2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 文科数学
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3
至 9 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦
干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。
一、题共 8 小题，第小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
（1）若集合 A={x|-2≤x≤3}≤3,B={x|x<-1 或 x>4},则集合 A∩B 等于
（A）{x|x≤3 或 x>4} （B）{x|－1
b>c （B）b>a>c
（C）c>a>b （D）b>c>a
（3）“双黄线的方程为 1169
22
yx ”是“双曲线的准线方程为 x=
5
9 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）即不充分也不必要条件
（4）已知△ABC 中，a= 2 ,b= 3 ,B=60°,那么角 A 等于
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°
（5）函数 f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为
（A）f--1(x)=1+ 1x (x>1) （B）f--1(x)=1- 1x (x>1)
（A）f--1(x)=1+ 1x (x≥1) （A）f--1(x)=1- 1x (x≥1)
x-y+1≥0,
（6）若实数 x，y 满足 x+y≥0, 则 z=x+2y 的最小值是
x≤0,
(A)0 (B)
2
1 (C) 1 (D)2
（7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列｛bn｝的前 5 项和等
于
(A)30 （B）45
(C)90 (D)186
（8）如图，动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，过点 P 作垂直平面 BB1D1D 的
直线，与正方体表面相交于 M、N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象大致是
第Ⅱ卷（共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。
(9) 若 角 α 的 终 边 经 过 点 P(1,-2), 则 tan 2 α 的 值
为 .
(10)不等式 12
1
x
x 的解集是 .
(11)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且｜a｜=|b|=4,那么
a·b 的值为 .
(12)若 5
3
2 )1(
x
x 展开式的各项数之和为 ;
各项系数之和为 .（用数字作答）
(13)如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），
则 f(f(0))= ; 函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′（1）= .
(14)已知函数 f(x)=x2=-cos x,对于［－
22
ππ ， ］上的任意 x1,x2,有如下条件：
1 x1>x2; ②x21>x22; ③|x1|>x2.
其中能使 f(x1)> f(x2)恒成立的条件序号是 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共 13 分）
已知函数 2( ) sin 3sin sin( )( 0)2f x x x x 的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间[0， 2
3
]上的取值范围.
（16）（本小题共 14 分）
如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角 B-AP-C 的大小.
（17）（本小题共 13 分）
已知函数 3 2( ) 3 ( 0), ( ) ( ) 2f x x ax bx c b g x f x 且 是奇函数.
（Ⅰ）求 a,c 的值；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间.
（18）（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有
一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
（19）（本小题共 14 分）
已知△ABC 的顶点 A，B 在椭圆 2 23 4x y 上，C 在直线 l:y=x+2 上，且 AB∥l.
（Ⅰ）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及△ABC 的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程.
（20）（本小题共 13 分）
数列{an}满足 2
1 11, ( ) ( 1,2, ), .n na a n n a n 是常数
（Ⅰ）当 a2=-1 时，求λ及 a3 的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数 m,当 n＞m 时总有 an＜0.
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）A （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
3
（10）|x|x＜-2|
（11）-8 （12）10 32
（13）2 -2 （14）②
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ） 1 cos2 3( ) sin 22 2
xf x x
= 3 1 1sin cos22 2 2x x
= 1sin(2 ) .6 2x
因为函数 f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，
所以 2
2
解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1( ) sin(2 ) .6 2f x x
因为 0≤x≤ 2
3
，
所以 1
2
≤ 2 6x ≤ 7 .6
所以 1
2
≤ (2 )6x ≤1.
因此 0≤ 1sin(2 )6 2x ≤ 3
2
，即 f(x)的取值范围为[0， 3
2 ]
（16）（共 14 分）
解法一：
（Ⅰ）取 AB 中点 D，连结 PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面 PCD.
∵PC 平面 PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又 PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，
且 AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角.
在△BCE 中，∠BCE=90°,BC=2,BE= 62
3 AB ，
∴sin∠BEC= .3
6
BE
BC
∴二面角 B-AP-C 的大小为 aresin .3
6
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又 PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面 ABC.
∵AB 平面 ABC，
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.
则 C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设 P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2 2 ，
∴t=2,P(0,0,2).
取 AP 中点 E，连结 BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角.
∵E(0,1,1), ),1,1,2(),1,1,0( EBEC
∴cos∠BEC= .3
3
62
2
EBEC
EBEC
∴二面角 B-AP-C 的大小为 arccos .3
3
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数，
所以，对任意的 x∈R,g(-x)=-g(x),即 f(-x)- 2=-f(x)+2.
又 f(x)=x3+ax2+3bx+c,
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以
.22
,
cc
aa
解得 a=0，c＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)=x3+3bx+2.
所以 f′(x)=3x2+3b(b≠0).
当 b＜0 时，由 f′(x)=0 得 x=± .b
x 变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x (-∞,- b ) - b (- b , b ) b ( b ,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
所以，当 b＜0 时，函数 f (x)在（-∞，- b ）上单调递增，在（- b ， b ）上单调
递减，在（ b ，+∞）上单调递增.
当 b＞0 时，f′(x)＞0.所以函数 f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.
（18）（共 13 分）
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA，那么
P（EA）= .40
1
4
4
2
3
3
3
AC
A
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 .40
1
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件 E，那么
P（E）＝ .10
1
4
4
2
3
4
4
AC
A
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P（ E ）=1-P(E)= .10
9
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为 AB∥l，且 AB 边通过点（0，0），所以 AB 所在直线的方程为 y=x.
设 A，B 两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由
2 23 4,x y
y x
得 1,x
所以 1 22 2 2.AB x x
又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离，
所以 12. 2.2ABCh S AB h
（Ⅱ）设 AB 所在直线的方程为 y=x+m.
由
2 23 4,x y
y x m
得 2 24 6 3 4 0.x mx m
因为 A，B 在椭圆上，
所以 212 64 0.m ＞
设 A，B 两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.
则
2
1 2 1 2
3 3 4, ,2 4
m mx x x x
所以
2
1 2
32 62 .2
mAB x x
又因为 BC 的长等于点（0,m）到直线 l 的距离，即 2 .
2
mBC
所以 2 2 2 2 22 10 ( 1) 11.AC AB BC m m m
所以当 m=-1 时，AC 边最长.（这时 12 64 0 ＞ ）
此时 AB 所在直线的方程为 y=x-1.
(20)（共 13 分）
解：（Ⅰ）由于 2
1 ( ) ( 1,2, ),n na n n a n 且 a1=1，
所以当 a2=-1 时，得 1 2 ,
故 3.
从而 2
3 (2 2 3) ( 1) 3.a
（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
由 a1=1， 2
1 ( )n na n n a 得
2 3 42 , (6 )(2 ), (12 )(6 )(2 ).a a a
若存在 ，使｛an｝为等差数列，则 a3-a2=a2-a1,即
(5 )(2 ) 1 ，
解得 =3.
于是 2 1 4 31 2, (11 )(6 )(2 ) 24.a a a a
这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意 ，{an}都不可能是等差数列.
（ Ⅲ ） 记 2 ( 1,2, ),nb n n n 根 据 题 意 可 知 ， b1 ＜ 0 且 0nb ， 即 ＞ 2 且
2 (n n n N*)，这时总存在 0n N*，满足：当 n≥n0 时，bn＞0；当 n≤n0-1
时，bn＜0.
所以由 an+1=bnan 及 a1=1＞0 可知，若 n0 为偶数，则
0
0na ＜ ，从而当 n＞n0
时 an＜0；若 n0 为奇数，则
0
0na ＞ ，从而当 n＞n0 时 an＞0.
因此“存在 mN*，当 n＞m 时总有 an＜0”的充分必要条件是：no 为偶数，
记 no=2k(k=1,2, …)，则 满足
2
2
2
2 1
(2 ) 2 0
(2 1) 2 1 0.
k
k
b k k
b k k
＞ ，
＜
故 的取值范围是 24 2k k ＜ ＜4k2+2k(kN*).
