2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学

2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试 数学

汕头市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学科试卷 命题： ‎ 一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)‎ ‎1．设集合则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若向量＝(1，－2)，＝(x,2)，且⊥，则x＝( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．若幂函数的图象过点，则的解析式为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　）‎ A. 11 B. 10 C. 9 D. 8‎ ‎5．命题“x=π”是“sin x=0”的（ ）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎6. 函数 的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7. 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，‎ 使，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，)，则（ ）‎ A．1020 B．1010 C．510 D．505‎ ‎10. 已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况均有可能 二、多项选择题 （本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）‎ ‎11. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ AQI指数值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市12月1日日AQI指数变化趋势：‎ 下列叙述正确的是（ ）‎ A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100 B. 这20天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎12. 已知定义域为的奇函数，满足,下列叙述正确的是（ ）‎ A.存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根 B.当时，恒有 C.若当时，的最小值为，则 D.若关于的方程和的所有实数根之和为零，则 ‎ 三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.设直线与圆相交于两点，则___________.‎ ‎14.若直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球的表面上，‎ 若,则球的表面积等于________.‎ ‎15.如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形、、、、，记第块纸板的面积为，则（1）_______,（2）如果对 恒成立，那么a的取值范围是____________.‎ ‎（本题第一个空2分，第二个空3分.）‎ ‎16.已知函数，当时取得最小值，当时取得最大值，‎ 且在区间上单调．则当取最大值时的值为______ ．‎ 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求内角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把折起，‎ 使点A到达点P的位置，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBE； （Ⅱ）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切.‎ ‎（Ⅰ）求圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P（0,1），若直线与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求的值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 Ⅰ当时，求的值域；‎ Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ 数学科参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B D A C B B D B ABD AC ‎13.__ __; 14.____; 15._; ___; 16.______.‎ ‎17. 解：解：（1）设等差数列的公差为d．‎ 由，，得，解得． ………………………………1分 所以． ………………………………2分 由于是公比为3的等比数列，且， ………………………………3分 所以． ………………………………4分 从而． ………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）．‎ ‎ ‎ ‎．……10分 ‎18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得 …………………………1分 化简得，‎ ‎∴. …………………………3分 ‎∵，∴. ……………………………5分 ‎（Ⅱ）由，得， ……………………………6分 在中，∵，……8分 由正弦定理，得， ……………………………10分 ‎. ………………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）证明：，F分别为AB，AC边的中点， ， …………………………1分 ， ，， …………………………3分 ‎ 又，BE、平面PBE， …………………………4分 平面PBE，平面PBE； …………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：取BE的中点O，连接PO， 由知平面PBE，平面BCFE， 平面平面BCFE， ， ， 又平面PBE，平面平面， 平面BCFE， 过O作交CF于M，则OB，OM，OP两两相互垂直. …………………………6分 分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则，，F ． ，， 设平面PCF的法向量为， 由，取，得，………8分 由图可知为平面PBE的一个法向量， ………………………10分 ， ………………………11分 平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值． ……………………12分 ‎20. 解：(1)设圆心（）∴ 圆的半径为，所以 ，解得： ……2分 圆的标准方程是： ………………………4分 ‎(2)设 . ，‎ 消去得： ……………………………6分 ‎△=，得： ……………………………7分 ‎， ……………………………9分 因为∠MPN=90°，所以 ……………………………10分 又 ‎……………………………11分 解得或. ……………………………12分 ‎21. 解：（Ⅰ）当时， ……………………………1分 令，令， ……………………………2分 二次函数的图像开口向下，对称轴是，‎ 所以二次函数在上单调递增，在上单调递减. …………………………3分 又，，所以， …………………………4分 所以的值域为 ……………………………5分 ‎（Ⅱ）法一： ………………………6分 令，令， …………………………7分 ‎①当，即时，，且，解得 ……………………8分 ‎②，即时，，无解 ………………………9分 ‎③当，即时，且，解得 …………………10分 综上所述 或 …………………………12分 法二： …………………………6分 令， …………………………7分 当，不合题意，∴ ………………………8分 ‎∴， ………………………9分 ‎∵在，递减 ………………………10分 ‎∴或 ………………………11分 ‎∴或 ………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，‎ ‎∵离心率为，∴，‎ 又点是抛物线的焦点，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵，∴四边形为平行四边形.‎ 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； ………………………………5分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由得. ‎ 由 得. …………………………6分 设，则，， …………………………7分 ‎∵， …………………………8分 ‎∴‎ ‎， …………………………9分 令，则（），‎ ‎∴， …………………………11分 当且仅当，即即时取等号，‎ ‎∴当时，平行四边形的面积最大值为2.‎ 此时直线的方程为. …………………………12分