南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准（定稿）

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准（定稿）

南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试 ‎ 数学参考答案及评分标准 2013.05‎ 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． ‎ ‎1．(1，3] 2．5 3．8 4． 5． ‎6． 7．2 8．①④ 9． 10．2‎ ‎11．2 12．2x＋y－2＝0 13．(12，17) 14． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解（1）方法一：‎ 因为tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα． ………………………… 2分 又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝． ………………………… 4分 所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－． ………………………… 6分 方法二：‎ 因为cos2α＝cos2α－sin2α ………………………… 2分 ‎＝ ＝， ………………………… 4分 又tanα＝2，所以cos2α＝＝－． ………………………… 6分 ‎（2）方法一：‎ 因为α(0，π)，且tanα＝2，所以α(0，)． ‎ 又cos2α＝－＜0，故2α(，π) ，sin2α＝． ………………………… 8分 由cosβ＝－，β(0，π)，得sinβ＝，β(，π)． ………………………… 10分 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×(－)－(－)×＝－． ………… 12分 又2α－β(－，)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分 方法二：‎ 因为α(0，π)，且tanα＝2，所以α(0，)，tan2α＝＝－．‎ 从而2α(，π)． ………………………… 8分 由cosβ＝－，β(0，π)，得sinβ＝，β(，π)，‎ 因此tanβ＝－． ………………………… 10分 所以tan(2α－β)＝＝＝－1． ………………………… 12分 又2α－β(－，)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分 ‎（第16题）‎ A B C D E C1‎ A1‎ B1‎ F G ‎16．证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．‎ 因为F为C1B的中点，所以FGC‎1C．‎ 在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1AC1C，且E为A1A的中点，‎ 所以FGEA．‎ 所以四边形AEFG是平行四边形． ‎ 所以EF∥AG． ………………………… 4分 因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC． ………………………… 6分 ‎（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，‎ 所以A‎1A⊥BD． ‎ 因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC．‎ 因为A‎1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1．‎ 因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E． ………………………… 9分 根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，‎ 所以EB＋C1E＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．……………………… 12分 因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE， EBÌ平面BDE，‎ 所以C1E⊥平面BDE． ………………………… 14分 ‎17．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，‎ 所以f′(x)＝－2＋＝ (x＞0)． ……………………… 2分 由f′(x)＞0得x∈(0，) ． ‎ 所以函数f(x)的单调增区间为(0，)． ……………………… 4分 ‎（2）由f′(x)＝mx－m－2＋，得f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．…………………… 6分 由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，‎ 即关于x的方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且只有一个解． ‎ 令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．‎ 则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)． …………… 8分 ‎①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由g′(x)＜0得1＜x＜，‎ 所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．‎ 又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．‎ 故0＜m＜1不合题意． ……………………… 10分 ‎②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．‎ ‎③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0得＜x＜1，‎ 所以函数g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．‎ 又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．‎ 故m＞1不合题意．‎ 综上，实数m的值为m＝1． ……………………… 14分 ‎18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB＝‎8cm，AD＝‎6cm，其中点A在面积为S1的部分内．‎ 折痕有下列三种情形：‎ ‎①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；‎ ‎②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；‎ A B C D ‎（情形②）‎ M N A B C D ‎（情形③）‎ M N A B C D ‎（情形①）‎ M N ‎③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．‎ ‎（1）在情形②、③中MN≥6，故当l＝4时，折痕必定是情形①．‎ 设AM＝xcm，AN＝ycm，则x2＋y2＝16． ……………………… 2分 因为x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，‎ 所以S1＝xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号．‎ 即S1的最大值为4． ……………………… 5分 ‎（2）由题意知，长方形的面积为S＝6×8＝48． ‎ 因为S1∶S2＝1∶2，S1≤S2，所以S1＝16，S2＝32． ‎ 当折痕是情形①时，设AM＝xcm，AN＝ycm，则xy＝16，即y＝．‎ 由得≤x≤8．‎ 所以l＝＝，≤x≤8． ……………………… 8分 设f(x)＝x2＋，x＞0，则f ′(x)＝2x－＝，x＞0．故 x ‎（，4）‎ ‎4 ‎（4，8）‎ ‎8‎ f ′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎64 ‎↘‎ ‎64‎ ‎↗‎ ‎80‎ 所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]； ……………… 11分 当折痕是情形②时，设AM＝xcm，DN＝ycm，则(x＋y)×6＝16，即y＝－x．‎ 由得0≤x≤．‎ 所以l＝＝，0≤x≤．‎ 所以l的范围为[6，]； ……………………… 13分 当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm，则(x＋y)×8＝16，即y＝4－x．‎ 由得0≤x≤4．‎ 所以l＝＝，0≤x≤4．‎ 所以l的取值范围为[8，4]．‎ 综上，l的取值范围为[6，4]． ……………………… 16分 ‎19．解（1）由题意得，m＞8－m＞0，解得4＜m＜8．‎ 即实数m的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分 ‎（2）因为m＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1．‎ ‎①设点P坐标为（x，y），则＋＝1．‎ 因为点M的坐标为（1，0），所以 PM2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－＝－2x＋3‎ ‎＝(x－)2＋，x∈[－，]． ……………………… 4分 所以当x＝时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（，±）．‎ ‎……………………… 6分 ‎②由a2＝6，b2＝2，得c2＝4，即c＝2，‎ 从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x＝3，离心率e＝．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则 ＋＝1，＋＝1，‎ 所以＋＝0，即kAB＝＝－． ……………………… 9分 令k＝kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y－y0＝－(x－x0)．‎ 令y＝0，则xN＝ky0＋x0＝x0．‎ 因为F(2，0)，所以FN＝|xN－2|＝|x0－3|． ……………………… 12分 因为AB＝AF＋BF＝e(3－x1)＋e(3－x2)＝|x0－3|．‎ 故＝×＝．‎ 即为定值． ……………………… 16分 ‎20．解（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，从而＝a1＋d． ‎ 所以当n≥2时，－＝(a1＋d)－(a1＋d)＝．‎ 即数列{}是等差数列． ……………………… 2分 ‎（2）因为对任意正整数n，k(n＞k)，都有＋＝2成立，‎ 所以＋＝2，即数列{}是等差数列． ……………………… 4分 设数列{}的公差为d1，则＝＋(n－1)d1＝1＋(n－1)d1，‎ 所以Sn＝[1＋(n－1)d1]2，所以当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝[1＋(n－1)d1]2－[1＋(n－2)d1]2＝2dn－3d＋2d1，‎ 因为{an}是等差数列，所以a2－a1＝a3－a2，即 ‎(4d－3d＋2d1)－1＝(6d－3d＋2d1)－(4d－3d＋2d1)，‎ 所以d1＝1，即an＝2n－1．‎ 又当an＝2n－1时，Sn＝n2，＋＝2对任意正整数n，k(n＞k)都成立，‎ 因此an＝2n－1． ……………………… 7分 ‎（3）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，bn＝a，‎ 所以＝a－＝ad，‎ 即数列{bn}是公比大于0，首项大于0的等比数列． ……………………… 9分 记公比为q(q＞0)．‎ 以下证明：b1＋bn≥bp＋bk，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．‎ 因为(b1＋bn)－(bp＋bk)＝b1＋b1qn－1－b1qp－1－b1qk－1＝b1(qp－1－1)( qk－1－1)．‎ 当q＞1时，因为y＝qx为增函数，p－1≥0，k－1≥0，‎ 所以qp－1－1≥0，qk－1－1≥0，所以b1＋bn≥bp＋bk．‎ 当q＝1时，b1＋bn＝bp＋bk．‎ 当0＜q＜1时，因为y＝qx为减函数，p－1≥0，k－1≥0，‎ 所以qp－1－1≤0，qk－1－1≤0，所以b1＋bn≥bp＋bk．‎ 综上，b1＋bn≥bp＋bk，其中p，k为正整数，且p＋k＝1＋n．………………… 14分 所以n(b1＋bn)＝(b1＋bn)＋(b1＋bn)＋…＋(b1＋bn)‎ ‎≥(b1＋bn)＋(b2＋bn－1)＋(b3＋bn－2)＋…＋(bn＋b1)‎ ‎＝(b1＋b2＋…＋bn)＋(bn＋bn－1＋…＋b1)，‎ 即≤． …………………… 16分 南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试 ‎ 数学附加题参考答案及评分标准 2013.05‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． ‎ A B P O C ‎（第21题A）‎ D E A．选修4—1：几何证明选讲 证明 如图，延长PO交⊙O于D，连结AO，BO．AB交OP于点E．‎ 因为PA与⊙O 相切，‎ 所以PA2＝PC·PD． ‎ ‎ 设⊙O的半径为R，因为PA＝12，PC＝6，‎ 所以122＝6(2R＋6)，解得R＝9． …………………… 4分 因为PA，PB与⊙O均相切，所以PA＝PB．‎ 又OA＝OB，所以OP是线段AB的垂直平分线． …………………… 7分 即AB⊥OP，且AB＝2AE． ‎ 在Rt△OAP中，AE＝＝．‎ 所以AB＝． …………………… 10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解 （1）由题知， ＝，即 解得 …………………… 4分 ‎（2）设P' (x，y)是曲线C'上任意一点，P' 由曲线C上的点P (x0，y0) 经矩阵M所表示的变换得到，‎ 所以 ＝ ，即解得 …………………… 7分 因为x0y0＝1，所以·＝1，即－＝1．‎ 即曲线C' 的方程为－＝1． …………………… 10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，‎ 则圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ 点M的直角坐标为(3，3)． …………………… 3分 当直线l的斜率不存在时，不合题意．‎ 设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，‎ 由圆心C(，1)到直线l的距离等于半径2．‎ 故＝2． …………………… 6分 解得k＝0或k＝．‎ 所以所求的直线l的直角坐标方程为y＝3或x－y－6＝0． ………………… 8分 所以所求直线l的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3． …………………… 10分 D．选修4—5：不等式选讲 解 原不等式等价于 或 …………………… 5分 ‎ 解得或 即4≤x＜2＋或3＜x＜4或x＜1．‎ 综上，原不等式的解集为{x| x＜1或3＜x＜2＋}． …………………… 10分 ‎ 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．‎ A BB CB EB DB PB ‎（第22题）‎ y x z F ‎22．解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．‎ 则A(0，0，0)，B(，1，0)，‎ C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，‎ 从而＝(，1，－2)， ＝(0，1，1)． ‎ 设直线AE与PB所成角为θ，‎ 则cosθ＝||＝．‎ 即直线AE与PB所成角的余弦值为 ． …………………… 4分 ‎（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而＝(，1，－a)，＝(0，2，－a)．‎ 设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，‎ 所以x＋y－az＝0，2y－az＝0．‎ 令z＝2，则y＝a，x＝a．‎ 所以n1＝(a，a，2)是平面PBC的一个法向量． ‎ 因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，，)，E(0，1，)， ‎ 则＝(，，)，＝(0，1，)．‎ 设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0．‎ 所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0．‎ 令z＝2，则y＝－a，x＝－a．‎ 所以n2＝(－a，－a，2)是平面ADE的一个法向量． …………………… 8分 因为面ADE⊥面PBC，‎ 所以n1⊥n2，即n1·n2＝(a，a，2)·(－ a，－a，2)＝－a2－a2＋4＝0，‎ 解得a＝，即PA的长为． …………………… 10分 ‎23．解（1）p1＝，‎ p2＝×＋×(1－)＝． …………………… 2分 ‎（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1－pn．‎ 于是移了n＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1＝pn＋(1－pn)＝pn＋．‎ ‎…………………… 4分 从而pn+1－＝(pn－)．‎ 所以数列{pn－}是等比数列，其首项为，公比为．‎ 所以pn－＝×()n－1．即pn＝＋×． …………………… 6分 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，左式＝＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立．‎ 当n＝2时，左式＝＋＝，右式＝，因为＞，所以不等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＞．‎ 则n＝k＋1时，左式＝＋＞＋＝＋．‎ 要证＋≥，‎ 只要证≥－．‎ 只要证≥．‎ 只要证≤．‎ 只要证3k+1≥2k2＋6k＋2．‎ 因为k≥2，‎ 所以3k+1＝3(1＋2)k≥3(1＋2k＋‎4C)＝6k2＋3＝2k2＋6k＋2＋2k(2k－3)＋1＞2k2＋6k＋2，‎ 所以＋≥．‎ 即n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②可知，不等式＞对任意的n∈N*都成立． ……………………10分