【数学】2020届一轮复习人教B版已知不等恒成立，讨论单调或最值学案

【数学】2020届一轮复习人教B版已知不等恒成立，讨论单调或最值学案

‎【题型综述】‎ 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：‎ ‎①分离参数＋函数最值；‎ ‎②直接化为最值＋分类讨论；‎ ‎③缩小范围＋证明不等式；‎ ‎④分离函数＋数形结合。‎ 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。‎ ‎【典例指引】‎ 例1．设是在点处的切线．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求证： ；‎ ‎（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）令，求导证得；‎ ‎（Ⅲ），① 当时，由（Ⅰ）得 ，可得，进而得在区间上单调递增， 恒成立，② 当时，可得在区间上单调递增，存在，使得， ，此时不会恒成立，进而得的取值范围．‎ 当时， ，故单调递减；‎ 当时， ，故单调递增． ‎ 所以， ）．*‎ 所以． ‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） ．‎ 例2．函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求出， 讨论两种情况分别令可得增区间， 可得得减区间；‎ ‎（2）由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可得结果.‎ ‎（Ⅱ）当时，由得.‎ 由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有 等价于 即解得；*‎ 令，，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 又，所以.‎ 即，所以.*‎ 例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【思路引导】‎ ‎ （Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间， 得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.‎ ‎（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，‎ 若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，*‎ 当时， 单调递减；‎ 当时， 单调递增，‎ 所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时， 恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．‎