2020年高中数学第一章计数原理1

2020年高中数学第一章计数原理1

‎1.3.1‎‎ 二项式定理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)‎ A．2n B．2n＋1‎ C．2n－1 D．2(n＋1)‎ 解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．‎ 答案：B ‎2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)‎ A．(2x＋2)5 B．2x5‎ C．(2x－1)5 D．32x5‎ 解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.‎ 答案：D ‎3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析：先求出(1＋x)5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数．(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系数为10＋‎5a＝5，∴a＝－1，故选D.‎ 答案：D ‎4．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析：Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．‎ 答案：B ‎5．(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．2 D．3‎ 解析：(－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.‎ 4‎ 当因式(x2＋2)提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)提供2时，则取r＝5.‎ 所以(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.‎ 答案：D ‎6．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)‎ 解析：利用二项展开式的通项公式求解．‎ x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，‎ x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，‎ ‎∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.‎ 答案：－20‎ ‎7．在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．‎ 解析：二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cx20－k·(y)k＝C()kx20－kyk(0≤k≤20)．要使系数为有理数，则k必为4的倍数，所以k可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．‎ 答案：6‎ ‎8．已知n的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为________．‎ 解析：由已知条件得：C∶C＝14∶3，整理得：n2－5n－50＝0，‎ 所以n＝10，所以展开式的通项为：‎ Tk＋1＝C()10－k·k ‎＝C·2k·x，‎ 令＝0，得k＝2，‎ 所以常数项为第三项T3＝‎22C＝180.‎ 答案：180‎ ‎9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．‎ 证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C×109＋…＋C×10＋1)－1‎ ‎＝1010＋C×109＋C×108＋…＋102‎ ‎＝100×(108＋C×107＋C×106＋…＋1)，‎ ‎∴1110－1能被100整除．‎ ‎10.n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．‎ 解析：由题意知C＝C，‎ 4‎ ‎∴n＝17，Tr＋1＝Cx·2r·x，‎ ‎∴－＝1，‎ ‎∴r＝9，‎ ‎∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，‎ ‎∴T10＝C·29·x，‎ 其一次项系数为C29.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析：Tr＋1＝C·(2x)7－r·r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1.故选C.‎ 答案：C ‎2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr.依题意得C·35＝C·36，即＝3×(n≥6)，得n＝7.‎ 答案：B ‎3．若(＋a)5的展开式中的第四项是‎10a2(a为大于0的常数)，则x＝________.‎ 解析：∵T4＝C()2·a3＝10x·a3，‎ ‎∴10xa3＝‎10a2(a>0)，∴x＝.‎ 答案： ‎4．(2015年高考福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．‎ 解析：Tr＋1＝Cx5－r·2r，令5－r＝2，得r＝3，所以x2的系数为C×23＝80.‎ 答案：80‎ ‎5．若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝‎4A，求a 4‎ 的值．‎ 解析：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx，‎ 令r＝2，得A＝C·a2＝‎15a2；‎ 令r＝4，得B＝C·a4＝‎15a4.‎ 由B＝‎4A可得a2＝4，又a>0，‎ 所以a＝2.‎ ‎6．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．‎ ‎(1)求展开式的第四项；‎ ‎(2)求展开式的常数项．‎ 解析：Tr＋1＝C()n－rr ‎＝rCx.‎ 由前三项系数的绝对值成等差数列，‎ 得C＋‎2C＝2×C，‎ 解这个方程得n＝8或n＝1(舍去)．‎ ‎(1)展开式的第4项为：‎ T4＝‎3Cx＝－7.‎ ‎(2)当－r＝0，‎ 即r＝4时，常数项为‎4C＝.‎ 4‎