高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评22 word版含答案

高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评22 word版含答案

学业分层测评（二十二） (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( ) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 【解析】 方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0， 可化为 x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)． 【答案】 A 2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的圆过原点且圆心在直线 y＝x 上的条件 是( ) A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0 C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0 【解析】 ∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在 y＝x 上，∴D＝E≠0. 【答案】 D 3．由方程 x2＋y2＋x＋(m－1)y＋1 2m2＝0 所确定的圆中，最大面积是( ) A. 3 2 π B.3 4π C．3π D．不存在 【解析】 所给圆的半径为 r＝ 1＋m－12－2m2 2 ＝1 2 －m＋12＋3. 所以当 m＝－1 时， 半径 r 取最大值 3 2 ，此时最大面积是3 4π. 【答案】 B 4．若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为 2 2 ，则 a 的值 为( ) A．－2 或 2 B.1 2 或3 2 C．2 或 0 D．－2 或 0 【解析】 把圆 x2＋y2－2x－4y＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此 圆圆心为(1,2)，圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为 2 2 ，则 2 2 ＝|1－2＋a| 2 ，解得 a＝2， 或 a＝0.故选 C. 【答案】 C 5．(2016·惠州高一检测)若 Rt△ABC 的斜边的两端点 A，B 的坐标分别为(－3,0) 和(7,0)，则直角顶点 C 的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25 C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25 【解析】 线段 AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点， 所以 C 到点(2,0)的距离为1 2|AB|＝5，所以点 C(x，y)满足 x－22＋y2＝5(y≠0)， 即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)． 【答案】 C 二、填空题 6．已知圆 C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线 l：x－y ＋2＝0 的对称点都在圆 C 上，则 a＝________. 【导学号：09960136】 【解析】 由题意可得圆 C 的圆心 －1，－a 2 在直线 x－y＋2＝0 上，将 －1，－a 2 代入直线方程得－1－ －a 2 ＋2＝0，解得 a＝－2. 【答案】 －2 7．当动点 P 在圆 x2＋y2＝2 上运动时，它与定点 A(3,1)连线中点 Q 的轨迹方 程为________． 【解析】 设 Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得 x＝a＋3 2 ， y＝b＋1 2 ， 所以 a＝2x－3， b＝2y－1. 点 P(2x－3,2y－1)满足圆 x2＋y2＝2 的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2， 化简得 x－3 2 2＋ y－1 2 2＝1 2 ，即为点 Q 的轨迹方程． 【答案】 x－3 2 2＋ y－1 2 2＝1 2 三、解答题 8．(2016·吉林高一检测)已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y －1＝0 上，且圆心在第二象限，半径为 2，求圆的一般方程． 【解】 圆心 C －D 2 ，－E 2 ， 因为圆心在直线 x＋y－1＝0 上， 所以－D 2 －E 2 －1＝0，即 D＋E＝－2， ① 又 r＝ D2＋E2－12 2 ＝ 2，所以 D2＋E2＝20， ② 由①②可得 D＝2， E＝－4 或 D＝－4， E＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即 D>0， 所以 D＝2， E＝－4， 所以圆的一般方程为： x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 9．设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为两边作▱ MONP，求点 P 的轨迹方程． 【解】 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为 x 2 ，y 2 ，线段 MN 的中 点坐标为 x0－3 2 ，y0＋4 2 . 因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2 ＝x0－3 2 ，y 2 ＝y0＋4 2 ， 则有 x0＝x＋3， y0＝y－4， 即 N(x＋3，y－4)． 又点 N 在圆 x2＋y2＝4 上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此，点 P 的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但应除去两点 －9 5 ，12 5 和 －21 5 ，28 5 . [自我挑战] 10．若圆 x2＋y2－4x＋2y＋m＝0 与 y 轴交于 A、B 两点，且∠ACB＝90°(其中 C 为已知圆的圆心)，则实数 m 等于( ) 【导学号：09960137】 A．1 B．－3 C．0 D．2 【解析】 设 A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令 x＝0 得 y2＋2y＋m＝0，y1， y2 即为该方程的两根， 由根与系数的关系及判别式得 Δ＝4－4m>0， y1＋y2＝－2， y1·y2＝m， 又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知 kAC·kBC＝－1， 即y1＋1 －2 ·y2＋1 －2 ＝－1， 即 y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4， 代入上面的结果得 m－2＋1＝－4， ∴m＝－3，符合 m<1 的条件． 【答案】 B 11．已知圆的方程是 x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论 m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解】 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0 可化为[x＋(m－1)]2＋(y －2m)2＝9， ∴圆心为(1－m,2m)，半径 r＝3. (2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值 3，且圆心(a，b)满足方程组 a＝1－m， b＝2m， 即 2a＋b＝2. ∴不论 m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线 2x＋y－2＝0 上，且为等圆．