【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第1节空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第1节空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

第七章　立体几何 [深研高考·备考导航]　　　　　　　　　　　　　　　　　　 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情] 考点 2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年 三视图直 观图及几 何体的表 面积体积 11,6 分(理) 14,4 分(理) 9,6 分(文) 2,5 分(理) 2,5 分(文) 3,5 分(理) 3,5 分(文) 12,4 分(理) 5,5 分(文) 11,4 分(理) 3,5 分(文) 空间点线 面的位置 关系 2,5 分(理) 14,4 分(理) 17(1)，7 分(理) 2,5 分(文) 18(1)，7 分(文) 13,4 分(理) 17(1)，7 分 (理) 4,5 分(文) 18(1)，7 分 (文) 17,4 分(理) 20(1)，7 分 (理) 6,5 分(文) 20,8 分(文) 10,5 分(理) 20(2)，9 分 (文) 4,5 分(文) 5,5 分(文) 10,5 分(理) 5,5 分(文) 20(1)，7 分 (理) 20，约 8 分 (文) 空间向量 及其应用、 空间角 17(2)，8 分(理) 14,4 分(文) 18(2)，8 分(文) 8,5 分(理) 7,5 分(文) 18(2)，8 分 (文) 20(2)，8 分 (理) 20(2)，8 分 (文) 20(2)，9 分 (理) 20(2)，5 分 (文) 20(2)，7 分 (理) 20(2)，7 分 (文) [重点关注] 分析近 5 年浙江卷高考试题发现本章主要考查简单几何体的三视图及表面 积、体积、空间中线、面的平行垂直关系、突出对空间想象能力，逻辑推理能力 的考查、分值大约在 20 分左右． 第一节　空间几何体的结构及其三视图和 直观图 1．简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边 形． 2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正 上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为 45° 或 135°，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴 和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变 为原来的一半． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴， 且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.(　　) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)如图 7­1­1，长方体 ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分， 其中 EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　) 图 7­1­1 A．棱台　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 C　[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．] 3．如图 7­1­2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的 三视图，则这个几何体是(　　) 图 7­1­2 A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 B　[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形， 经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．] 4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正 视图与俯视图如图 7­1­3 所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　) 图 7­1­3 B　[由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①， 故其侧(左)视图为图②.] 5．以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所 得圆柱的侧面积等于________. 【导学号：51062215】 2π　[由题意得圆柱的底面半径 r＝1，母线 l＝1， 所以圆柱的侧面积 S＝2πrl＝2π.] 空间几何体的结构特征 　(1)下列说法正确的是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)以下命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0　　　 B．1 C．2 D．3 (1)B　(2)B　[(1)如图①所示，可知 A 错．如图②，当 PD⊥底面 ABCD，且 四边形 ABCD 为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B 正确． ①　　　　　　② 根据棱台的定义，可知 C，D 不正确． (2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有 平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．] [规律方法]　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何 体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只 需举一个反例即可． 2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴 截面中各元素的关系． 3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还 台为锥”的解题策略． [变式训练 1]　下列结论正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 D　[如图①知，A 不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的 几何体不是旋转体，则 B 不正确． ①　　　　　　　② C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图 形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． 由母线的概念知，选项 D 正确．] 空间几何体的三视图 ☞ 角度 1　由空间几何体的直观图判断三视图 　一几何体的直观图如图 7­1­4，下列给出的四个俯视图中正确的是 (　　) 图 7­1­4 A　　　　 B　　　　　C　　　　　D B　[该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体， 且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射 影距左右两边距离相等，因此选项 B 适合．] ☞ 角度 2　已知三视图，判断几何体 　(1)某四棱锥的三视图如图 7­1­5 所示，该四棱锥最长棱棱长为 (　　) 图 7­1­5 A．1 B. 2 C. 3 D．2 (2)如图 7­1­6 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为(　　) 图 7­1­6 A．20π B．24π C．28π D．32π (1)C　(2)C　[(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中 PA⊥平面 ABCD. 又 PA＝AD＝AB＝1，且底面 ABCD 是正方形， 所以 PC 为最长棱． 连接 AC，则 PC＝ AC2＋PA2＝ ( 2)2＋1＝ 3. (2)由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长(高)为 4，所以圆柱的侧面积 为 2π×2×4＝16π，底面积为 π·22＝4π；圆锥的底面直径为 4，高为 2 3，所以 圆锥的母线长为 (2 3)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为 π×2×4＝8π.所以该几何 体的表面积为 S＝16π＋4π＋8π＝28π.] [规律方法]　1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高， 正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认． 2．根据三视图还原几何体． (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉． (2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图． (3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的 位置关系及相关数据． 易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实 线和虚线的不同. 空间几何体的直观图 　(2017·舟山模拟)已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为(　　) A. 3 4 a2　　 B. 3 8 a2　　 C. 6 8 a2　　 D. 6 16a2 D　[如图①②所示的实际图形和直观图， 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝1 2OC＝ 3 4 a， 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 则 C′D′＝ 2 2 O′C′＝ 6 8 a， 所以 S△A′B′C′＝1 2A′B′·C′D′＝1 2 ×a× 6 8 a＝ 6 16a2.] [规律方法]　1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用 “斜”(两坐标轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图 形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量． 2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关 系：S 直观图＝ 2 4 S 原图形． [变式训练 2]　已知等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′ 的面积为________. 【导学号：51062216】 2 2 　[如图所示： 因为 OE＝ ( 2)2－1＝1，所以 O′E′＝1 2 ，E′F＝ 2 4 ， 则直观图 A′B′C′D′的面积 S′＝1＋3 2 × 2 4 ＝ 2 2 .] [思想与方法] 1．画三视图的三个原则： (1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”． (2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方． (3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线 画出． 2．棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得 到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数 学思想． [易错与防范] 1．确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图 也不同． 2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单 几何体组成的，然后再画其三视图，易忽视交线的位置，实线与虚线的不同致 误． 课时分层训练(三十六) 空间几何体的结构及其三视图和直观图 A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．下列叙述中，正确的个数为(　　) ①在棱柱中，各侧面都是平行四边形； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ③有两个面互相平行，且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台． A．0　　 B．1 C．2 D．3 C　[由棱柱的结构特征可知①正确．由圆锥母线的定义可知②正确．棱台 的定义是棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，各侧棱延长线相交于一 点才行，故③错．] 2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　) 【导学号：51062217】 A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 A　[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角 形，而圆柱的正视图不可能为三角形．] 3．(2017·嘉兴质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图 7­1­7 所示，则该三 棱锥的侧视图可能为(　　) 图 7­1­7 A　　　　B　　　　C　　　　　D D　[由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD⊥平面 BCD， ∴该三棱锥的侧视图可能为选项 D.] 4．一个几何体的三视图如图 7­1­8 所示，则该几何体的表面积为(　　) 图 7­1­8 A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 D　[由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示． 表面积为 2×2＋2×1 2 ×π×12＋π×1×2＝4＋3π.] 5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图 7­1­9，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　) 图 7­1­9 A.1 8 　　　　　　　　B.1 7 C.1 6 　　　　　　　　D.1 5 D　[由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个 “大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设 正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为 V1＝1 3 ×1 2 ×1×1×1＝1 6 ， 剩余部分的体积 V2＝13－1 6 ＝5 6. 所以V1 V2 ＝ 1 6 5 6 ＝1 5 ，故选 D.] 二、填空题 6．(2017·浙江五校联考)一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画 出它的直观图 O′A′B′C′如图 7­1­10 所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的 正方形，则原平面四边形 OABC 的面积为________． 图 7­1­10 2 2　[因为直观图的面积是原图形面积的 2 4 倍，且直观图的面积为 1，所以 原图形的面积为 2 2.] 7．如图 7­1­11 所示，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，则三棱锥 P­ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________． 图 7­1­11 1　[三棱锥 P­ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们 的面积相等，面积比值为 1.] 8．某三棱锥的三视图如图 7­1­12 所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ________. 【导学号：51062218】 图 7­1­12 2 2　[由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中 PA⊥平面 ABC，M 为 AC 的中点，且 BM⊥AC，故该三棱锥的 最长棱为 PC. 在 Rt△PAC 中， PC＝ PA2＋AC2＝ 22＋22＝2 2.] 三、解答题 9．某几何体的三视图如图 7­1­13 所示． 图 7­1­13 (1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图. 【导学号：51062219】 [解]　(1)该几何体是一个正方体切掉两个1 4 圆柱后的几何体.6 分 (2)直观图如图所示.15 分 10．如图 7­1­14，在四棱锥 P­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直 角三角形． 图 7­1­14 (1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图 的面积； (2)求 PA. [解]　(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的 正方形，如图，其面积为 36 cm2.6 分 (2)由侧视图可求得 PD＝ PC2＋CD2＝ 62＋62＝6 2.8 分 由正视图可知 AD＝6，且 AD⊥PD，所以在 Rt△APD 中，PA＝ PD2＋AD2＝ (6 2)2＋62＝6 3 cm.15 分 B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．在如图 7­1­15 所示的空间直角坐标系 O­xyz 中，一个四面体的顶点坐标 分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面 体的正视图和俯视图分别为(　　) 图 7­1­15 A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② D　[如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱 锥的正视图为④，俯视图为②. ] 2．(2017·杭州学军中学质检)如图 7­1­16 是一个几何体的三视图，则该几何 体任意两个顶点间距离的最大值是(　　) 【导学号：51062220】 图 7­1­16 A．4 B．5 C．3 2 D．3 3 D　[ 由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知 AF 最 长，且 AF＝ BF2＋AB2＝3 3.] 3．某四棱柱的三视图如图 7­1­17 所示，则该四棱柱的体积为________． 图 7­1­17 3 2 　[由题中三视图可画出长为 2、宽为 1、高为 1 的长方体，将该几何体还 原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱 ABCD­A′B′C′D′. 故该四棱柱的体积 V＝Sh＝1 2 ×(1＋2)×1×1＝3 2.]