高中数学讲义微专题61 三视图——几何体的体积问题

高中数学讲义微专题61 三视图——几何体的体积问题

微专题 61 三视图——几何体的体积问题 一、基础知识： 1、常见几何体的体积公式：（ 底面积， 高） （1）柱体： （2）锥体： （3）台体： ，其中 为上底面面积， 为下底面面积 （4）球： 2、求几何体体积要注意的几点 （1）对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型（柱，锥，台），另一方面要看好该 几何体摆放的位置是否是底面着地。对于摆放“规矩”的几何体（底面着地），通常只需通过 俯视图看底面面积，正视图（或侧视图）确定高，即可求出体积。 （2）对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础切掉了 一部分。然后再寻找相关要素 （3）在三视图中，每个图各条线段的长度不会一一给出，但可通过三个图之间的联系进行推 断，推断的口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的左右间距与俯视图的左右间距相 等，正视图的上下间距与侧视图的上下间距相等， 侧视图的左右间距与俯视图的上下间距相 等。 二、典型例题： 例 1：已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _________ 思路：从正视图，侧视图可判断出几何体与锥体相关（带尖 儿），从俯视图中可看出并非圆锥和棱锥，而是两者的一个组 合体（一半圆锥 三棱锥），所以 ，锥体的高 计算可得 （利用正视图），底面积半圆的半径为 ，三角形底边为 ，高为 （俯视 图看出），所以 ， ，则 ， ，所以 答案： :S :h V S h  1 3V S h   1 2 1 2 1 3V S S S S h    1S 2S 34 3V R  1 2V V V 圆锥 棱锥 6 3h  6 12 6 1 12 6 362S    三角形 26 36S    圆 1 72 33V S h  三角形棱锥 1 72 33V S h    圆圆锥 1 36 3 72 32V V V    圆锥 棱锥 36 3 72 3  例 2：已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直 角梯形，则该棱锥的体积为 . 思路：观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱 锥 的 真 正 底 面 体 现 在 正 视 图 （ 梯 形 ）中 ， 所 以 ，而棱锥的高为侧视图的左右间距， 即 ，所以 答案： 例 3：若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是________． 思路：该几何体可拆为两个四棱柱，这两个四棱柱的高均 为 4（俯视图得到），其中一个四棱柱底面为正方形，边长 为 2（正视图得到），所以 ，另一个 四 棱 柱 底 面 为 梯 形 ， 上 下 底 分 别 为 ， 所 以 ， 。故几何体 的体积为 答案： 例 4：如下图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是___________ 思路：从三视图中观察可得该组合体是由一个圆柱与一个躺倒的三棱锥拼接而成，对于圆柱 可得其底面半径为 （正视图），高为 （正视图），所以 ，而棱柱底面为底是 （俯视 图），高为 （正视图）的三角形，棱柱的高为 （俯视图）， 所以可得 ，所以组合体的体积为 答案：  1 4 2 4 122S     底 4h  1 163V S h  底 16 2 1 1 2 4 16V S h     2,6  2 1 2 6 2 82S     2 2 8 4 32V S h     1 2 48V V V   48 4 8 24 8 128V S h       圆柱 3 4 6 1= 3 4 6 362V S h     棱柱 128 36V V V    圆柱 棱柱 128 36  例 5：某几何体三视图如图所示（正方形边长为 ），则该几何体的体积为 . 思路：由正视图与侧视图可得该几何体的轮廓为一个棱柱，从俯 视图中可确定该组合体为正方体截掉了两部分，且这两部分刚好 都是 个圆柱，可拼成 个圆柱。所以先计算出正方体的体积 ，而圆柱 的底面半径为 ，高为 ，所以 ，所以 组合体的体积为 答案： 例 6：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 (　　) A．4 B．2 C． D．8 答案：D 思路：由于长方体被平面所截，所以很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上 一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，因为长方体由两个完全一样的几何体拼成， 所以所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为 ，长方体 的高为 ，所以 ，所以 2 1 4 1 2 32 8V  正方体 1 2 1 1 22 2V V     截 圆柱 =8V V V   正方体 截 8  2 2 3 1 4  22 4 16V   长方体 1 82V V 长方体 例 7：一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为__________ 思路：由主视图观察下方有圆弧形，所以判断有旋转体，结合 侧视图与俯视图可判断出几何体下部为一个圆柱（圆柱体的一 半），且圆柱的上方摞着一个长方体。所以 ，长方体的长宽高分别为 2,2,4，则 ，圆柱体的高为 4（侧视图看出），底 面半径为 2（由主视图看出），则 ，所以 答案： 例 8：已知四棱锥 的直观图和三视图如图所示，则三棱锥 的体积为 __________ 思路：要求三棱锥 的体积，则要确定棱锥的 高（ 到底面 的距离）和 的面积，从主视 图中可判断出棱锥的高 ，俯视图体现出四边形 为矩形，所以 的面积为 ，所以 答案： 例 9：一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体 积为_______ 思路：从俯视图可判断出该几何体的基础应为直三棱柱，但从侧视 图与正视图可以看出几何体是直三棱柱切掉了一部分，其中侧视图 体现出三棱柱从上底面一直切到下底面，而正视图中的线恰好是截 面与侧面形成的棱（切痕），进而可作出直观图，从图中可看出剩 余的几何体为一个四棱锥（顶点为 ，所以 ，棱锥的高是 （侧视图的左右间距），四 边形 是边长为 的正方形（由正视图看出），所以 1 2V V V 长方体 圆柱 2 2 4 16V    长方体 22 4 16V     圆柱 1 16 82V V V    长方体 圆柱 16 8 P ABCD C PBD C PBD P BCD BCD 2h  ABCD BCD 1 1 2 12BCDS     1 1 22 13 3 3BCDV h S      2 3 2cm B 1 3 ACDEB ACDEV d S  平面 4 ACDE 6 A C B E D ，所以 答案： 例 10：如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 思路：本题很难直接看出棱锥的底面积与高，但通过观察可看 出此棱锥可能由正方体 （棱长为 2）通过切 割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如 何切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下 方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切痕， 俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥为一 个四棱锥，底面是矩形 ，宽 ，长 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，过 作 的垂线 ，则有 平面 ，即高 ，所 以棱锥的体积为 答案： 26 36ACDES    21 1 4 36 483 3ACDEB ACDEV d S cm      平面 48 8 3 4 3 4 3 2 3 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1A B CD 2CD  1 2 2B C  CD  1 1ADD A 1 1A B CD  1 1ADD A 1D 1A D 1D E 1D E  1 1A B CD 1 2D E  1 1 1 1 1 82 2 2 23 3 3A B CDV S D E       8 3 B1 B C1 C D D1 A A1 E