将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱 柱的高为 4，设底面边长为 a，则 3 2 a＝3 3， ∴a＝6，故体积 V＝ 3 4 ×62×4＝36 3. 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 ________ cm. 解析：设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r.则有 πr2·6r＝8πr2＋3·4 3πr3，即 2r＝8， ∴r＝4. 答案：4 12.(2011·辽宁高考)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3， 它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ________． 解析：设正三棱柱的底面边长为 a，利用体积为 2 3，很容易求出这个正三棱柱的底面 边长和侧棱长都是 2，所以底面正三角形的高为 3，故所求矩形的面积为 2 3. 答案：2 3 13．圆台的母线长扩大到原来的 n 倍，两底面半径都缩小为原来的1 n ，那么它的侧面积为 原来的________倍． 解析：设改变之前圆台的母线长为 l，上底半径为 r，下底半径为 R，则侧面积为π(r＋R)l， 改变后圆台的母线长为 nl，上底半径为r n ，下底半径为R n ，则侧面积为π r＋R n nl＝π(r＋R)l， 故它的侧面积为原来的 1 倍． 答案：1 14.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半 径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个 圆锥筒的容积等于________cm3. 解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径 r，则容积易得． 即 2πr＝1 4 ×2π·4，则 r＝1. 又母线长为 4 cm，h＝ 42－12＝ 15. 则 V＝1 3πr2h＝1 3·π·12· 15＝ 15 3 π. 答案： 15 3 π 三、解答题(共 4 小题，共 50 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4， 母线长为 10 cm.求圆锥的母线长． 解：设圆锥的母线长为 l，圆台上、下底半径分别为 r、R. ∵l－10 l ＝r R ，∴l－10 l ＝1 4 ，∴l＝40 3 (cm)． 故圆锥的母线长为40 3 cm. 16．(本小题满分 12 分)如下图，在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h′. 圆锥的高 h＝ 42－22＝2 3， 又∵h′＝ 3， ∴h′＝1 2h.∴r 2 ＝2 3－ 3 2 3 ，∴r＝1. ∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr2＋2πrh′ ＝2π＋2π× 3＝2(1＋ 3)π. 17．(本小题满分 12 分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何 体的表面积和体积． 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．S 半 球＝8π，S 圆台侧＝35π，S 圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为 68π cm2，由 V 圆台＝1 3 ×(π×22＋ π×22×π×52＋π×52)×4＝52π， V 半球＝4 3π×23×1 2 ＝16 3 π， 所以，所求几何体的体积为 V 圆台－V 半球＝52π－16 3 π＝140 3 π(cm3)． 18．(本小题满分 14 分)(2013·河源高一检测)已知某几何体的俯视图 是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧 视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形． (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S. 解：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分 别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1 的等腰 三角形，左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形，如图所示． (1)几何体的体积为：V＝1 3·S 矩形·h＝1 3 ×6×8×4＝64. (2)正侧面及其相对侧面底边上的高为：h1＝ 42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2 ＝ 42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为：S＝2× 1 2 ×8×5＋1 2 ×6×4 2 ＝40＋24 2. 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面 平面 [提出问题] 宁静的湖面、海面；生活中的课桌面、黑板面；一望无垠的草原给你什么样的感觉？ 问题 1：生活中的平面有大小之分吗？ 提示：有． 问题 2：几何中的“平面”是怎样的？ 提示：从物体中抽象出来的，绝对平，无大小之分． [导入新知] 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几 何里的平面是无限延展的． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 45°，且横边长等于其 邻边长的 2 倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出 来．如图②. 3．平面的表示法 图①的平面可表示为平面α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD. [化解疑难] 几何里的平面有以下几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的； 平面的基本性质 [提出问题] 问题 1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关 系？ 提示：在桌面上． 问题 2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ 提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． 问题 3：两张纸面相交有几条直线？ 提示：一条． [导入新知] 平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 公理 1 如果一条直线上的两点在一 个平面内，那么这条直线在 此平面内 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α ⇒l⊂α 公理 2 过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面 A，B，C 三点不共线⇒存在 唯一的α使 A，B，C∈α 公理 3 如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且 P ∈l [化解疑难] 从集合角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用 “∈”或“∉”表示； (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉” 表示； (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄” 表示． 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 [例 1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点 P 与直线 AB； (2)点 C 与直线 AB； (3)点 M 与平面 AC； (4)点 A1 与平面 AC； (5)直线 AB 与直线 BC； (6)直线 AB 与平面 AC； (7)平面 A1B 与平面 AC. [解] (1)点 P∈直线 AB； (2)点 C ∉直线 AB； (3)点 M∈平面 AC；(4)点 A1∉平面 AC； (5)直线 AB∩直线 BC＝点 B；(6)直线 AB⊂平面 AC； (7)平面 A1B∩平面 AC＝直线 AB. [类题通法] 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且 相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [活学活用] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面α内，点 B 不在平面α内，如图(1)； (2)直线 l 在平面α内，直线 m 与平面α相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面α外一点 P 和平面α内一点 Q，如图(3)． 点、线共面问题 [例 2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内． [类题通法] 证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”． [活学活用] 2．下列说法正确的是( ) ①任意三点确定一个平面 ②圆上的三点确定一个平面 ③任意四点确定一个平面 ④两条平行线确定一个平面 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 解析：选 C 不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上， 故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不 正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确. 共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面α外，其三边所在的直线满足 AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面α的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与 平面α的交线上． ∴P，Q，R 三点共线． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R 三点共线． [类题通法] 点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别 在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其 他点也在其上． [活学活用] 3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于点 Q，求证：B，Q，D1 三点共线． 证明：如下图所示，连接 A1B，CD1.显然 B∈平面 A1BCD1，D1∈平 面 A1BCD1. ∴BD1⊂平面 A1BCD1. 同理 BD1⊂平面 ABC1D1. ∴平面 ABC1D1∩平面 A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面 ABC1D1. 又∵A1C⊂平面 A1BCD1， ∴Q∈平面 A1BCD1. ∴Q∈BD1，即 B，Q，D1 三点共线． 2.证明三线共点问题 [典例] 如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别为 BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3. 求证：EF，GH，BD 交于一点． [解题流程] 欲证 EF、GH、BD 交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上. 由 DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3 可得 GE∥FH 且 GE≠FH，即 EFHG 是梯形，由此得到 GH 与 EF 交于一点． 证明 E、F、H、G 四点共面―→EFHG 为梯形―→GH 和 EF 交于一点 O―→证 O∈平面 ABD―→O∈平面 BCD―→平面 ABD∩平面 BCD＝BD―→O∈BD―→得出结论. [规范解答] 因为 E，G 分别为 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC.又因为 DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 所以 FH∥AC，从而 FH∥GE.∴GE≠FH.(4 分) 故 E，F，H，G 四点共面．又因为 GE＝1 2AC，FH＝2 5AC，所以四边形 EFHG 是一个梯 形，设 GH 和 EF 交于一点 O.(6 分) 因为 O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，所以 O 在这两平面的交线上，而这两个平面 的交线是 BD，(9 分) 且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上．(10 分) 这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上，所以 EF，GH，BD 交于一点．(12 分) [名师批注] 如何证明四点共面？,根据公理 2 的推论可知，本题可利用 HF∥GE 即可确定 E，F，H， G 四点共面. 为什么 GH 和 EF 交于一点？,因为 E，F，H，G 四点共面，且 GE 綊 1 2AC，HF 綊 2 5AC， 所以 GE∥HF 且 GE≠HF，即 EFHG 为梯形，梯形两腰延长线必相交于一点. 怎样确定第三条直线也过交点？ 只要证明交点在第三条直线上，这条直线恰好是分别过 GH 和 EF 的两个平面的交线. [活学活用] 如图所示，在空间四边形各边 AD，AB，BC，CD 上分别取 E，F，G， H 四点，如果 EF，GH 交于一点 P，求证：点 P 在直线 BD 上． 证明：∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF 且 P∈GH. 又∵EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD，∴P∈平面 ABD，且 P∈平面 CBD，又 P∈平面 ABD∩平面 CBD，平面 ABD∩平面 CBD＝BD，由公理 3 可得 P∈BD. ∴点 P 在直线 BD 上． [随堂即时演练] 1．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面β内，则 Q，b，β之间的关系可记作( ) A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β 解析：选 B ∵点 Q(元素)在直线 b(集合)上，∴Q∈b. 又∵直线 b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β. 2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 解析：选 C 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上， 则这两个平面重合． 3．下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 解析： 序号 正误 原因分析 ① × 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的 ② × 平面是无大小、无厚薄之分的 ③ × 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 ④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集 答案：④ 4．设平面α与平面β交于直线 l，A∈α，B∈α，且直线 AB∩l＝C，则直线 AB∩β＝________. 解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 答案：C 5．将下列符号语言转化为图形语言． (1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a. (2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P. 解：(1) (2) [课时达标检测] 一、选择题 1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面α外”，正确的是( ) A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α 解析：选 B 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面 之间的关系是集合与集合间的关系． 2．(2012·福州高一检测)下列说法正确的是( ) A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 解析：选 D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面．B 错误，一条直线和直线外一 个点可以确定一个平面．C 错误，四边形不一定是平面图形．D 正确，两条相交直线可以确 定一个平面． 3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( ) A．1 B．2 C．3 D．1 或 3 解析：选 D 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定 1 个平面；若三条直线两两相 交且交于同一点时，可能确定 3 个平面． 4．下列推断中，错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且 A，B，C 不共线⇒α，β重合 解析：选 C A 即为直线 l 上有两点在平面内，则直线在平面内；B 即为两平面的公共 点在公共直线上；D 为不共线的三点确定一个平面，故 D 也对． 5．在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，那么( ) A．M 一定在直线 AC 上 B．M 一定在直线 BD 上 C．M 可能在直线 AC 上，也可能在直线 BD 上 D．M 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 解析：选 A 点 M 一定在平面 ABC 与平面 CDA 的交线 AC 上． 二、填空题 6．(2012·福州高一检测)线段 AB 在平面α内，则直线 AB 与平面α的位置关系是________． 解析：因为线段 AB 在平面α内，所以 A∈α，B∈α.由公理 1 知直线 AB⊂平面α. 答案：直线 AB⊂平面α 7．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． (1)A∉α，a⊂α________. (2)α∩β＝a，P∉α且 P∉β________. (3)a⊄α，a∩α＝A________. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________. 解析：(1)图 C 符合 A∉α，a⊂α (2)图 D 符合α∩β＝a，P∉α且 P∉β (3)图 A 符合 a⊄α，a∩α＝A (4)图 B 符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O 答案：(1)C (2)D (3)A (4)B 8．平面α∩平面β＝l，点 A，B∈α，点 C∈平面β且 C∉l，AB∩l＝R，设过点 A，B，C 三 点的平面为平面γ，则β∩γ＝________. 解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点 C∈β，且点 C∈γ，所以 C ∈β∩γ.因为点 R∈AB，所以点 R∈γ，又 R∈β，所以 R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR. 答案：CR 三、解答题 9．求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线 a，b，c 和 l 共面． 证明：如图所示，因为 a∥b，由公理 2 可知直线 a 与 b 确定一个平面，设为α. 因为 l∩a＝A，l∩b＝B，所以 A∈a，B∈b，则 A∈α，B∈α.又因为 A∈l，B∈l，所以由 公理 1 可知 l⊂α. 因为 b∥c，所以由公理 2 可知直线 b 与 c 确定一个平面β，同理可知 l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线 b 与 l，且 l∩b＝B，而由公理 2 的推论 2 知：经过两条 相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线 a，b，c 和 l 共面． 10．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P， A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线． 证明：如图．(1)连接 B1D1.∵EF 是△D1B1C1 的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体 AC1 中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面． (2)正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为α，又设平面 BDEF 为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β. 则 Q 是α与β的公共点，同理 P 是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，则 R∈PQ. 故 P，Q，R 三点共线． 2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 空间两直线的位置关系 [提出问题] 立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便 了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通 过交叉路口，1928 年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了 第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930 年，芝加哥建起了一座立体交叉 桥.1931 年至 1935 年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此， 城市交通开始从平地走向立体． 问题 1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？ 提示：平行或相交． 问题 2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？ 提示：不共面，即不相交也不平行． 问题 3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具 有类似特征？ 提示：是． [导入新知] 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法 2．空间两条直线的位置关系 位置关系 特 点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 [化解疑难] 1．对于异面直线的定义的理解 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义 中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为： 在空间中找不到一个平面，使其同时经过 a、b 两条直线．例如，如图 所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交，找不到 一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故 AB 与 B1C1 是异面直线． 2．空间两条直线的位置关系 ①若从有无公共点的角度来看，可分为两类： 直线 有且仅有一个公共点——相交直线， 无公共点—— 平行直线， 异面直线. ②若从是否共面的角度看，也可分两类： 直线 共面直线 相交直线， 平行直线， 不共面直线：异面直线. 平行公理及等角定理 [提出问题] 1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．空间中是 否有类似规律？ 提示：有． 观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′. 问题 2：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 3：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等． [导入新知] 1．平行公理(公理 4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递 性． (2)符号表述： a∥b b∥c ⇒a∥c. 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝π 2 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. [化解疑难] 对平行公理与等角定理的理解 公理 4 表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两 直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理 4 的 直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补． 两直线位置关系的判定 [例 1] 如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系： ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________. [解析] 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”；直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该填“异面”． [答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [类题通法] 1．判定两条直线平行或相交的方法 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理 4 判断． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线．用符号语言可表示为 A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与 l 是异面直线(如图)． [活学活用] 1．(2012·台州高一检测)如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的棱的 条数是( ) A．6 B．4 C．5 D．8 解析：选 B 与 AA1 异面的棱有 BC，B1C1，CD，C1D1 共 4 条． 2．若 a，b，c 是空间三条直线，a∥b，a 与 c 相交，则 b 与 c 的位置关系是________． 解析：在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，设直线 D′C′为直线 b，直线 A′B′为直 线 a，满足 a∥b，与 a 相交的直线 c 可以是直线 B′C′，也可以是直线 BB′.显然直线 B′C′ 与 b 相交，BB′与 b 异面，故 b 与 c 的位置关系是异面或相交． 答案：异面或相交 平行公理及等角定理的应用 [例 2] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，M1 分别是棱 AD 和 A1D1 的中点． (1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. [证明] (1)在正方形 ADD1A1 中，M、M1 分别为 AD、A1D1 的中 点， ∴MM1 綊 AA1.又∵AA1 綊 BB1， ∴MM1∥BB1，且 MM1＝BB1， ∴四边形 BB1M1M 为平行四边形． (2)法一：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1∥BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可 知，∠BMC 和∠B1M1C1 都是锐角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1. [类题通法] 1．证明两条直线平行的方法： (1)平行线定义 (2)三角形中位线、平行四边形性质等 (3)公理 4 2．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两 边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时， 只说明两个角的两边分别对应平行是不够的． [活学活用] 3．如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD. 证明：(1)如题图，在△ABD 中， ∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， ∴EH∥BD.同理 FG∥BD，则 EH∥GH. 故 E，F，G，H 四点共面． (2)由(1)知 EH∥BD，同理 AC∥GH. 又∵四边形 EFGH 是矩形，∴EH⊥GH.故 AC⊥BD. 两异面直线所成的角 [例 3] 如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1A＝AB，E、F 分别是 BD1 和 AD 中点， 求异面直线 CD1，EF 所成的角的大小． [解] 取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝1 2BC.∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝1 2BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形 EFDG 是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角． 又∵A1A＝AB，∴四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1 都是正方形，且 G 为 CD1 的中点，∴ DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线 CD1，EF 所成的角为 90°. [类题通法] 求两异面直线所成的角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是(0°，90°]． [活学活用] 4．已知 ABCD－A1B1C1D1 是正方体，求异面直线 A1C1 与 B1C 所成角的大小． 解：如图所示，连接 A1D 和 C1D， ∵B1C∥A1D， ∴∠DA1C1 即为异面直线 A1C1 与 B1C 所成的角． ∵A1D，A1C1，C1D 为正方体各面上的对角线， ∴A1D＝A1C1＝C1D， ∴△A1C1D 为等边三角形．即∠C1A1D＝60°. ∴异面直线 A1C1 与 B1C 所成的角为 60°. 2.探究空间中四边形的形状问题 [典例] 如图，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC， CD，DA 的中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． [证明] 连接 BD. 因为 EH 是△ABD 的中位线， 所以 EH∥BD，且 EH＝1 2BD. 同理，FG∥BD，且 FG＝1 2BD. 因此 EH∥FG. 又 EH＝FG， 所以四边形 EFGH 为平行四边形． [多维探究] 1．矩形的判断 本例中若加上条件“AC⊥BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？ 证明：由例题可知 EH∥BD，同理 EF∥AC， 又 BD⊥AC， 因此 EH⊥EF， 所以四边形 EFGH 为矩形． 2．菱形的判断 本例中，若加上条件“AC＝BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？ 证明：由例题知 EH∥BD，且 EH＝1 2BD， 同理 EF∥AC，且 EF＝1 2AC. 又 AC＝BD， 所以 EH＝EF. 又 EFGH 为平行四边形， 所以 EFGH 为菱形． 3．正方形的判断 本例中，若加上条件“AC⊥BD，且 AC＝BD”，则四边形 EFGH 是什么形状？ 证明：由探究 1 与 2 可知， EFGH 为正方形． 4．梯形的判断 若本例中，E、H 分别是 AB、AD 中点，F、G 分别是 BC，CD 上的点，且 CF∶FB＝CG∶ GD＝1∶2，那么四边形 EFGH 是什么形状？ 证明：由题意可知 EH 是△ABD 的中位线，则 EH∥BD 且 EH＝1 2BD. 又CF FB ＝CG GD ＝1 2 ， ∴FG∥BD， FG BD ＝FC BC ＝1 3 ， ∴FG＝1 3BD， ∴FG∥EH 且 FG≠EH， ∴四边形 EFGH 是梯形． [方法感悟] 根据三角形的中位线、公理 4 证明两条直线平行是常用的方法．公理 4 表明了平行线的 传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法． [随堂即时演练] 1．不平行的两条直线的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 解析：选 D 若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面． 2．已知 AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR 等于( ) A．30° B．30°或 150° C．150° D．以上结论都不对 解析：选 B ∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同． ∴∠PQR＝30°或 150°. 3．已知正方体 ABCD－EFGH，则 AH 与 FG 所成的角是________． 解析：∵FG∥EH，∴∠AHE＝45°，即为 AH 与 FG 所成的角． 答案：45° 4．正方体 AC1 中，E，F 分别是线段 C1D，BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关 系是________． 解析：直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1，EF⊂平面 A1BCD1，且两直线不 平行，故两直线相交． 答案：相交 5.如图所示，空间四边形 ABCD 中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F 分别 为 BC、AD 的中点，求 EF 和 AB 所成的角． 解：如图所示，取 BD 的中点 G，连接 EG、FG. ∵E、F 分别为 BC、AD 的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且 EG＝1 2CD，GF＝1 2AB. ∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF. ∴∠EGF＝90°. ∴△EFG 为等腰直角三角形． ∴∠GFE＝45°， 即 EF 与 AB 所成的角为 45°. [课时达标检测] 一、选择题 1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交 解析：选 B 假设 a 与 b 是异面直线，而 c∥a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c∥b，则有 a ∥b，矛盾)．因此 c 与 b 可能相交或异面． 2.如图所示，在三棱锥 S—MNP 中，E、F、G、H 分别是棱 SN、SP、 MN、MP 的中点，则 EF 与 HG 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：选 A ∵E、F 分别是 SN 和 SP 的中点， ∴EF∥PN. 同理可证 HG∥PN， ∴EF∥HG. 3．(2012·福州高一检测)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与 CD 的 位置关系为( ) A．相交 B．平行 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 解析：选 D 将展开图还原为正方体，如图所示． AB 与 CD 所成的角为 60°，故选 D. 4．下列命题中 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 B 对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确； 对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB 的两条 边分别垂直于∠APB 的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理 4 可知正确．故②④正确，所以正确的结论有 2 个． 5．若 P 是两条异面直线 l，m 外的任意一点，则( ) A．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行 B．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直 C．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交 D．过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面 解析：选 B 逐个分析，过点 P 与 l，m 都平行的直线不存在；过点 P 与 l，m 都垂直的 直线只有一条；过点 P 与 l，m 都相交的直线 1 条或 0 条；过点 P 与 l，m 都异面的直线有无 数条． 二、填空题 6．(2012·连云港高一检测)空间中有一个角∠A 的两边和另一个角∠B 的两边分别平行， ∠A＝70°，则∠B＝________. 解析：∵∠A 的两边和∠B 的两边分别平行， ∴∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝180°. 又∠A＝70°，∴∠B＝70°或 110°. 答案：70°或 110° 7．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 A1B1 所成的 角的余弦值为________． 解析：设棱长为 1，因为 A1B1∥C1D，所以∠AED1 就是异面直线 AE 与 A1B1 所成的角．在 △AED1 中，AE＝ 12＋12＋ 1 2 2＝3 2 ，cos∠AED1＝D1E AE ＝ 1 2 3 2 ＝1 3. 答案：1 3 8．如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是________． 解析：①中 PQ∥RS，②中 RS∥PQ，④中 RS 和 PQ 相交． 答案：③ 三、解答题 9.如图所示，E、F 分别是长方体 A1B1C1D1—ABCD 的棱 A1A，C1C 的中点． 求证：四边形 B1EDF 是平行四边形． 证明：设 Q 是 DD1 的中点，连接 EQ、QC1. ∵E 是 AA1 的中点， ∴EQ 綊 A1D1. 又在矩形 A1B1C1D1 中，A1D1 綊 B1C1， ∴EQ 綊 B1C1(平行公理)． ∴四边形 EQC1B1 为平行四边形．∴B1E 綊 C1Q. 又∵Q、F 是 DD1、C1C 两边的中点，∴QD 綊 C1F. ∴四边形 QDFC1 为平行四边形． ∴C1Q 綊 DF. 又∵B1E 綊 C1Q， ∴B1E 綊 DF. ∴四边形 B1EDF 为平行四边形． 10．已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角，点 M，N 分别是 BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角． 解：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，因为点 M，N 分别是 BC， AD 的中点， 所以 PM∥AB，且 PM＝1 2AB； PN∥CD，且 PN＝1 2CD， 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角． 因为直线 AB 与 CD 成 60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN①， (1)若∠MPN＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. (2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上可知：AB 与 MN 所成角为 60°或 30°. 2．1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 [提出问题] 应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056 年)建．塔呈平面 八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高 67.31 米，底层直径 30.27 米，是国内外 现存最古老最高大的木结构塔式建筑．塔建在 4 米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构 成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋 相连接，使双层套筒紧密结合．暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整 体性． 问题 1：立柱和地面是什么位置关系？ 提示：相交． 问题 2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？ 提示：在平面内． 问题 3：直线和平面还有其他关系吗？ 提示：平行． [导入新知] 直线与平面的位置关系 位置关系 直线 a 在平面α内 直线 a 在平面α外 直线 a 与平面α相交 直线 a 与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 [化解疑难] 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系． (1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行． (2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交． (3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内． 2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与 a∩α＝A. 空间中平面与平面的位置关系 [提出问题] 观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面． 问题 1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以，无公共点． 问题 2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？ 提示：可以，有无数个． [导入新知] 两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 α∥β 没有公共点 两平面相交 α∩β＝l 有无数个公 共点(在一条 直线上) [化解疑难] 1．判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型． 2．画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行． 直线与平面的位置关系 [例 1] 下列说法： ①若直线 a 在平面α外，则 a∥α；②若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；③若直线 a∥b， b⊂α，那么直线 a 就平行于平面α内的无数条直线． 其中说法正确的个数为( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 [解析] 对于①，直线 a 在平面α外包括两种情况：a∥α或 a 与α相交，∴a 和α不一定平 行，∴①说法错误． 对于②，∵直线 a∥b，b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面α内，∴a 不一定平行于α.∴②说法错误． 对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或 a∥α，∴a 与平面α内的无数条直线平行．∴③说法 正确． [答案] B [类题通法] 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平 行． 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我 们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于 正确作出判断，避免凭空臆断． [活学活用] 1．下列说法中，正确的个数是( ) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；② 一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直 线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平 行，则另一条一定与这个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 C ①正确；②错误，如图 1 所示，l1∥m，而 m⊂α，l1⊂α； ③正确，如图 2 所 示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直 线 A1C1 与直线 BD 异面，A1C1⊂平面 A1B1C1D1，且 BD∥平面 A1B1C1D1，故③正确；④ 错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选 C. 平面与平面的位置关系 [例 2] (1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？ (2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？ [解] (1)不正确． 如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与 l 平行的直线可以有无数条： a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时 a1，a2，…，an，…与平 面β都平行(因为 a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行， α∩β＝l. (2)正确． 平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义． [类题通法] 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果 两个平面有一个公共点，那么由公理 3 可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果 两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平 行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且 只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为 l，记作α∩β ＝l. [活学活用] 2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行 的面．与其中一个侧面相交的面共有________个． 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有 4 组互 相平行的面．六棱柱共有 8 个面围成，在其余的 7 个面中，与某个侧面平行的面有 1 个，其 余 6 个面与该侧面均为相交的关系． 答案：4 6 3．如图所示，平面 ABC 与三棱柱 ABC－A1B1C1 的其他面之间有什么位置关系？ 解：∵平面 ABC 与平面 A1B1C1 无公共点，∴平面 ABC 与平面 A1B1C1 平行． ∵平面 ABC 与平面 ABB1A1 有公共直线 AB， ∴平面 ABC 与平面 ABB1A1 相交．同理可得平面 ABC 与平面 ACC1A1 及平面 BCC1B1 均 相交． 3.有关截面图形的形状问题 [典例] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 Q 是棱 DD1 上的动点，判断过 A，Q，B1 三 点的截面图形的形状． [解题流程] 欲判断过 A，Q，B1 三点的截面图形的形状，需分析 Q 点的位置. 点 Q 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 上的动点，首先讨论 Q 位置. 点 Q 与 D1 重合 点 Q 与 D 重合 点 Q 不与 D，D1 重合 ―→分别判断―→得出结论. [规范解答] 由点 Q 在线段 DD1 上移动，当点 Q 与点 D1 重合时，截面图形为等边三角形 AB1D1，如 图甲．(4 分) 甲 [名师批注] 因为 Q 是棱 DD1 上的动点，所以当 Q 与 D1 重合时，D1B1，AB1，AD1 均为正方形的对角 线，即 D1B1＝AB1＝AD1，所以，△AB1D1 为正三角形. 当点 Q 与点 D 重合时，截面图形为矩形 AB1C1D，如图乙．(8 分) 乙 [名师批注] 点 Q 在 DD1 上，两个端点是特殊位置，所以 Q 与 D 重合时，由 DC1∥AB1 知，截面是 矩形 AB1C1D. 当点 Q 不与点 D，D1 重合时，截面图形为等腰梯形 AQRB1，如图丙．(12 分) 丙 [名师批注] 当 Q 在 DD1 两点之间时，延长 AQ 交 A1D1 延长线于 O 点，连接 B1O 交 C1D1 于 R 点， 则 AB1RQ 为截面图形. [活学活用] 如图所示，G 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 延长线上的一点，E，F 是棱 AB，BC 的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点 G 及 AC；(2)过三点 E，F，D1. 解：(1)画法：连接 GA 交 A1D1 于点 M，连接 GC 交 C1D1 于点 N；连接 MN，AC，则 MA， CN，MN，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示． (2)画法：连接 EF 交 DC 的延长线于点 P，交 DA 的延长线于点 Q；连接 D1P 交 CC1 于 点 M，连接 D1Q 交 AA1 于点 N；连接 MF，NE，则 D1M，MF，FE，EN，ND1 为所求平面与 正方体表面的交线．如图②所示． [随堂即时演练] 1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( ) A．l∥α B．l⊂α C．l 与α相交 D．以上都有可能 解析：选 C 由符号语言知，直线 l 上有一点在平面α内，另一点在α外，故 l 与α相交． 2.如图所示，用符号语言可表示为( ) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α 解析：选 D 显然图中α∥β，且 l⊂α. 3．平面α∥平面β，直线 a⊂α，则 a 与β的位置关系是________． 答案：平行 4．(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________． 解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行； 若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行． 答案：0 或 1 5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线 c⊂β，c∥b. (1)判断 c 与α的位置关系，并说明理由； (2)判断 c 与 a 的位置关系，并说明理由． 解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又 c⊂β，所以 c 与α无公共点，则 c∥α. (2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则 a⊂α，b⊂β，且 a， b⊂γ，所以 a，b 没有公共点．由于 a、b 都在平面γ内，因此 a∥b，又 c∥b，所以 c∥a. [课时达标检测] 一、选择题 1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系 一定是( ) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 解析：选 C 如下图所示： 由图可知，两个平面平行或相交． 2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系 为( ) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：选 D 由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则 这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能 在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相 交，则必然与另一个平面相交)． 3．(2011·浙江高考)若直线 l 不平行于平面α，且 l⊄α，则( ) A．α内的所有直线与 l 异面 B．α内不存在与 l 平行的直线 C．α内存在唯一的直线与 l 平行 D．α内的直线与 l 都相交 解析：选 B 若在平面α内存在与直线 l 平行的直线，因 l⊄α，故 l∥α，这与题意矛盾． 4．若直线 a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( ) A．α内的所有直线均与 a 异面 B．α内不存在与 a 平行的直线 C．α内直线均与 a 相交 D．直线 a 与平面α有公共点 解析：选 D 由于直线 a 不平行于平面α，则 a 在α内或 a 与α相交，故 A 错；当 a⊂α时， 在平面α内存在与 a 平行的直线，故 B 错；因为α内的直线也可能与 a 平行或异面，故 C 错； 由线面平行的定义知 D 正确． 5．给出下列几个说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与 该平面平行．其中正确说法的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 B (1)当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(1)错； (2)由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故(2) 错；(3)过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点 与已知平面平行的直线有无数条，故(3)错；(4)过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有 一个，故(4)对． 二、填空题 6．下列命题： ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若 l，m 是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________． 解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于 ②，借助于正方体 ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面 DCC1D1，B1C1∥平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1 异面，而平面 DCC1D1 与平面 AA1D1D 相交，故②错误． 答案：①② 7．与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有________个． 解析：A，B，C，D 四个顶点在平面α的异侧，如果一边 3 个，另一边 1 个，适合题意的 平面有 4 个；如果每边 2 个，适合题意的平面有 3 个，共 7 个． 答案：7 8．下列命题正确的有________． ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α； ③若直线 l 与平面α相交，则 l 与平面α内的任意直线都是异面直线； ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ⑤若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的直线平行或异面； ⑥若平面α∥平面β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则直线 a∥b.解析：对②，直线 l 也可能与 平面相交；对③，直线 l 与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对 ④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行， 也可能异面．故①⑤正确． 答案：①⑤ 三、解答题 9.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中 M，N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ (1)AM 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系； (2)CN 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系； (3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系； (4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系． 解：(1)AM 所在的直线与平面 ABCD 相交； (2)CN 所在的直线与平面 ABCD 相交； (3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 平行； (4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 相交． 10.如图，已知平面α∩β＝l，点 A∈α，点 B∈α，点 C∈β，且 A∉l，B∉l， 直线 AB 与 l 不平行，那么平面 ABC 与平面β的交线与 l 有什么关系？证明你 的结论． 解：平面 ABC 与β的交线与 l 相交． 证明：∵AB 与 l 不平行，且 AB⊂α，l⊂α，∴AB 与 l 一定相交，设 AB∩l＝P，则 P∈ AB，P∈l. 又∵AB⊂平面 ABC，l⊂β，∴P∈平面 ABC，P∈β. ∴点 P 是平面 ABC 与β的一个公共点，而点 C 也是平面 ABC 与β的一个公共点，且 P， C 是不同的两点， ∴直线 PC 就是平面 ABC 与β的交线． 即平面 ABC∩β＝PC，而 PC∩l＝P， ∴平面 ABC 与β的交线与 l 相交． 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．2.1 & 2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定 直线与平面平行的判定 [提出问题] 门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么 位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系． 问题 1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？ 提示：平行． 问题 2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？ 提示：可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可． 问题 3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 提示：不一定，要强调线在面外． [导入新知] 表示 定理 图形 文字 符号 直线与平面平行的判 定定理 平面外一条直线与此平面 内一直线平行，则该直线 与此平面平行 a⊄α b⊂α a∥b ⇒a∥α [化解疑难] 1．用该定理判断直线 a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线 a 在平面α外，即 a⊄α； (2)直线 b 在平面α内，即 b⊂α； (3)两直线 a，b 平行，即 a∥b. 2．该定理的作用：证明线面平行． 3．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可. 平面与平面平行的判定 [提出问题] 如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪放在桌子上交叉放置两次，如果水平 仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的(注：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的 直线就是水平线)，否则桌面就不是水平的，这是为什么呢？ 问题 1：上述问题中给出了判断两面平行的一种怎样的方法？ 提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可． 问题 2：若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定，也可能相交． 问题 3：若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定，也可能相交． [导入新知] 表示 位置 图形 文字 符号 平面与平面平行的判 定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 a⊂β b⊂β a∩b＝P a∥α b∥α ⇒α∥β [化解疑难] 1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少 的． 2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． 直线与平面平行的判定 [例 1] 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分 别是对角线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ(如图)．求证：PQ∥平面 CBE. [证明] 作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，如图， 则 PM∥QN，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD.∵EA＝BD，AP＝DQ， ∴EP＝BQ. 又 AB＝CD，∴PM 綊 QN， ∴四边形 PMNQ 是平行四边形， ∴PQ∥MN. 又 PQ⊄平面 CBE，MN⊂平面 CBE， ∴PQ∥平面 CBE. [类题通法] 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线 平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等． [活学活用] 1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，E，F 分别是 PB， PC 的中点．证明：EF∥平面 PAD. 证明：在△PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点， ∴EF∥BC.又 BC∥AD，∴EF∥AD. ∵AD⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD. 面面平行的判定 [例 2] 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点． 求证：(1)E、F、B、D 四点共面； (2)平面 MAN∥平面 EFDB. [证明] (1)连接 B1D1， ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点， ∴EF∥B1D1. 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面． (2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又 MN⊄平面 EFDB，BD⊂平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 MF.∵M、F 分别是 A1B1、C1D1 的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴AM∥DF. 又 AM⊄平面 BDFE，DF⊂平面 BDFE， ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB. [类题通法] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定 理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面 面平行． [活学活用] 2.如图，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M，N，Q 分别在 PA，BD，PD 上，且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD. 求证：平面 MNQ∥平面 PBC. 证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP. ∵BP⊂平面 PBC，NQ⊄平面 PBC， ∴NQ∥平面 PBC. 又底面 ABCD 为平行四边形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC. ∵BC⊂平面 PBC，MQ⊄平面 PBC， ∴MQ∥平面 PBC. 又 MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面 MNQ∥平面 PBC. 线线平行与面面平行的综合问题 [例 3] 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点． 证明：直线 MN∥平面 OCD. [证明] 如图，取 OB 中点 E，连接 ME，NE，则 ME∥AB. 又∵AB∥CD， ∴ME∥CD. 又∵ME⊄平面 OCD，CD⊂平面 OCD， ∴ME∥平面 OCD. 又∵NE∥OC，且 NE⊄平面 OCD，OC⊂平面 OCD， ∴NE∥平面 OCD. 又∵ME∩NE＝E，且 ME，NE⊂平面 MNE， ∴平面 MNE∥平面 OCD. ∵MN⊂平面 MNE，∴MN∥平面 OCD. [类题通法] 解决线线平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是 孤立的，而是相互联系、相互转化的． (2) 线线平行 ――→判定 线面平行 ――→判定 面面平行 所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理． [活学活用] 3.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E，F， G 分别是 BC，DC，SC 的中点． 求证：(1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 证明：(1)如图，连接 SB， ∵E，G 分别是 BC，SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1. ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD，∵F，G 分别是 DC，SC 的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1， 且 EG⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG， EG∩FG＝G， ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1. 4.探索点的位置问题 [典例] 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中 心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO? [解题流程] 当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO P 是 DD1 的中点，Q 是 CC1 上的点 过 P、A、B 三点的平面 PABQ 交 CC1 于 Q 平面 ADD1∥平面 BCC1， 平面 PABQ∩平面 ADD1＝AP， 平面 PABQ∩平面 BCC1＝BQ， ⇒AP∥BQ PO 是△DD1B 的中位线⇒PO∥D1B ⇒ 平面 PAO∥平面 D1BQ，Q 是 CC1 的中点是明显的． [规范解答] 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.2 分 ∵Q 为 CC1 的中点，P 为 D1D 的中点， ∴PQ∥DC.(3 分) 又 DC∥AB， ∴PQ∥AB 且 PQ＝AB， ∴四边形 ABQP 为平行四边形， ∴QB∥PA.(5 分) 又 PA⊂平面 PAO，QB⊄平面 PAO， ∴BQ∥平面 PAO.③(7 分) 连接 BD，则 O∈BD， 又 O 为 DB 的中点，P 为 D1D 的中点， ∴PO∥D1B.(8 分) PO⊂平面 PAO，D1B⊄平面 PAO， ∴D1B∥平面 PAO.(10 分) 又 D1B∩BQ＝B， ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.(12 分) [名师批注] 观察图形特点，只需在 CC1 上取中点 Q，恰好有 AP∥BQ. [活学活用]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别 是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足________时，有 MN∥平面 B1BDD1. 解析：取 B1C1 中点 P，易证平面 FHNP∥平面 B1BDD1 故只要 M∈FH，即可保证 MN∥平面 B1BDD1. 答案：M∈FH [随堂即时演练] 1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置 关系是( ) A．一定平行 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判断都不对 解析：选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交． 2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是( ) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且 AC∥BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b 解析：选 D 由线面平行的判定定理可知，D 正确． 3．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与过 A，C，E 三点的平面的 位置关系是________． 解析：如右图所示，连接 BD 交 AC 于点 O.在正方体中容易得到点 O 为 BD 的中点．又因为 E 为 DD1 的中点，所以 OE∥BD1.又∵OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE. 答案：平行 4．下列命题真命题序号为________ ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行． 解析：①错，应为一平面内两相交直线与另一平面平行；②当两平面相交时，一面内也 有无数条直线均与另一平面平行，②也不对；③中任意直线都与另一平面平行，也有两相交 直线与另一平面平行，故③为真；④为两平面平行的判定定理，故④也为真． 答案：③④ 5.如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面相交．EF∥AC， AB＝ 2，EF＝1. 求证：AF∥平面 BDE. 证明：设 AC，BD 交于点 G，因为 EF∥AC，且 EF＝1，易得 AG＝1 2AC＝1，所以四边 形 AGEF 为平行四边形，所以 AF∥EG. 因为 AF⊄平面 BDE，EG⊂平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE. [课时达标检测] 一、选择题 1．(2012·河南汤阴一中高一检测)已知两条相交直线 a，b，a∥平面α，则 b 与α的位置关 系是( ) A．b⊂平面α B．b∥α或 b⊂α C．b∥平面α D．b 与平面α相交，或 b∥平面α 解析：选 D b 与α相交，可确定的一个平面β，若β与α平行，则 b∥α；若β与α不平行， 则 b 与α相交． 2．下列说法正确的是( ) A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α B．若直线 a 在平面α外，而 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 平行于α内的无数条直线 解析：选 D 选项 A 中，直线 l⊂α时也可以满足条件，但 l 不平行于α；直线在平面外 包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以排除选项 B；选项 C 中缺少直线 a 不 在平面α内这一条件；选项 D 正确． 3．在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E，F 分别为平面 ABCD 和平面 A′B′C′D′ 的中心，则正方体的六个面中与 EF 平行的平面有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解 析 ： 选 D 如 图 正 方 体 四 个 侧 面 AA′B′B ， BB′C′C ， CC′D′D，DD′A′A 都与 EF 平行． 4．已知直线 l，m，平面α，β，下列命题正确的是( ) A．m∥l，l∥α⇒m∥α B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β 解析：选 D A 中，m 可能在α内，也可能与α平行；B 中，α与β可能相交，也可能平行； C 中，α与β可能相交，也可能平行；D 中，l∩m＝M，且 l，m 分别与平面β平行，依据面面 平行的判定定理可知α∥β. 5．点 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，则空间四 面体的六条棱中与平面 EFGH 平行的条数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 C 如图，由线面平行的判定定理可知 BD∥平面 EFGH，AC ∥平面 EFGH. 二、填空题 6．已知 a，b，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面， 现给出六个命题： ①a∥c，b∥c⇒a∥b; ②a∥γ，b∥γ⇒a∥b； ③c∥α，c∥β⇒α∥β； ④α∥γ，β∥γ⇒α∥β； ⑤c∥α，a∥c⇒a∥α. ⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α. 正确命题是________(填序号)． 解析：直线平行或平面平行能传递，故①④正确，②中，可能 a 与 b 异面或相交；③中 α与β可能相交；⑤中可能 a⊂α；⑥中，可能 a⊂α，故正确命题是①④. 答案：①④ 7．下列说法正确的个数是________． (1)若直线 l 上有两点到平面α的距离相等，则 l∥平面α； (2)若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线平行； (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． 解析：直线 l 与平面α相交时，直线 l 上也有两个点到平面α的距离相等，故(1)不正确； 若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的直线可能平行也可能异面，故(2)不正确；(3)中，两 条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行不正确，因为此直线 也可以在这个平面内． 答案：0 8.如图所示，在四面体 ABCD 中，M、N 分别是△ACD、△BCD 的 重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是________． 解析：连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连接 BN，并延长交 CD 于 F， 由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由EM MA ＝EN NB ＝1 2 ，得 MN∥AB.因此，MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 答案：平面 ABC、平面 ABD 三、解答题 9.如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，E，E1 分 别是棱 AD，AA1 的中点，设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平面 FCC1. 证明：如图，取 A1B1 的中点为 F1. 连接 FF1，C1F1. 由于 FF1∥BB1∥CC1， 所以 F1∈平面 FCC1， 因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1. 连接 A1D，F1C，由于 A1F1 綊 D1C1 綊 DC， 所以四边形 A1DCF1 为平行四边形， 因此 A1D∥F1C. 又 EE1∥A1D，得 EE1∥F1C. 而 EE1⊄平面 FCC1，F1C⊂平面 FCC1. 故 EE1∥平面 FCC1. 10．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点． 求证：平面 AMN∥平面 EFDB. 证明：连接 MF，∵M，F 分别是 A1B1，C1D1 的中点， 且四边形 A1B1C1D1 为正方形， ∴MF 綊 A1D1. 又 A1D1 綊 AD，∴MF 綊 AD， ∴四边形 AMFD 是平行四边形， ∴AM 綊 DF. ∵DF⊂平面 EFDB，AM⊄平面 EFDB， ∴AM∥平面 EFDB. 同理，AN∥平面 EFDB. 又 AM⊂平面 AMN，AN⊂平面 AMN 且 AM∩AN＝A， ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 2．2.3 & 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 直线与平面平行的性质 [提出问题] 将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌 面的交线与书脊的位置． 问题 1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？ 提示：平行． 问题 2：每页纸与桌面的交线之间有何关系？ 提示：平行． 问题 3：书脊所在的直线与桌面上任何直线都平行吗？ 提示：不一定．平行或异面． [导入新知] 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行． (2)图形语言： (3)符号语言： a∥α a⊂β α∩β＝b ⇒a∥b (4)作用：线面平行⇒线线平行． [化解疑难] 对线面平行性质定理的理解 (1)如果直线 a∥平面 α，在平面α内，除了与直线 a 平行的直线外，其余的任一直线都与 a 是异面直线． (2)线面平行的性质定理的条件有三：①直线 a 与平面α平行，即 a∥α；②平面α、β相交 于一条直线，即α∩β＝b；③直线 a 在平面β内，即 a⊂β.三个条件缺一不可． (3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，线面平行转化为线线平行. 面面平行的性质 [提出问题] 2010 年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的 印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的 又一标志性建筑．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天 下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感 觉． 问题 1：展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何 位置关系？ 提示：平行． 问题 2：上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系？ 提示：平行或异面． 问题 3：上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知] 面面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． (2)图形语言： (3)符号语言： α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a∥b (4)作用：面面平行⇒线线平行． [化解疑难] 对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可． (2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一 个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行． (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义． 线面平行的性质及应用 [例 1] 如图所示，已知三棱锥 A—BCD 被一平面所截，截面为▱EFGH， 求证：CD∥平面 EFGH. [证明] ∵EFGH 为平行四边形，∴EF∥GH. 又 GH⊂平面 BCD，EF⊄平面 BCD， ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD＝CD，EF⊂平面 ACD， ∴EF∥CD. 又 EF⊂平面 EFGH，CD⊄平面 EFGH， ∴CD∥平面 EFGH. [类题通法] 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交 的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系． [活学活用] 1．求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过 a 作平面γ交α于 b. ∵a∥α，∴a∥b.过 a 作平面ε交平面β于 c.∵a∥β， ∴a∥c，∴b∥c. 又 b⊄β且 c⊂β，∴b∥β. 又平面α过 b 交β于 l，∴b∥l. ∵a∥b，∴a∥l. 面面平行的性质及应用 [例 2] 如图所示，两条异面直线 BA，DC 与两平行平面α，β分别交于 B，A 和 D，C，M，N 分别是 AB，CD 的中点．求证：MN∥平面α. [证明] 过 A 作 AE∥CD 交平面α于点 E，取 AE 的中点 P， 连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵AE∥CD，∴AE，CD 确定平面 AEDC. 则平面 AEDC∩α＝DE，平面 AEDC∩β＝AC. ∵α∥β，∴AC∥DE. 又∵P，N 分别为 AE，CD 的中点， ∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α. 又∵M，P 分别为 AB，AE 的中点， ∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面 MPN，且 MP∩PN＝P， ∴平面 MPN∥α. 又∵MN⊂平面 MPN，∴MN∥α. [类题通法] 1．把握面面平行性质定理的关键 (1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交． (2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线 面、线线、面面平行间的相互转化． 2．面面平行的性质定理的几个推论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两平行平面间的平行线段相等． (3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． [活学活用] 2.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC＝2a，E 为 AB 上一点，将 B 点沿线段 EC 折起至点 P，连接 PA、PC、PD，取 PD 中点 F，若有 AF ∥平面 PEC，试确定 E 点的位置． 解：取 PC 的中点 G，连接 GE，GF.如右图． 由条件知 GF∥CD， EA∥CD，∴GF∥EA，则 G，E，A，F 四点共面． ∵AF∥平面 PEC， 平面 GEAF∩平面 PEC＝GE， ∴AF∥GE.∴四边形 GEAF 为平行四边形． ∵GF＝1 2CD，∴EA＝1 2CD＝1 2BA， ∴E 为 AB 的中点． 线面平行和面面平行的综合问题 [例 3] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，如图． (1)求证：平面 AB1D1∥平面 C1BD； (2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E，F， 并证明：A1E＝EF＝FC. [解] 证明：(1)因为在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD 綊 B1C1， 所以四边形 AB1C1D 是平行四边形，所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D⊂平面 C1BD，AB1⊄平面 C1BD. 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1， 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)如图，连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1，连接 AO1 与 A1C 交于点 E. 又因为 AO1⊂平面 AB1D1，所以点 E 也在平面 AB1D1 内， 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点； 连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O 与 A1C 交于点 F，则点 F 就是 A1C 与 平面 C1BD 的交点．下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1， 平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F， 平面 AB1D1∥平面 C1BD，所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中，O1 是 A1C1 的中点，所以 E 是 A1F 的中点， 即 A1E＝EF； 同理可证 OF∥AE，所以 F 是 CE 的中点， 即 CF＝FE， 所以 A1E＝EF＝FC. [类题通法] 1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面 平行的性质． 2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何 中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． [活学活用] 3.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，P，Q 分别 是 BC，C1D1，AD1，BD 的中点． (1)求证：PQ∥平面 DCC1D1； (2)求 PQ 的长； (3)求证：EF∥平面 BB1D1D. 解：(1)证明：如图所示． 连接 AC，CD1， ∵P，Q 分别是 AD1，AC 的中点， ∴PQ∥CD1.又 PQ⊄平面 DCC1D1， CD1⊂平面 DCC1D1， ∴PQ∥平面 DCC1D1. (2)由(1)易知 PQ＝1 2D1C＝ 2 2 a. (3)证明：取 B1C1 的中点 E1，连接 EE1，FE1，则有 FE1∥B1D1，EE1∥BB1，∴平面 EE1F ∥平面 BB1D1D. 又 EF⊂平面 EE1F，所以 EF∥平面 BB1D1D. 5.面面平行性质定理应用 [典例] 如图所示，已知 E，F 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AA1， CC1 的中点，求证：四边形 BED1F 是平行四边形． [解题流程] 要证四边形 BED1F 是平行四边形，需先证 B、E、D1、F 四点共面 此几何体为正方体；E、F 为棱的中点 取D1D中点G―→EG綊AD―→EG綊BC―→四边形EGCB是平行四边形―→EB∥GC―→GC 綊 D1F―→EB∥D1F―→BED1F 是平面四边形―→ED1∥BF―→得出结论 [规范解答] 取 D1D 的中点 G，连接 EG，GC. ∵E 是 A1A 的中点，G 是 D1D 的中点， ∴EG 綊 AD.(2 分) 由正方体性质知 AD 綊 BC， ∴EG 綊 BC，∴四边形 EGCB 是平行四边形， ∴EB 綊 GC.(5 分) 又∵G，F 分别是 D1D，C1C 的中点，∴D1G 綊 FC， ∴四边形 D1GCF 为平行四边形， ∴D1F 綊 GC(7 分) ∴EB∥D1F，(8 分) ∴E，B，F，D1 四点共面，四边形 BED1F 是平面四边形． 又∵平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1， 平面 EBFD1∩平面 ADD1A1＝ED1， 平面 EBFD1∩平面 BCC1B1＝BF， ∴ED1∥BF，(11 分) ∴四边形 BED1F 是平行四边形．(12 分) [名师批注] 解答过程中，若漏掉 EG 綊 AD，EB 綊 GC 和 D1F 綊 GC，则无法得到四边形 EBFD1 是 平面四边形，虽然后面也证明了 EBFD1 是平行四边形，但不完整． 若直接得出 EBFD1 是平行四边形不完整，不要漏了 E、B、F、D1 四点共面.四边形 BED1F 是平面四边形. 若漏掉平面 EBFD1∩平面 ADD1A1＝ED，平面 EBFD1∩平面 BCC1B1＝BF，则不具备面 面平行的性质定理的条件，无法得出线线平行. [活学活用] 已知 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的 中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证： AP∥GH. 证明：连接 AC，设 AC 交 BD 于 O，连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点， ∴MO∥PA.又 MO⊂面 BDM，PA⊄面 BDM， ∴PA∥面 BDM.又经过 PA 与点 G 的平面交面 BDM 于 GH，∴AP∥GH. [随堂即时演练] 1．梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线 CD 与平面α内的直线的 位置关系只能是( ) A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 解析：选 B 由题意，CD∥α，则平面α内的直线与 CD 可能平行，也可能异面． 2.如图，四棱锥 P－ABCD 中，M，N 分别为 AC，PC 上的点，且 MN ∥平面 PAD，则( ) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 解析：选 B ∵MN∥平面 PAD，平面 PAC∩平面 PAD＝PA，MN⊂平面 PAC，∴MN∥ PA. 3．过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A1，C1，B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交 线为 l，则 l 与 A1C1 的位置关系是________． 解析：由于平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 A1B1C1D1∩平面 A1C1B＝A1C1，平面 ABCD∩ 平面 A1C1B＝l，所以 l∥A1C1. 答案：平行 4.如图所示，平面四边形 ABCD 所在的平面与平面α平行，且四边 形 ABCD 在平面α内的平行投影 A1B1C1D1 是一个平行四边形，则四边形 ABCD 的形状一定是________． 解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而 ABCD 所在面与面α平行， 则 AB∥A1B1，且四边形 ABB1A1 为平行四边形；同理四边形 CC1D1D 为平行四边形．∴AB 綊 CD，从而四边形 ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形 5.如图所示，P 为▱ABCD 所在平面外一点，点 M，N 分别为 AB，PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l. (1)求证：BC∥l； (2)MN 与平面 PAD 是否平行？证明你的结论． 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 BC∥AD.又因 AD⊂平面 PAD，BC ⊄平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD.又因为平面 PBC∩平面 PAD＝l，BC⊂平面 PBC，所以 BC ∥l. (2)MN∥平面 PAD.证明如下：如图所示，取 PD 的中点 E，连接 NE， AE，所以 NE∥CD，NE＝1 2CD. 而 CD 綊 AB，M 为 AB 中点，所以 NE∥AM，NE＝AM，所以四边形 MNEA 是平行四边形，所以 MN∥AE.又 AE⊂平面 PAD，MN⊄平面 PAD，所以 MN∥平面 PAD. [课时达标检测] 一、选择题 1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线 a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线 b， 则 a，b 的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：选 A 由面面平行的性质定理可知选项 A 正确． 2．过平面α外的直线 l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为 a，b，c，…，则这些 交线的位置关系为( ) A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 解析：选 D ∵l⊄α，∴l∥α或 l∩α＝A，若 l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l ∥b，l∥c，…，∴由公理可知，a∥b∥c…；若 l∩α＝A，则 A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c ＝A. 3．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，若经过 D1B 的平面分别交 AA1 和 CC1 于点 E、F，则 四边形 D1EBF 的形状是( ) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 解析：选 C 因为平面和左右两个侧面分别交于 ED1、BF，所以 ED1∥BF，同理 D1F∥ EB，所以四边形 D1EBF 是平行四边形． 4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C 是 AB 的中点，当 A，B 分别在α，β内运动时，那 么所有的动点 C( ) A．不共面 B．当且仅当 A，B 在两条相交直线上移动时才共面 C．当且仅当 A，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面 D．不论 A，B 如何移动都共面 解析：选 D 由面面平行的性质，不论 A、B 如何运动，动点 C 均在过点 C 且与α、β都 平行的平面上． 5．下列说法正确的是( ) A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 D．若三直线 a，b，c 两两平行，则在过直线 a 的平面中，有且只有一个平面与 b，c 均 平行 解析：选 B 平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以 A 错；B 正确； C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D 不正确，因为过直线 a 的平面中， 只有 b，c 不在其平面内，则与 b，c 均平行． 二、填空题 6．在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点，P 是 棱 AD 上一点，AP＝a 3 ，过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ＝________. 解析：∵MN∥平面 AC，平面 PMN∩平面 AC＝PQ， MN⊂平面 PMN， ∴MN∥PQ.易知 DP＝DQ＝2 3a， 故 PQ＝ 2×2 3a＝2 2 3 a. 答案：2 2 3 a 7.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． 解析：∵EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，平面 AB1C∩平面 ABCD＝ AC，∴EF∥AC.又点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上， ∴点 F 是 CD 的中点，∴EF＝1 2AC＝ 2. 答案： 2 8．如图是正方体的平面展开图： 在这个正方体中，①BM∥平面 ADE；②CN∥平面 BAF；③平面 BDM∥平面 AFN；④ 平面 BDE∥平面 NCF，以上说法正确的是________(填序号)． 解析：以 ABCD 为下底还原正方体，如图所示， 则易判定四个说法都正确． 答案：①②③④ 三、解答题 9.如图所示：ABC－A1B1C1 中，平面 ABC∥平面 A1B1C1，若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE∥平面 AB1C1？证明你的 结论． 解：当点 E 为棱 AB 的中点时， DE∥平面 AB1C1.证明如下： 如图，取 BB1 的中点 F，连 EF、FD、DE， ∵D、E、F 分别为 CC1、AB、BB1 的中点， ∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面 AB1C1，EF⊄平面 AB1C1， ∴EF∥平面 AB1C1.同理可证 FD∥平面 AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面 EFD∥平面 AB1C1. ∵DE⊂平面 EFD. ∴DE∥平面 AB1C1. 10.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是棱 CC1 上的一点， P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点，且 PB1∥平面 BDA1.求 证：CD＝C1D. 证明：如图，连接 AB1，设 AB1 与 BA1 交于点 O，连接 OD. ∵PB1∥平面 BDA1，PB1⊂平面 AB1P，平面 AB1P∩平面 BDA1＝OD，∴OD∥PB1. 又 AO＝B1O，∴AD＝PD. 又 AC∥C1P，∴CD＝C1D. _2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定 2．3.2 直线与平面的垂直 [提出问题] 鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直 角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进 行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用 曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都 分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直． 问题 1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ 提示：不能． 问题 2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 提示：直线垂直于平面内的两条相交直线． 问题 3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？ 提示：不一定． [导入新知] 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面α互相垂 直，记作 l⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们 唯一的公共点 P 叫做垂足． (2)图形语言：如图． 画直线 l 与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一 边垂直． (3)符号语言：任意 a⊂α，都有 l⊥a⇒l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. [化解疑难] 1．关于直线与平面垂直的定义的理解： (1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直 线和平面内所有直线垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线 垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法． (4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述 为 l⊥α. 2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条 直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直． 3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已 知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的. 直线与平面所成的角 [提出问题] 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种 桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体 系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内 弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料。斜拉桥由 索塔、主梁、斜拉索组成． 问题 1：上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？ 提示：不同． 问题 2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？ 提示：能． 问题 3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面 角吗？ 提示：能． [导入新知] (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面α所成的角． (2)当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角是 90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0°. (4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. [化解疑难] 关于直线与平面所成的角的认识 (1)把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的；②斜线在平面上 的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． (2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角， 并放在三角形内求解． 线面垂直的定义及判定定理的理解 [例 1] 下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则 l⊥α； ②如果直线 l 与平面α内的任意一条直线垂直，则 l⊥α； ③如果直线 l 不垂直于α，则α内没有与 l 垂直的直线； ④如果直线 l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与 l 垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] 由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当 l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． [答案] D [类题通法] 1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平 面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交． 2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线． [活学活用] 1．下列说法中，正确的是( ) A．若直线 l 与平面α内无数条直线垂直，则 l⊥α B．若直线 l 垂直于平面α，则 l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若 a∥b，a⊂α，l⊥α，则 l⊥b D．若 a⊥b，b⊥α，则 a∥α 解析：选 C 当 l 与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故 A 错；当 l⊥α时，l 与α内的 直线相交或异面，但不会平行，故 B 错；C 显然是正确的；而 D 中，a 可能在α内，所以 D 错误． 线面垂直的判定 [例 2] 如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC， AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D 为 BB1 的中点． 求证：AD⊥平面 A1DC1. [证明] ∵AA1⊥底面 ABC， 平面 A1B1C1∥平面 ABC， ∴AA1⊥平面 A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°， ∴A1C1⊥A1B1.而 A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面 AA1B1B.又 AD⊂平面 AA1B1B， ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得 AD＝ 2，A1D＝ 2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21， ∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1， ∴AD⊥平面 A1DC1. [类题通法] 1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线， 证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法． 2．线线垂直与线面垂直的转化关系． 线线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直的定义 线面垂直． 3．解决线面垂直的常用方法： (1)利用勾股定理的逆定理． (2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线． (3)利用线面垂直的定义． (4)利用平行转化，即 a∥b，b⊥c，则 a⊥c. [活学活用] 2.如图，直角三角形 ABC 所在平面外有一点 S，且 SA＝SB＝SC，点 D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC. 证明：(1)因为 SA＝SC，D 为 AC 的中点，所以 SD⊥AC.则在 Rt△ABC 中， 有 AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS. 所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面 ABC，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 又由(1)知 SD⊥BD，于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD⊥平面 SAC. 直线与平面所成角 [例 3] 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点．求 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值． [解] 取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM， 因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形， 所以 EM∥AD. 又在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1， 所以 EM⊥平面 ABB1A1， 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成 的角． 设正方体的棱长为 2，则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3， 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EM BE ＝2 3 ， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为2 3. [类题通法] 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过 垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于 计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． [活学活用] 3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，求侧棱与底面所成角的余弦值． 解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，则侧棱长为 2a. 设 O 为底面中心， 则∠SAO 为 SA 与平面 ABC 所成的角． 在 Rt△SOA 中，∵AO＝2 3 × 3 2 a＝ 3 3 a， ∴cos∠SAO＝AO SA ＝ 3 3 a 2a ＝ 3 6 ， 即侧棱与底面所成角的余弦值为 3 6 . 6.证明线面垂直 [典例] 如图，已知 P 是△ABC 所在平面外一点，PA，PB，PC 两两 互相垂直，H 是△ABC 的垂心． 求证：PH⊥平面 ABC. [解题流程] 要证 PH⊥平面 ABC，需证 PH 垂直于平面 ABC 内两条相交直线. PA，PB，PC 两两垂直且 H 是△ABC 的垂心，则△ABC 的一个顶点与 H 连线与对边垂直. 由 PC⊥PA 且 PC⊥PB―→PC⊥平面 PAB―→PC⊥AB―→由 H 为△ABC 垂心，接连 CH，CH ⊥AB―→AB⊥平面 PHC―→AB⊥PH―→同理 BC⊥PH―→得出结论. [规范解答] 如图所示， ∵PC⊥AP，PC⊥BP， AP∩BP＝P①，AP⊂平面 APB，BP⊂平面 APB②， ∴PC⊥平面 APB.3 分 ∵AB⊂平面 APB③，∴PC⊥AB.5 分 连接 CH，∵H 为△ABC 的垂心，∴CH⊥AB.7 分 ∵PC∩CH＝C①，PC⊂平面 PHC，CH⊂平面 PHC②， ∴AB⊥平面 PHC.∵PH⊂ 平面 PHC③， ∴AB⊥PH.(9 分) 同理可证 PH⊥BC.(10 分) ∵AB⊂平面 ABC，BC⊂ 平面 ABC②且 AB∩BC＝B①， ∴PH⊥平面 ABC.(12 分) [名师批注] ①处易漏掉 AP∩BP＝P，PC∩CH＝C 和 AB∩BC＝B 的条件，而直接证明出线面垂直， 虽然结果正确，但不严密.虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全 面的，都容易失分.,若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的. [活学活用] 如图，已知 PA⊥圆 O 所在平面，AB 为圆 O 的直径，C 是圆周上的 任意一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E. 求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵AC⊥BC，AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC.∵AE⊂平面 PAC， ∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C， PC⊂平面 PBC，BC⊂平面 PBC， ∴AE⊥平面 PBC. [随堂即时演练] 1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 答案：B 2.如图所示，若斜线段 AB 是它在平面α上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与 平面α所成的角是( ) A．60° B．45° C．30° D．120° 解析：选 A ∠ABO 即是斜线 AB 与平面α所成的角， 在 Rt△AOB 中，AB＝2BO，所以 cos∠ABO＝1 2 ， 即∠ABO＝60°. 3.如图所示，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝AB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于________． 解析：因为 PA⊥平面 ABC，所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB， 所以∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角．在△PAB 中，∠BAP＝90°， PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于 45°. 答案：45° 4.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC⊥BD，则平行 四边形一定是________． 解析：连接 AC、BD，则 AC 与 BD 交于点 O. ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD， PA∩PC＝P，PA⊂平面 PAC，PC⊂平面 PAC ∴BD⊥平面 PAC，又 AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥AC，又 ABCD 为平行四边形， ∴ABCD 为菱形． 答案：菱形 5.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2 2，E，F 分别是 AD，PC 的中点．证明： PC⊥平面 BEF. 证明：如图，连接 PE，EC，在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中，PA＝ AB＝CD, AE＝DE， ∴PE＝CE， 即△PEC 是等腰三角形． 又 F 是 PC 的中点， ∴EF⊥PC. 又 BP＝ AP2＋AB2＝2 2＝BC， F 是 PC 的中点， ∴BF⊥PC. 又 BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面 BEF. [课时达标检测] 一、选择题 1．直线 l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面α的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．在平面α内 D．无法确定 解析：选 D 当平面α内的两条直线相交时，直线 l⊥平面α，即 l 与α相交，当面α内的两 直线平行时，l⊂α或 l∥α或 l 与α斜交． 2．下列说法中正确的个数是( ) ①若直线 l 与平面α内的一条直线垂直，则 l⊥α. ②若直线 l 与平面α内的两条相交直线垂直，则 l⊥α. ③若直线 l 与平面α内的任意一条直线垂直，则 l⊥α. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交， 也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的． 3.如图所示，如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 与 BD 的位置 关系是( ) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 解析：选 C 连接 AC，因为 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD，则 BD ⊥MC.因为 AC∩MC＝C，所以 BD⊥平面 AMC.又 MA⊂平面 AMC，所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面，因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交． 4．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，则 P 到 BC 的距离是 ( ) A. 5 B．2 5 C．3 5 D．4 5 解析：选 D 如图所示，作 PD⊥BC 于 D，连 AD. ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥CD. ∴CB⊥平面 PAD，∴AD⊥BC. 在△ACD 中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在 Rt△PAD 中，PA＝8，AD＝4， ∴PD＝ 82＋42＝4 5. 5．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.2 3 D. 6 3 解析：选 D 如图，设正方体的棱长为 1，上、下底面的中心分别为 O1、O，则 OO1∥BB1，O1O 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的角，即∠O1OD1， cos∠O1OD1＝|O1O| |OD1| ＝ 1 3 2 ＝ 6 3 . 二、填空题 6.在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件________ 时，有 VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可) 解析：只要 VC⊥面 VAB，即有 VC⊥AB；故只要 VC⊥VA，VC⊥VB 即 可． 答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证 VC⊥AB 即可) 7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所 在的直线中： (1)与 PC 垂直的直线有_____________________________________； (2)与 AP 垂直的直线有_____________________________________________________． 解析：(1)∵PC⊥面 ABC，AB，AC，BC⊂平面 ABC. ∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°即 BC⊥AC，又 BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面 PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC 8.(2012·济宁高一检测)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，面对角线 A1B 与 对角面 BB1D1D 所成的角为________． 解析：连接 A1C1，交 B1D1 于 E，则 A1C1⊥B1D1，即 A1E⊥B1D1.又 DD1 ⊥A1C1，即 DD1⊥A1E，∴A1E⊥平面 BB1D1D.连接 BE，则∠A1BE 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角．在 Rt△A1BE 中，∵A1E＝1 2A1B， ∴∠A1BE＝30°，即 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角为 30°. 答案：30° 三、解答题 9.如图，在直角三角形 BMC 中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM ＝5，MA＝3 且 MA⊥AC，AB＝4，求 MC 与平面 ABC 所成角的正弦值． 解：因为 BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以 AB2＋AM2＝BM2，所以 MA⊥AB. 又因为 MA⊥AC，AB、AC⊂平面 ABC，且 AB∩AC＝A，所以 MA⊥平面 ABC， 所以∠MCA 即为 MC 与平面 ABC 所成的角． 又因为∠MBC＝60°，所以 MC＝5 3 2 ， 所以 sin∠MCA＝MA MC ＝ 3 5 3 2 ＝2 3 5 . 10.(2011·广东高考改编)如图，在锥体 P－ABCD 中，ABCD 是菱形， 且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F 分别是 BC，PC 的中点． 证明：AD⊥平面 DEF. 证明：取 AD 的中点 G，连接 PG，BG. ∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形 ABCD 边长为 1. 在△ABG 中，∵∠GAB＝60°，AG＝1 2 ，AB＝1， ∴∠AGB＝90°，即 AD⊥GB. 又 PG∩GB＝G，∴AD⊥平面 PGB，从而 AD⊥PB. ∵E，F 分别是 BC，PC 的中点，∴EF∥PB，从而 AD⊥EF. 又 DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE， ∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面 DEF. 2．3.2 平面与平面垂直的判定 二面角 [提出问题] 随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水 坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度 问题 1：根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？ 提示：可以是锐角、直角、钝角、平角． 问题 2：两平面形成的角可以为 0°角吗？ 提示：可以． 问题 3：两平面成角的范围是什么？ 提示：[0°，180°]． [导入新知] 二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (如图)．直线 AB 叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α－AB－β，在α，β内，分别取点 P、Q 时，可记作 P－AB －Q；当棱记为 l 时，可记作α－l－β或 P－l－Q. (2)二面角的平面角： ①定义：在二面角α－l－β的棱 l 上任取一点 O，如图所示，以点 O 为垂 足，在半平面α和β内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角． ②直二面角：平面角是直角的二面角． [化解疑难] 对于二面角及其平面角的理解 (1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角 的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想． (2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角 θ的取值范围是 0°≤θ≤180°. 平面与平面垂直 [提出问题] 建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常 在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能 保证墙面与地面垂直． 问题 1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与 已知平面有何关系？ 提示：垂直． 问题 2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？ 提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可． [导入新知] 1．面面垂直的定义 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 直． (2)画法： 记作：α⊥β. 2．两平面垂直的判定 (1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)图形语言：如图． (3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β. [化解疑难] 对面面垂直的判定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”． (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂 线． (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现 了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握． 面面垂直的判定 [例 1] 如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又 SA＝SB＝SC. 求证：平面 ABC⊥平面 SBC. [证明] 法一：(利用定义证明) ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 取 BC 的中点 D，如图所示， 连接 AD，SD，则 AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角． 在 Rt△BSC 中，∵SB＝SC＝a， ∴SD＝ 2 2 a，BD＝BC 2 ＝ 2 2 a. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 2 2 a， 在△ADS 中，∵SD2＋AD2＝SA2， ∴∠ADS＝90°，即二面角 A－BC－S 为直二面角，故平面 ABC⊥平面 SBC. 法二：(利用判定定理) ∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， ∴SA＝AB＝AC， ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． ∵△SBC 为直角三角形， ∴点 A 在△SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点， ∴AD⊥平面 SBC. 又∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC. [类题通法] 证明面面垂直的方法 (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为 “线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． [活学活用] 1.(2012·新课标全国高考)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面， ∠ACB＝90°，AC＝BC＝1 2AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 解：(1)证明：由题设知 BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以 BC ⊥平面 ACC1A1. 又 DC1⊂平面 ACC1A1，所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即 DC1⊥DC.又 DC∩BC＝C，所 以 DC1⊥平面 BDC.又 DC1⊂平面 BDC1，故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B－DACC1 的体积为 V1，AC＝1，由题意得 V1＝1 3 ×1＋2 2 ×1×1＝1 2. 又三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1. 二面角 [例 2] 已知 D，E 分别是正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1 和 BB1 上的点，且 A1D＝2B1E ＝B1C1.求过 D，E，C1 的平面与棱柱的下底面 A1B1C1 所成的二面角的大小． [解] 如图所示，在平面 AA1B1B 内延长 DE 和 A1B1 交于点 F，则 F 是平 面 DEC1 与平面 A1B1C1 的公共点．于是 C1F 为这两个平面的交线． 因而，所求二面角即为二面角 D－C1F－A1. ∵A1D∥B1E，且 A1D＝2B1E， ∴E，B1 分别为 DF 和 A1F 的中点． ∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F， ∴FC1⊥A1C1. 又∵CC1⊥平面 A1B1C1，FC1⊂平面 A1B1C1， ∴CC1⊥FC1. 又∵A1C1，CC1 为平面 AA1C1C 内的两条相交直线， ∴FC1⊥平面 AA1C1C. ∵DC1⊂平面 AA1C1C， ∴FC1⊥DC1. ∴∠DC1A1 是二面角 D－C1F－A1 的平面角． 由已知 A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°. 故所求二面角的大小为 45°. [类题通法] 解决二面角问题的策略 清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平 面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所 作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值， 其中关键是“作”． [活学活用] 2.如图所示，在△ABC 中，AB⊥BC，SA⊥平面 ABC，DE 垂 直平分 SC，且分别交 AC，SC 于点 D，E，又 SA＝AB，SB＝BC， 求二面角 E－BD－C 的大小． 解：∵E 为 SC 中点，且 SB＝BC， ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC， BE∩DE＝E，∴SC⊥平面 BDE， ∴BD⊥SC.又 SA⊥平面 ABC， 可得 SA⊥BD，SC∩SA＝S， ∴BD⊥平面 SAC，从而 BD⊥AC，BD⊥DE， ∴∠EDC 为二面角 E－BD－C 的平面角． 设 SA＝AB＝1.△ABC 中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝ 2， AC＝ 3，∴SC＝2.在 Rt△SAC 中，∠DCS＝30°， ∴∠EDC＝60°，即二面角 E－BD－C 为 60°. 线面、面面垂直的综合问题 [例 3] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧 棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，求证： (1)PD⊥平面 ABCD； (2)平面 PAC⊥平面 PBD； (3)二面角 P－BC－D 是 45°的二面角． [证明] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， ∴PC2＝PD2＋DC2. 则 PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且 AD，DC⊂平面 ABCD， ∴PD⊥平面 ABCD. (2)由(1)知 PD⊥平面 ABCD，又∵AC⊂平面 ABCD， ∴PD⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. 又∵BD∩PD＝D，且 PD，BD⊂平面 PBD， ∴AC⊥平面 PBD. 又∵AC⊂平面 PAC， ∴平面 PAC⊥平面 PBD. (3)由(1)知 PD⊥BC， 又∵BC⊥DC，且 PD，DC 为平面 PDC 内两条相交直线， ∴BC⊥平面 PDC. ∵PC⊂平面 PDC， ∴BC⊥PC. 则∠PCD 为二面角 P－BC－D 的平面角． 在 Rt△PDC 中，∵PD＝DC＝a， ∴∠PCD＝45°， 即二面角 P－BC－D 是 45°的二面角． [类题通法] 本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类 问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直． [活学活用] 3.△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA. 证明：(1)设 BD＝a，作 DF∥BC 交 CE 于 F， 则 CF＝DB＝a.因为 CE⊥面 ABC， 所以 BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥面 ABC， 所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以 DE＝DA. (2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN 綊 1 2CE 綊 DB. 所以四边形 MNBD 为平行四边形，所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥面 ABC，所以 EC⊥BN，EC⊥MD. 又 DE＝DA，M 为 EA 中点，所以 DM⊥AE. 所以 DM⊥平面 AEC，所以面 BDM⊥面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC，而 DM⊂面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA. 7.线、面垂直的综合应用 [典例] (12 分)如图所示，已知三棱锥 P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D 为 AB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 D－AP－C 的正弦值； (3)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 M－BCD 的体积． [解题流程] 1证面面垂直 2求二面角的正弦值 3求三棱锥的体积 △ABC 是直角三角形且 BC⊥AC，△PDB 是正三角形，D 为 AB 的中点，PD＝DB＝10 对于(1)，由△ABC 是直角三角形以及△PDB 是正三角形，寻找线线垂直； 对于(2)，先找出二面角的平面角，再求值； 对于(3)，关键是由垂直找到三棱锥的高 1证 AP⊥PB―→AP⊥平面 PBC―→AP⊥BC―→BC⊥平面 PAC―→平面 PAC⊥平面 ABC 2证∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角―→BC⊥PC―→sin∠BPC＝BC PB 3证 DM 綊 1 2PA―→又由 PA⊥平面 PBC―→DM⊥平面 PBC―→S△BCM＝1 2S△PBC―→VM－BCD＝ VD－BCM―→得出结论 [规范解答] (1)证明：∵D 是 AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB＝20， ∴PD＝1 2AB＝10，∴AP⊥PB. 又 AP⊥PC，PB∩PC＝P， ∴AP⊥平面 PBC.(2 分) 又 BC⊂平面 PBC， ∴AP⊥BC. 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC. 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 PAC⊥平面 ABC.(4 分) (2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝BC PB ＝2 5.(8 分) (3)∵D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， ∴DM 綊 1 2PA，且 DM＝5 3， 由(1)知 PA⊥平面 PBC， ∴DM⊥平面 PBC， ∵S△BCM＝1 2S△PBC＝2 21， ∴VM－BCD＝VD－BCM＝1 3 ×5 3×2 21＝10 7.(12 分) [名师批注] 解答1的过程中，若漏掉 AP⊥平面 PBC，BC⊥平面 PAC，而直接得出线线垂直或面面 垂直，依据就不够充分. 若没有说明∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角，则解析不完整，要扣分，因此，在求 二面角时，一定要说明哪个角是二面角的平面角 若 DM⊥平面 PBC 漏掉，即没有明确三棱锥的高，也是不严谨，在求解三棱锥体积时， 要明确底面以及三棱锥的高灵活运用等体积转化法求解. [活学活用] 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，E，G，F 分别为 MB，PB，PC 的中点，且 AD＝ PD＝2MA. (1)求证：平面 EFG⊥平面 PDC； (2)求三棱锥 P－MAB 与四棱锥 P－ABCD 的体积之比． 解：(1)证明：由已知 MA⊥平面 ABCD，PD∥MA，所以 PD⊥平面 ABCD. 又 BC⊂平面 ABCD，所以 PD⊥BC. 因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BC⊥DC.又 PD∩DC＝D，因此 BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中，因为 G，F 分别为 PB，PC 的中点， 所以 GF∥BC，因此 GF⊥平面 PDC. 又 GF⊂平面 EFG，所以平面 EFG⊥平面 PDC. (2)因为 PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，不妨设 MA＝1，则 PD＝AD＝2，所 以 VP－ABCD＝1 3S 正方形 ABCD·PD＝8 3. 由于 DA⊥平面 MAB，且 PD∥MA，所以 DA 的长即为点 P 到平面 MAB 的距离．三棱锥 VP－MAB＝1 3 ×1 2 ×1×2×2＝2 3 ， 所以 VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4 [随堂即时演练] 1．在二面角αlβ的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是二面角αlβ的平面角，则必须具有的 条件是( ) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案：D 2．对于直线 m，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选 C A 与 D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选 C. 3.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边 紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否 和这个面密合就可以了，其原理是________________________． 解析：如图：因为 OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且 OB∩OC＝ O，根据线面垂直的判定定理，可得 OA⊥β.又 OA⊂α，根据面面垂直的判 定定理，可得α⊥β. 答案：面面垂直的判定定理 4．(2013·聊城高一检测)若 P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的正三角形，PA＝ 6，那么二面角 P－BC－A 的大小为________． 解析：取 BC 的中点 O，连接 OA，OP，则∠POA 为二面角 P－BC－A 的平面角，OP＝ OA＝ 3，PA＝ 6，所以△POA 为直角三角形，∠POA＝90°. 答案：90° 5．在四面体 ABCD 中，BD＝ 2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面 ABD⊥平 面 BCD. 证明：如图所示，∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形， ∴取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，则 AE⊥BD，BD⊥CE. ∴∠AEC 为二面角 A－BD－C 的平面角． 在△ABD 中， AB＝a， BE＝1 2BD＝ 2 2 a， AE＝ AB2－BE2＝ 2 2 a. 同理 CE＝ 2 2 a. 在△AEC 中，AE＝CE＝ 2 2 a，AC＝a， 由于 AC2＝AE2＋CE2， ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°， ∴平面 ABD⊥平面 BCD. [课时达标检测] 一、选择题 1．下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂 直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出 发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的 位置没有关系． 其中正确的是( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 解析：选 B 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 所以①不对，实质上它共有四个二面角；由 a，b 分别垂直于两个面，则 a，b 都垂直于二面 角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故 选 B. 2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角 ( ) A．相等 B．互补 C．不确定 D．相等或互补 答案：C 3.在四棱锥 P—ABCD 中，已知 PA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形， 则下列结论中错误的是( ) A．平面 PAB⊥平面 PAD B．平面 PAB⊥平面 PBC C．平面 PBC⊥平面 PCD D．平面 PCD⊥平面 PAD 解析：选 C 由面面垂直的判定定理知：平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PBC， 平面 PCD⊥平面 PAD，A、B、D 正确． 4.如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， 则二面角 B－PA－C 的大小为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：选 A ∵PA⊥平面 ABC，BA，CA⊂平面 ABC， ∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC 即为二面角 B－PA－C 的平面角．又∠BAC＝90°， 故选 A. 5．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1－BD－A 的 正切值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 解析：选 C 如右图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 A1O，O 为 BD 中点， ∵A1D＝A1B， ∴在△A1BD 中，A1O⊥BD. 又∵在正方形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴∠A1OA 为二面角 A1－BD－A 的平面角． 设 AA1＝1，则 AO＝ 2 2 . ∴tan∠A1OA＝ 1 2 2 ＝ 2. 二、填空题 6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个． 解析：设面外的点为 A，面内的点为 B，过点 A 作面α的垂线 l，若点 B 恰为垂足，则所 有过 AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点 B 不是垂足，则 l 与点 B 确定 唯一平面β满足α⊥β. 答案：1 个或无数个 7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析：如图所示，设正四面体 ABCD 的棱长为 1，顶点 A 在底面 BCD 上 的射影为 O，连接 DO 并延长交 BC 于点 E，连接 AE，则 E 为 BC 的中点， 故 AE⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AEO 为侧面 ABC 与底面 BCD 所成二面角的平面角． 在 Rt△AEO 中，AE＝ 3 2 ，EO＝1 3ED＝1 3· 3 2 ＝ 3 6 ， ∴cos∠AEO＝EO AE ＝1 3. 答案：1 3 8．在一个倾斜角为 60°的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成 30°角的道路上坡，行走 100 m，实际升高了________ m. 解析：如右图，构造二面角α－AB－β，在直道 CD 上取一点 E，过点 E 作 EG⊥平面β于 G，过 G 作 GF⊥AB 于 F，连接 EF，则 EF⊥AB. ∴∠EFG 为二面角α－AB－β的平面角， 即∠EFG＝60°. ∴EG＝EF·sin 60°＝CE·sin 30°·sin 60° ＝100×1 2 × 3 2 ＝25 3(m)． 答案：25 3 三、解答题 9．如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，直线 SC⊥平面 ABCD，E 是 SA 的中点，求 证：平面 EDB⊥平面 ABCD. 证明：连接 AC，交 BD 于点 F，连接 EF， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD， ∴EF⊥平面 ABCD. 又 EF⊂平面 EDB. ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 10．如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝1 2AD，E 是 AD 的中点，沿 BE 将△ABE 折 起至△A′BE 的位置，使 A′C＝A′D，求证：平面 A′BE⊥平面 BCDE. 证明：如图所示，取 CD 的中点 M，BE 的中点 N，连接 A′M，A′N， MN，则 MN∥BC. ∵AB＝1 2AD，E 是 AD 的中点， ∴AB＝AE，即 A′B＝A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D， ∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中，CD⊥MN， 又 MN∩A′M＝M， ∴CD⊥平面 A′MN.∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC 且 DE＝1 2BC，∴BE 必与 CD 相交． 又 A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N⊂平面 A′BE， ∴平面 A′BE⊥平面 BCDE. 2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(新授课) 直线与平面垂直的性质 [提出问题] 世界上的高楼大厦太多了：中国台北的国际金融中心大厦高 508 米(含 天线)，马来西亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高 451.9 米，中国广州的 中信广场大厦高 391 米(如右图) 问题 1：中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关 系？ 提示：垂直． 问题 2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知] 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言： (3)符号语言： a⊥α b⊥α ⇒a∥b. (4)作用： ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难] 对于线面垂直的性质定理的理解 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行” 关系转化的依据. 平面与平面垂直的性质 [提出问题] 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直． 问题 1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)． 问题 2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知] 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言： (3)符号语言： α⊥β α∩β＝l a⊂α a⊥l ⇒a⊥β. (4)作用： ①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难] 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直． (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 线面垂直性质定理的应用 [例 1] 如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F 为 CD 的中点． 求证：平面 BCE⊥平面 CDE. [证明] 取 CE 的中点 G，连接 FG，BG，AF. ∵F 为 CD 的中点，∴GF∥DE，且 GF＝1 2DE. ∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， ∴AB∥DE.则 GF∥AB. 又∵AB＝1 2DE，∴GF＝AB. 则四边形 GFAB 为平行四边形．于是 AF∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面 CDE，∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面 CDE. ∵BG⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 CDE. [类题通法] 1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件 和已知定理来证，或从结论出发逆推分析． 2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线 面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形 及三角形中位线的有关性质． [活学活用] 1.如图，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB ＝2a，CD＝a，F 是 BE 的中点，求证：(1)DF∥平面 ABC； (2)AF⊥BD. 证明：(1)取 AB 的中点 G，连接 FG，CG，可得 FG∥AE，FG＝1 2AE. ∵CD⊥平面 ABC，AE⊥平面 ABC， ∴CD∥AE. 又∵CD＝1 2AE. ∴FG∥CD，FG＝CD. ∵FG⊥平面 ABC， ∴四边形 CDFG 是矩形，DF∥CG. 又∵CG⊂平面 ABC，DF⊄平面 ABC， ∴DF∥平面 ABC. (2)Rt△ABE 中，AE＝2a，AB＝2a，F 为 BE 中点， ∴AF⊥BE. ∵△ABC 是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB. 又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面 ABE. 又∵AF⊂平面 ABE.∴DF⊥AF. ∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面 BDF. 又∵BD⊂平面 BDF，∴AF⊥BD. 面面垂直的性质的应用 [例 2] 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂 直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB. [证明] (1)连接 PG，由题知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点， 则 PG⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PAD， ∴PG⊥平面 ABCD. ∵BG⊂平面 ABCD， ∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则 BG⊥AD. 又∵AD∩PG＝G，且 AD，PG⊂平面 PAD.∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD. 又∵BG，PG 为平面 PBG 内两条相交直线，∴AD⊥平面 PBG. ∵PB⊂平面 PBG， ∴AD⊥PB. [类题通法] 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性 质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证 明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线． [活学活用] 2.如图所示，在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC. 求证：BC⊥AC. 证明：在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. ∵平面 PAC⊥平面 PBC，AD⊂平面 PAC，且 AD⊥PC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC， ∴AD⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC，于是有 AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面 PAC. ∵AC⊂平面 PAC，∴BC⊥AC. 线线、线面、面面垂直的综合问题 [例 3] 已知：如图，平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC，E 为垂足． (1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形． [证明] (1)在平面 ABC 内任取一点 D，作 DF⊥AC 于点 F，作 DG⊥AB 于点 G.∵平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴DF⊥平面 PAC. ∵PA⊂平面 PAC，∴DF⊥PA. 同理可证，DG⊥PA. ∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于点 H. ∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BH. 又∵AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. ∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE，∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形． [类题通法] 线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想． [活学活用] 3.(2012·平顶山高一检测)如图，在三棱锥 P－ABC 中，E，F 分别为 AC，BC 的中点． (1)求证：EF∥平面 PAB； (2)若平面 PAC⊥平面 ABC，且 PA＝PC，∠ABC＝90°. 求证：平面 PEF⊥平面 PBC. 证明：(1)∵E，F 分别为 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. 又 EF⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB， ∴EF∥平面 PAB. (2)∵PA＝PC，E 为 AC 的中点， ∴PE⊥AC. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PE⊥平面 ABC，∴PE⊥BC. 又∵F 为 BC 的中点，∴EF∥AB. ∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF. ∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面 PEF. 又∵BC⊂平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PEF. 5.垂直性质定理应用的误区 [典例] 已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直 线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 [解析] 如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对于①AD1⊂平面 AA1D1D， BD⊂平面 ABCD，AD1 与 BD 是异面直线，成角 60°，①错误；②正确． 对于③，AD1⊂平面 AA1D1D， AD1 不垂直于平面 ABCD； 对于④，过平面 AA1D1D 内点 D1，作 D1C. ∵AD⊥平面 D1DCC1，D1C⊂平面 D1DCC1， ∴AD⊥D1C. 但 D1C 不垂直于平面 ABCD， ④错误． [答案] C [易错防范] 对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与 另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内． [成功破障] 如果直线 l、m 与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和 m⊥γ，那么( ) A．α⊥γ且 l⊥m B．α⊥γ且 m∥β C．m∥β且 l⊥m D．α∥β且α⊥γ 解析：选 A 如图，平面α为平面 AD1，平面β为平面 BC1，平面γ 为平面 AC. ∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又 m⊥γ，l⊂γ， 由线面垂直的性质得 m⊥l. [随堂即时演练] 1．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析：选 D 由平面与平面垂直的有关性质可以判断出 D 项错误． 2．△ABC 所在的平面为α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直 线 l，m 的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 解析：选 C ∵直线 l⊥AB，l⊥AC，且 AB∩AC＝A， ∴l⊥平面α，同理直线 m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得 l∥m. 3．若 a，b 表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α， a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是________． 解析：由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中 b 可能满足 b⊂α，故②错误； ③中 b 可能与α相交但不垂直．也可能平行，故③不正确． 答案：①④ 4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线 m⊥α，则直线 m 与 n 的位置关系是________． 解析：由题意知 n⊥α，而 m⊥α，∴m∥n. 答案：平行 5．如图所示，正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 证明：如图所示： 连接 AB1，B1D1，B1C，BD. ∵DD1⊥平面 ABCD， AC⊂平面 ABCD，∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1⊂平面 BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C.又 B1C∩AC＝C， ∴BD1⊥平面 AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又 A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又 AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1. [课时达标检测] 一、选择题 1．若 l，m，n 表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( ) ①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n； ③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n. A．1 B．2 C．3 D．0 解析：选 C ①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n. 又 l⊥α，∴n⊥α； ②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α. 又 n⊥α，∴l∥n； ③正确，由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有 3 个． 2．如果直线 a 与平面α不垂直，那么平面α内与直线 a 垂直的直线有( ) A．0 条 B．1 条 C．无数条 D．任意条 解析：选 C 可构造图形，若 a∥α，a′⊂α，且 a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂 直于 a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线 a. 3．(2012·浙江高考)设 l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 解析：选 B 对于选项 A，两平面可能平行也可能相交；对于选项 C，直线 l 可能在β内 也可能平行于β；对于选项 D，直线 l 可能在β内或平行于β或与β相交． 4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点 A∈α，A∉l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α， m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 解析：选 D 如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l ⇒AB∥β，故选 D. 5．线段 AB 的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成 30°角，则异面直线 AB 与 l 所成的角是( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选 B 过 B 作 l 的平行线，过 A′作 l 的垂线，两线交于点 C，连接 AC，则∠ABC 即为异面直线 AB 与 l 所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°， 所以 AA′＝1 2AB，BB′＝A′C＝1 2AB，AB′＝ 3 2 AB， 所以 A′B′＝BC＝ 2 2 AB，AC＝ 2 2 AB， 由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°. 二、填空题 6．一条与平面α相交的线段，其长度为 10 cm，两端点到平面的距离分别是 2 cm,3 cm， 这条线段与平面α所成的角是________． 解析：如图：作出 AC⊥α，BD⊥α，则 AC∥BD，AC，BD 确定的平 面与平面α交于 CD，且 CD 与 AB 相交于 O，AB＝10，AC＝3，BD＝2， 则 AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°. 答案：30° 7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为 B， 直线 a⊂β，a⊥AB，则直线 a 与直线 l 的位置关系是________． 解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即 l⊂α，∴l⊥EA.同理 l⊥EB. 又 EA∩EB＝E，∴l⊥平面 EAB. ∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a. 又 a⊥AB，EB∩AB＝B， ∴a⊥平面 EAB，∴a∥l. 答案：平行 8．如图，四面体 P－ABC 中，PA＝PB＝ 13，平面 PAB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，AC ＝8，BC＝6，则 PC＝________. 解析：取 AB 的中点 E，连接 PE. ∵PA＝PB， ∴PE⊥AB. 又平面 PAB⊥平面 ABC， ∴PE⊥平面 ABC.连接 CE，所以 PE⊥CE. ∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝2 7，PE＝ PA2－AE2＝ 6， CE＝ BE2＋BC2＝ 43， PC＝ PE2＋CE2＝7. 答案：7 三、解答题 9.(2012·成都高一检测)如图：三棱锥 P－ABC 中，已知△ABC 是等腰直 角三角形，∠ABC＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°， 平面 PAC⊥平面 ABC.求证：平面 PAB⊥平面 PBC. 证明：∵平面 PAC⊥平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面 ABC.又 BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB， PA⊂平面 PAB， ∴BC⊥平面 PAB.又 BC⊂平面 PBC， ∴平面 PAB⊥平面 PBC. 10.如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方 形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA＝ PD＝ 2 2 AD. (1)求证：EF∥平面 PAD； (2)求三棱锥 C—PBD 的体积． 解：(1)证明：连接 AC，如图所示， 则 F 是 AC 的中点，又 E 为 PC 的中点，∴EF∥PA. 又∵PA⊂平面 PAD， EF⊄平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD. (2)取 AD 的中点 N，连接 PN，如图所示． ∵PA＝PD，∴PN⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PN⊂平面 PAD， ∴PN⊥平面 ABCD，即 PN 是三棱锥 P－BCD 的高． 又∵PA＝PD＝ 2 2 AD＝ 2 2 a，∴PN＝1 2AD＝1 2a， ∴VC—PBD＝VP—BCD＝1 3S△BCD·PN ＝1 3·(1 2a·a)·1 2a＝a3 12. 第二课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课) 1．直线与平面垂直的性质定理是什么？ 2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？ 3．平面与平面垂直的性质定理是什么？ 4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？ 线面、面面垂直的综合问题 [例 1] 如图，已知直线 a⊥α，直线 b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面 α∩β＝c.求证：AB∥c. [证明] 如图，过点 B 作直线 a′∥a，a′与 b 确定的平面设为γ. 因为 a′∥a，AB⊥a，所以 AB⊥a′，又 AB⊥b，a′∩b＝B，所以 AB⊥γ. 因为 b⊥β，c⊂β，所以 b⊥c.① 因为 a⊥α，c⊂α，所以 a⊥c，又 a′∥a，所以 a′⊥c.② 由①②可得 c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c. [类题通法] 判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到 特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系． [活学活用] 1.如图所示：平面α，β，直线 a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB. 求证：a⊥β. 证明：∵a∥α，过 a 作平面γ交α于 a′，则 a∥a′ ∵a⊥AB， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β＝AB， ∴a′⊥β， ∴a⊥β. 求点到面的距离 [例 2] 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝ 2，又已知 S 是△ABC 所在平面外一点，SA＝ SB＝2，SC＝ 5，点 P 是 SC 的中点，求点 P 到平面 ABC 的距离． [解] 法一：如图所示，连接 PA，PB.易知△SAC，△ACB 是直角三 角形，所以 SA⊥AC，BC⊥AC. 取 AB、AC 的中点 E、F，连接 PF，EF，PE，则 EF∥BC，PF∥SA. 所以 EF⊥AC，PF⊥AC. 因为 PF∩EF＝F，所以 AC⊥平面 PEF. 又 PE⊂平面 PEF，所以 PE⊥AC. 易证△SAC≌△SBC.因为 P 是 SC 的中点， 所以 PA＝PB. 而 E 是 AB 的中点，所以 PE⊥AB. 因为 AB∩AC＝A，所以 PE⊥平面 ABC. 从而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离． 在 Rt△AEP 中，AP＝1 2SC＝ 5 2 ，AE＝1 2AB＝ 2 2 ， 所以 PE＝ AP2－AE2＝ 5 4 －1 2 ＝ 3 2 ， 即点 P 到平面 ABC 的距离为 3 2 . 法二：如图所示，过 A 作 AE∥BC，过 B 作 BF∥AC，交 AE 于点 D， 则四边形 ACBD 为正方形． 连接 SD.因为 AC⊥SA，AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以 AC⊥平面 SDA. 所以 AC⊥SD. 又由题意，可知 BC⊥SB.因为 BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以 BC⊥平面 SDB，所以 BC⊥ SD. 又 BC∩AC＝C，于是 SD⊥平面 ACBD. 所以 SD 的长为点 S 到平面 ABC 的距离． 在 Rt△SDA 中易得 SD＝ SA2－AD2＝ 22－12＝ 3. 因为 P 为 SC 的中点，故点 P 到平面 ABC 的距离为 1 2SD＝ 3 2 . [类题通法] 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易 于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法． [活学活用] 2.如图所示，正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面边长为 2 2，侧棱 长为 4，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，EF∩BD＝G. (1)求证：平面 B1EF⊥平面 BDD1B1； (2)求点 D1 到平面 B1EF 的距离． 解：证明：(1)连接 AC.∵正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是正方形， ∴AC⊥BD.又 AC⊥DD1，且 BD∩DD1＝D， 故 AC⊥平面 BDD1B1， ∵E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，故 EF∥AC， ∴EF⊥平面 BDD1B1， ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. (2)解题流程： 折叠问题 [例 3] 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，E 是 AB 的中点， 沿 DE 将△ADE 折起． (1)如果二面角 A－DE－C 是直二面角，求证：AB＝AC； (2)如果 AB＝AC，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE. [证明] (1)过点 A 作 AM⊥DE 于点 M， 则 AM⊥平面 BCDE， ∴AM⊥BC.又 AD＝AE， ∴M 是 DE 的中点．取 BC 中点 N，连接 MN，AN，则 MN⊥BC. 又 AM⊥BC，AM∩MN＝M， ∴BC⊥平面 AMN，∴AN⊥BC. 又∵N 是 BC 中点，∴AB＝AC. (2)取 BC 的中点 N，连接 AN. ∵AB＝AC，∴AN⊥BC. 取 DE 的中点 M，连接 MN，AM，∴MN⊥BC. 又 AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面 AMN，∴AM⊥BC. 又 M 是 DE 的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE. 又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， ∴AM⊥平面 BCDE. ∵AM⊂平面 ADE，∴平面 ADE⊥平面 BCDE. [类题通法] 解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨 过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键． (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直 线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况． [活学活用] 3．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝2AB＝2a，BD＝ 3a，AC∩BD＝E， 将其沿对角线 BD 折成直二面角． 求证：(1)AB⊥平面 BCD； (2)平面 ACD⊥平面 ABD. 证明：(1)在△ABD 中，AB＝a，AD＝2a，BD＝ 3a， ∴AB2＋BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD. 又∵平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD，AB⊂平面 ABD， ∴AB⊥平面 BCD. (2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD， ∴CD⊥BD.∵AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD. 又∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面 ABD. 又∵CD⊂平面 ACD，∴平面 ACD⊥平面 ABD. [随堂即时演练] 1．如图所示，三棱锥 P－ABC 的底面在平面α上，且 AC⊥PC，平面 PAC⊥平面 PBC， 点 P，A，B 是定点，则动点 C 运动形成的图形是( ) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 解析：选 D ∵平面 PAC⊥平面 PBC，AC⊥PC，AC⊂平面 PAC，且平面 PAC∩平面 PBC ＝PC， ∴AC⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC，∴AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，∴动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆，除去 A 和 B 两点，故选 D. 2．在三棱锥 P—ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠PCA＝90°，△ABC 是边长为 4 的正 三角形，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为( ) A．2 3 B．2 7 C．4 3 D．4 7 解析：选 B 连接 CM，则由题意 PC⊥平面 ABC，可得 PC⊥CM， 所以 PM＝ PC2＋CM2，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可， 在△ABC 中，当 CM⊥AB 时 CM 有最小值，此时有 CM＝4× 3 2 ＝2 3， 所以 PM 的最小值为 2 7. 3．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为 BA，BC，BD，教室内一点 P 到 三墙面α，β，γ的距离分别为 3 m，4 m,1 m，则 P 与墙角 B 的距离为________ m. 解析：过点 P 向各个面作垂线，构成以 BP 为体对角线的长方体． |BP|＝ 32＋42＋1＝ 26. 答案： 26 4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且 AA′ ＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥 A—A′BB′的体积 V＝________. 解析：由题意 AA1⊥面 A′BB′，BB′⊥面 A′B′A，则三棱锥 A—A′BB′中，AA′ 为高，底面△A′BB′为 Rt△. ∴VA－A′BB′＝1 3AA′·S△A′BB′＝1 3 ×3×1 2 ×2×4＝4. 答案：4 5．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩γ＝a，β∩γ＝b，且 a∥b，求证：α∥β. 证明：在平面γ内作直线 c⊥a. ∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴c⊥α. ∵a∥b，∴c⊥b.又∵β⊥γ，β∩γ＝b， ∴c⊥β，∴α∥β. [课时达标检测] 一、选择题 1．已知 l，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面α与直线 m 垂直，则直线 n 与 平面α的关系是( ) A．n∥α B．n∥α或 n⊂α C．n⊂α或 n 与α不平行 D．n⊂α 解析：选 A ∵l⊂α且 l 与 n 异面，∴n⊄α. 又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α. 2．如图所示，在正四面体 P－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四 个结论不成立的是( ) A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE C．平面 PDF⊥平面 ABC D．平面 PAE⊥平面 ABC 解析：选 C 由题意知 BC∥DF， ∴BC∥平面 PDF. ∵P－ABC 为正四面体， ∴BC⊥PA，AE⊥PC. ∴BC⊥平面 PAE，DF⊥平面 PAE. ∵DF⊂平面 ABC， ∴平面 PAE⊥平面 ABC. 3．已知直线 m，n，平面α，β，给出下列命题： ①若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若 m∥α，m∥β，则α∥β；③若 m⊥α，m∥β，则α⊥β； ④若异面直线 m，n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直．其中正确的命题是( ) A．②③ B．①③ C．②④ D．③④ 解析：选 D 对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不 正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选 D. 4．如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC，动点 P∈l， 当点 P 逐渐远离点 A 时，∠PCB 的大小( ) A．变大 B．变小 C．不变 D．有时变大有时变小 解析：选 C 由于 BC⊥CA，l⊥平面 ABC， ∴BC⊥l，故 BC⊥平面 ACP， ∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选 C. 5．如图所示，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB， 则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面 PAB⊥平面 PBC C．直线 BC∥平面 PAE D．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 解析：选 D ∵PA⊥平面 ABC， ∴∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角． ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴AD＝2AB，即 tan∠ADP＝PA AD ＝2AB 2AB ＝1， ∴直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°，选 D. 二、填空题 6．α，β是两个不同的平面，m，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β； ④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ________. 解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④ ⇒①为真．∴应填“若①③④则②”，或“若②③④则①”． 答案：若①③④则②(或若②③④则①) 7．如图所示，沿直角三角形 ABC 的中位线 DE 将平面 ADE 折起，使得平面 ADE⊥平面 BCDE，得到四棱锥 A－BCDE.则平面 ABC 与平面 ACD 的关系是________． 解析：∵AD⊥DE，平面 ADE⊥平面 BCDE，且平面 ADE∩平面 BCDE＝DE，∴AD⊥平 面 BCDE.又 BC⊂平面 BCDE， ∴AD⊥BC.又 BC⊥CD，CD∩AD＝D， ∴BC⊥平面 ACD，又 BC⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 ACD. 答案：平面 ABC⊥平面 ACD 8．如图所示，平面 ABC⊥平面 ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，则 二面角 C－BD－A 的平面角的正切值为________． 解析：过 C 点作 CO⊥AB，垂足为 O，作 OH⊥BD， 垂足为 H，连接 CH. ∵平面 ABC⊥平面 ABD，交线为 AB. ∴CO⊥平面 ABD，∴CO⊥BD. 又∵OH⊥BD，OH∩CO＝O， ∴BD⊥平面 COH，∴BD⊥CH. ∴∠CHO 为二面角 C－BD－A 的平面角． 设 CA＝CB＝a，则 AB＝BD＝AD＝ 2a，CO＝ 2 2 a. ∴OH＝1 2 × 3 2 × 2a＝ 6 4 a. ∴tan∠CHO＝CO OH ＝ 2 2 a 6 4 a ＝2 3 3 . 答案：2 3 3 三、解答题 9．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三 角形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求四棱锥 P－ABCD 的体积． 解：(1)证明：在△ABD 中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4 5， ∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， BD⊂平面 ABCD， ∴BD⊥平面 PAD.又 BD⊂平面 MBD， ∴平面 MBD⊥平面 PAD. (2)过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PO⊥平面 ABCD， 即 PO 为四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 上的高． 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形， ∴PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD 中， AB∥DC，AB＝2DC， ∴四边形 ABCD 为梯形． 在 Rt△ADB 中，斜边 AB 边上的高为4×8 4 5 ＝8 5 5 ，即梯形的高为8 5 5 . ∴S 四边形 ABCD＝2 5＋4 5 2 ×8 5 5 ＝24. ∴VP－ABCD＝1 3 ×24×2 3＝16 3. 10．如图，AE C 是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为 A C 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED，FB＝ 5a. (1)证明：EB⊥FD； (2)求点 B 到平面 FED 的距离． 解：(1)证明：∵FC⊥平面 BED，BE⊂平面 BED，∴EB⊥FC. 又点 E 为 A C 的中点，B 为直径 AC 的中点，∴EB⊥BC. 又∵FC∩BC＝C，∴EB⊥平面 FBD. ∵FD⊂平面 FBD，∴EB⊥FD. (2)如图，在平面 BEC 内过 C 作 CH⊥ED，连接 FH.则由 FC⊥平面 BED 知，ED⊥平面 FCH. ∵Rt△DHC∽Rt△DBE， ∴DC DE ＝CH BE. 在 Rt△DBE 中， DE＝ BE2＋BD2＝ BE2＋2BC2＝ 5a， ∴CH＝DC·BE DE ＝ a·a 5a ＝ 5 5 a. ∵FB＝ 5a，BC＝a，∴FC＝2a. 在平面 FCH 内过 C 作 CK⊥FH，则 CK⊥平面 FED. ∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋a2 5 ＝21 5 a2， ∴FH＝ 105 5 a. ∴CK＝FC·CH FH ＝ 2a· 5 5 a 105 5 a ＝2 21 21 a. ∵C 是 BD 的中点， ∴B 到平面 FED 的距离为 2CK＝4 21 21 a. 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1．下列说法不正确的是( ) A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B．同一平面的两条垂线一定共面 C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内 D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 解析：选 D A 若一组对边平行就决定了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的 四边形一定是平行四边形，正确；B 中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C 中这些 直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知 D 不正确． 2．(2012·济南高一检测)下列说法正确的是( ) A．都与直线 a 相交的两条直线确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个相交平面的交线是一条线段 解析：选 C 当这两条直线异面时不能确定平面，A 错误．两条直线异面，则不能确定 平面，B 错误．两个相交平面的交线是一条直线，D 错误． 3.如图在四面体中，若直线 EF 和 GH 相交，则它们的交点一定 ( ) A．在直线 DB 上 B．在直线 AB 上 C．在直线 CB 上 D．都不对 解析：选 A ∵EF 与 GH 相交，设 EF∩GH＝M， ∴M∈EF，M∈GH. 又∵EF⊂面 ABD，GH⊂面 BCD，∴M∈面 ABD，M∈面 BCD，又∵面 ABD∩面 BCD ＝BD，∴M∈BD，故选 A. 4．如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若 E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于 ( ) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 解析：选 B CE⊂平面 ACC1A1，而 BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面 ACC1A1，∴BD ⊥CE. 5．(2013·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题： ①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中为真命题的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 解析：选 D ①错，两个平面相交时，也有无数个公共点．③错，比如 a⊥α，b⊂α，c ⊂α，显然有 a⊥b，a⊥c，但 b 与 c 也可能相交．故②④正确． 6．正方体 AC1 中，E，F 分别是 DD1，BD 的中点，则直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值是 ( ) A.1 2 B. 3 2 C. 6 3 D. 6 2 解析：选 C 连接 BD1，则 BD1∥EF，∠BD1A 是直线 AD1 与 EF 所 成的角．∵AB⊥AD1， ∴cos∠BD1A＝AD1 BD1 ＝ 6 3 . 7．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 2，其余各棱长都为 1， 则二面角 A－CD－B 的余弦值为( ) A.1 2 B.1 3 C. 3 3 D. 2 3 解析：选 C 取 AC 的中点 E，取 CD 的中点 F，则 EF＝1 2 ，BE＝ 2 2 ， BF＝ 3 2 ，∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝ 3 3 . 8．(2013·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l， m，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则 l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n， l∥γ，则 m∥n.其中正确的说法个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知 ②正确；借助于三棱柱可知③正确． 9．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论 正确的是( ) A．平面 ABD⊥平面 ABC B．平面 ADC⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDC D．平面 ADC⊥平面 ABC 解析：选 D 易知：△BCD 中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°. 又平面 ABD⊥平面 BCD，而 CD⊥BD，∴CD⊥平面 ABD，∴AB⊥CD， 而 AB⊥AD，∴AB⊥平面 ACD，∴平面 ABC⊥平面 ACD. 10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在 l 上取线段 AB＝4，AC、BD 分别在平面α和平面 β内，且 AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则 CD 的长度( ) A．13 B. 151 C．12 3 D．15 解析：选 A 如图，连 AD. ∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α. 在 Rt△ABD 中， AD＝ AB2＋BD2＝ 42＋122＝ 160. 在 Rt△CAD 中，CD＝ AC2＋AD2＝ 32＋160＝13. 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11．如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为正确的即 可)． 答案：BM⊥PC(其他合理即可) 12．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，MN 在平面 BCC1B1 内，MN⊥BC 于 M，则 MN 与 AB 的位置关系是________． 解析：由平面 BCC1B1⊥面 ABCD 知 MN⊥面 ABCD. ∴MN⊥AB. 答案：垂直 13．(2012·天津高一检测)在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF＝ 3，则异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为________． 解析：取 AC 中点 M，连接 EM，FM，F 为 DC 中点，M 为 AC 中点，∴FM∥AD，且 FM＝1 2AD＝1，同理 EM∥BC 且 EM＝1 2BC＝ 1. △EMF 中作 MN⊥EF 于 N. Rt△MNE 中，EM＝1，EN＝ 3 2 ， ∴sin∠EMN＝ 3 2 ，∠EMN＝60°，∴∠EMF＝120°， ∴AD 与 BC 所成角为 60°. 答案：60° 14．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A—BD—C，有如下三个结论． ①AC⊥BD； ②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面 BCD 成 60°的角； 说法正确的命题序号是________． 解析：如图所示，①取 BD 中点 E，连接 AE，CE，则 BD⊥AE，BD⊥CE，而 AE∩CE ＝E，∴BD⊥平面 AEC，AC⊂平面 AEC，故 AC⊥BD，故①正确． ②设正方形的边长为 a， 则 AE＝CE＝ 2 2 a. 由①知∠AEC＝90°是直二面角 A—BD—C 的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE⊥平面 BCD，故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角，而∠ABE＝ 45°，所以③不正确． 答案：①② 三、解答题(共 4 小题，共 50 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 12 分)(2012·宁德高一检测)如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC， AB＝BC＝1，PA⊥平面 ABCD，CD⊥PC， (1)证明：CD⊥平面 PAC； (2)若 E 为 AD 的中点，求证：CE∥平面 PAB. 证明：(1)∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.又 CD⊥PC，PA∩PC＝P， ∴CD⊥平面 PAC. (2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1， ∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2. ∵CD⊥平面 PAC，∴CD⊥CA， ∴AD＝2.又 E 为 AD 的中点，∴AE＝BC＝1，∴四边形 ABCE 是正方形， ∴CE∥AB.又 AB⊂平面 PAB，CE⊄平面 PAB， ∴CE∥平面 PAB. 16．(本小题满分 12 分)(2012·江西高考)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4 2，DE＝4.现将△ADE，△ CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG. (1)求证：平面 DEG⊥平面 CFG； (2)求多面体 CDEFG 的体积． 解：(1)证明：由已知可得 AE＝3，BF＝4，则折叠完后 EG＝3，GF＝4，又因为 EF＝5， 所以可得 EG⊥GF.又因为 CF⊥底面 EGF，可得 CF⊥EG，即 EG⊥平面 CFG，所以平面 DEG ⊥平面 CFG. (2)过点 G 作 GO 垂直于 EF，GO 即为四棱锥 G－EFCD 的高，所以所求体积为 1 3S 长方形 DEFC·GO＝1 3 ×4×5×12 5 ＝16. 17．(本小题满分 12 分)如图所示，正方体的棱长为 1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO 与 A′C′所成角的度数； (2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A′C′∥AC， ∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB，AB⊥平面 BC′， ∴OC⊥AB.又 AB∩BO＝B， ∴OC⊥平面 ABO. 又 OA⊂平面 ABO，∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中，OC＝ 2 2 ，AC＝ 2， sin∠OAC＝OC AC ＝1 2 ， ∴∠OAC＝30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°. (2)如图所示，作 OE⊥BC 于 E，连接 AE. ∵平面 BC′⊥平面 ABCD， ∴OE⊥平面 ABCD，∠OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角． 在 Rt△OAE 中，OE＝1 2 ， AE＝ 12＋ 1 2 2＝ 5 2 ， ∴tan∠OAE＝OE AE ＝ 5 5 . (3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O. ∴OC⊥平面 AOB. 又∵OC⊂平面 AOC， ∴平面 AOB⊥平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数为 90°. 18．(本小题满分 14 分)如图所示，在四棱台 ABCD－A1B1C1D1 中，D1D⊥平面 ABCD， 底面 ABCD 是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°. (1)证明：AA1⊥BD； (2)证明：CC1∥平面 A1BD. 证明：(1)∵AB＝2AD，∠BAD＝60°，∴BD⊥AD. 又∵D1D⊥平面 ABCD，∴D1D⊥DB. 又 AD∥D1D＝D，∴BD⊥平面 A1ADD1， ∴AA1⊥BD. (2)如图，连接 AC，A1C1，AC 交 BD 于 O 点，连接 A1O. ∵AB＝2AD，AD＝AB1， ∴A1B1＝1 2AB. ∵四棱台底面 ABCD 是平行四边形，∴A1C1 綊 1 2AC，∴A1C1 綊 OC. ∴四边形 A1OCC1 为平行四边形，∴C1C∥A1O， 又 A1O⊂平面 A1BD，C1C⊄平面 A1BD， ∴CC1∥平面 A1BD.