2020届二轮复习排列与组合教案（全国通用）

2020届二轮复习排列与组合教案（全国通用）

排列与组合 高考要求 要求层次 重难点 加法原理、乘法原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 B 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ‎① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；‎ ‎② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．‎ 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 C 要求层次 重难点 排列与组合 排列、组合的概念 B 排列与组合 ‎① 理解排列、组合的概念．‎ ‎② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．‎ ‎③ 能解决简单的实际问题．‎ 排列数公式、组合数公式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题 C 知识内容 ‎1．基本计数原理 ‎⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．‎ ‎⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．‎ ‎⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．‎ 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．‎ ‎2． 排列与组合 ‎⑴排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）‎ 排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．‎ 排列数公式：，，并且．‎ 全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．‎ 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．‎ ‎⑵组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．‎ 组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．‎ 组合数公式：，，并且．‎ 组合数的两个性质：性质1：；性质2：．（规定）‎ ‎⑶排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：‎ ‎1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；‎ 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．‎ ‎3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．‎ ‎4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．‎ ‎5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．‎ ‎6．插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．‎ ‎7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！‎ ‎8．错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．‎ ‎1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：‎ ‎①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；‎ ‎②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．‎ 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．‎ ‎2．具体的解题策略有：‎ ‎①对特殊元素进行优先安排；‎ ‎②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；‎ ‎③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；‎ ‎④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；‎ ‎⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；‎ ‎⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．‎ ‎⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．‎ 典例分析 版块一.加法原理 【例1】 高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】选取一名男生，或者选取一名女生，即可完成选取代表的事情，‎ 由分类计数原理，有（种）‎ ‎【答案】56；‎ 【例2】 若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】按的取值分类：时，有个值，时，有个值；‎ 时，有个值；时，有个值；时，有个值．‎ 用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：（个）．‎ ‎【答案】15；‎ 【例3】 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，北京高考 ‎【解析】分两种情况：个数为与个位不为．‎ 个位为的数只需再确定十位与百位即可，有个；个位不为的，需要在中任选一个放在个位，再在除与个位数字之外的个数字中选择一个数字放在百位，最后选定十位，共有种．故共有满足条件的数个．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，北京高考 ‎【解析】个位有两种选择，个位选定后，依次十位有种，百位有种，‎ 千位有种，由乘法原理，共有个．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 用这个数字，可以组成____个大于，小于的数字不重复的四位数．‎ ‎【考点】加法原理 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】分四类：‎ ‎①千位数字为之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）；‎ ‎②千位数字为，百位数字为之一时，共有（个）；‎ ‎③千位数字是，百位数字是，十位数字是之一时，共有（个）；‎ ‎④最后还有也满足条件．‎ 所以所求四位数共有（个）．‎ ‎【答案】175；‎ 版块二.乘法原理 【例3】 公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．‎ ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】种．‎ ‎【答案】16；‎ 【例1】 将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_______．‎ ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】每个小球有种放法，由乘法原理共种．‎ ‎【答案】64；‎ 【例2】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．‎ ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】甲学校有种选择，然后另两所学校分别有和种选择，‎ 由乘法原理知不同的安排方法有种．‎ ‎【答案】120；‎ 【例3】 高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．‎ ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】先选取一名男生，再选取一名女生，才能完成选取代表的整件事，‎ 由分步计数原理，共有（种）‎ ‎【答案】684；‎ 【例4】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？‎ ‎【考点】乘法原理 ‎【难度】1星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有种方法，‎ 以此类推，不同的报名结果共有：（种）．‎ ‎【答案】729；‎ 板块三.基本计数原理的综合应用 【例5】 用，，，，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】20；‎ 【例1】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】“可连数”是一位数时，设为，则，‎ 共有个；‎ 是两位数时，设为，易知，，由题意，且，，，共有个；‎ 是三位数时，设为，易知，，由题意有 ‎，，，故，，，共有个．‎ 可连数的个数为个．选D．‎ ‎【答案】D；‎ 【例2】 由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】四点共面的有6个侧面和6个对角面；‎ 此外由正方体的面对角线还可形成由3点确定的平面，每个面有2条对角线，每条对角线可形成2个由面对角线确定的平面，故这样的面共有个．‎ 因此不同的平面共有个 ‎【答案】20；‎ 【例3】 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】2003年，全国高考 ‎【解析】首先涂A，剩下只有3种颜色可供选择，若不同色则必同色，‎ 反之亦然．即或同色．‎ 方法一：‎ 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类．‎ ‎①用3种不同颜色时，区域必同色，区域也必同色，故共有种；‎ ‎②用4种不同颜色时，若区域同色有种，若区域同色有种，故用四种颜色时共有种．‎ 由加法原理得不同的涂色方法数共有种．‎ 方法二：‎ 以不相邻区域为主分类计数，分两类涂色．‎ ‎①当区域同色时，区域A有4种，区域B有3种， 区域C有2种， 区域E有2种，故共有种；‎ ‎②当区域不同色时，区域A有4种，区域B有3种， 区域D有2种， 区域E有1种， 区域D有1种，故共有种；‎ 由加法原理得不同的涂色方法数共有种．‎ ‎【答案】72；‎ 【例1】 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）‎ A．96 B．84 C．60 D．48‎ ‎【考点】基本计数原理的综合应用 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】相当于四种颜色涂，相邻的不同色．‎ 方法一：‎ 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分三类．‎ ‎①用4种颜色时，有种；‎ ‎②用3种颜色时，则同色或同色，分别都有种；‎ ‎③用2种颜色时，则同色且同色，有种 总共有+2+种，选B 方法二：‎ 以不相邻区域为主分类计数 首先A有4种可选．‎ 当同色时，B有3种，C有3种；‎ 当不同色时，B有3种，D有2种，C有2种．‎ 由加法和乘法原理可得总数为种．‎ ‎【答案】B;‎ 板块四.排列数组合数的计算与证明 【例1】 解不等式 ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列数公式得，‎ 化简：，解得，‎ 注意到，‎ 综合可得．‎ ‎【答案】8；‎ 【例2】 证明：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】，等式得证．‎ 【例3】 解方程．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原方程可化为 ‎∵且，∴‎ 解得，经检验是原方程的根．‎ 【例4】 解不等式．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原不等式化为，从而得，‎ 解得，‎ 又∵，∴，‎ 综上得，故原不等式的解集为．‎ 【例1】 解方程：‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】原方程可化为 整理得 解得或（不合题意舍去）．‎ 经检验是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）‎ 【例2】 解不等式：．‎ ‎【考点】排列数组合数的计算与证明 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由题意得：，解得．‎ 又，且，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴或，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ 版块五.排列组合问题的常见模型 【例1】 三个女生和五个男生排成一排 ‎⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？‎ ‎⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？‎ ‎⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，‎ 这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法．‎ ‎⑵ （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任间两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．‎ ‎⑶ （间接法）个女生和个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．‎ 【例2】 个人站成一排：‎ ‎⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？‎ ‎⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？‎ ‎⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？‎ ‎⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴（捆绑法）因为甲、乙两人必须相邻，‎ 可视甲、乙在一起为一个元素与其他人有种排法，而甲、乙又有 种排法，根据分步计数原理共有种排法．‎ ‎⑵（插空法）甲、乙两人外的其余人有种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有种排法，所以共有种排法；‎ ‎（间接法）用总的排法减去相邻的排法，即种排法．‎ ‎⑶（位置分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余人中选人来站有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法；‎ ‎（元素分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，故可以用中间四个位置中选个站甲、乙，有 种排法，其它人站在余下的个位置上，有种排法，共有种排法；‎ ‎（间接法）六人全排有种排法，除去甲站排头、甲站排尾、乙站排头和乙站排尾的种，补上重复减去的甲、乙都在排头排尾的种排法，共有排法种．‎ ‎⑷甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，故共有种排法．‎ 【例1】 ‎12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，安徽高考 ‎【解析】从后排8人中选2人共种选法，‎ 这2人插入前排4人且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故有种插法，综上知答案：选C．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是_______．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】从两部不同的长篇小说本书的排列方法有种，‎ 左边本恰好都属于同一部小说的排列方法有种．所以， 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是 ‎ 种．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 给定数字、、、、、，每个数字最多用一次，‎ ‎⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？‎ ‎⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】注意不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，‎ 利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑．‎ ‎⑴法一（位置分析法）‎ 从“位置”考虑，由于不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余个数位可以从余下的个数字（包括）中任取个排列，所以可以组成个四位数；‎ 法二（元素分析法）‎ 从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字分成两类，有数字的先排的位置，有个，无数字的有个，所以共组成个四位数；‎ 法三（排除法）‎ 从个元素中取个元素的所有排列中，减去在首位上的排列数即为所求，所以共有个四位数；‎ ‎⑵个位数字必须是奇数有种排法，由于不能放在首位，因此首位数字只能有 种取法，其余两个数位的排法有，所以共有个四位奇数；‎ ‎⑶法一：由⑴⑵知共有个四位偶数；‎ 法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为分成两种情况，在个位时，有个四位偶数；在个位时，有个四位偶数，所以共有个四位偶数；‎ ‎⑷一位数：有个；两位数：有个；三位数：有个；‎ 四位数：有个；五位数：有个；六位数：有个；‎ 所以共有个自然数．‎ 【例2】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；‎ ‎②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0，2，4，6，8，从限制条件入手，可划分如下：‎ 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上），由此得解法一．‎ 如果四位数划分四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法二．‎ 如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此还有解法．‎ ‎ [解法1]当个位数上排“0”时，有个；当个位数排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个 ‎∴没有重复数字的四位偶数有 个．‎ ‎[解法2]将没有重复数字的四位数字划为分两类：四位奇数和四位偶数．‎ 没有重复数字的四位数有个．‎ 其中四位奇数有个 ‎∴没有重复数字的四位偶数有 个 ‎【答案】2296‎ 【例1】 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？‎ ‎⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本；‎ ‎⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本；‎ ‎⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本；‎ ‎⑷ 平均分给甲、乙、丙三人；‎ ‎⑸ 平均分成三堆．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴ 先在本书中任取一本．作为一本一堆，有种取法，‎ 再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有种取法，再后从余下三本取三作作为一堆，有种取法，故共有分法种．‎ ‎⑵ 由⑴知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为种．‎ ‎⑶ 由⑴知，分成三堆的方法有，但每一种分组方法又有不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）‎ ‎⑷ 个人一个一个地来取书，甲从本不同的书本中任取出本的方法有种，甲不论用哪一种方法取得本书后，已再从余下的本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取本书后，丙从余下的两本中取两本书，有种方法，所以一共有种方法．‎ ‎⑸ 把本不同的书分成三堆，每堆二本和把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应种，由⑷知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人本的方法有种．‎ 所以，则（种）‎ 点评：本问题的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中⑴属非均匀分组问题．⑵属非均匀定向分配问题．⑶属非均匀不定向分配问题．⑷属均匀不定向分配问题．⑸属均匀分组问题．‎ 一般地，个元素中有个元素（）均分成堆一定要除以．‎ 例如：有个桃，分成堆，其中一堆一个，一堆个，另外堆每堆都是个，有多少种不同的分法 一共有种不同分法．‎ 【例1】 有6本不同的书 ‎⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？‎ ‎⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？‎ ‎⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？‎ ‎⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？‎ ‎⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，‎ 最后2本给丙，‎ 共有（种）．这是均匀编号分组问题 ‎⑵6本书平均分成3堆，用⑴中方法重复了倍，故共有（种）．这是 均匀分组问题．‎ ‎⑶从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一 堆，共有（种）． 这是非均匀分组问题 ‎⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有 ‎（种）． ‎ 这是非均匀编号分组问题．‎ ‎⑸甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有（种）． 这 是部分均匀编号分组问题．‎ ‎⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）．‎ 这是部分均匀分组问题．‎ ‎⑺本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）．‎ 【例1】 如图，正五边形中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ）‎ A． 30种 B． 27种 C． 24种 D． 21种 ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，西城高三 ‎【解析】有1种颜色只有一个点涂，剩下的2种颜色涂4个点只有2种方法，‎ 故共有种．选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．‎ ‎【考点】排列组合问题的常见模型 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】第一行的填法有种，填好后，‎ 第二行只有种填法，第三行只有种方法，‎ 故共有种方法．‎ 或者 第一行的填法有种，填好后，第一列剩下的格有种方法，‎ 第一行、第一列填好后，其它的格子就确定了，只有种方法，‎ 故共有种方法．‎ ‎【答案】12；‎ 版块六.排列组合问题的常用方法总结 【例1】 从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有人参加，交通和礼仪各有人参加，则不同的选派方法共有 ．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】．‎ ‎【答案】60；‎ 【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】略 ‎【答案】A；‎ 【例3】 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有个点，轴正半轴有个点，将轴上这个点和轴上这个点连成条线段，这条线段在第一象限内的交点最多有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】A；，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例1】 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，‎ ‎⑴从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？‎ ‎⑵若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴将取出个球分成三类情况：‎ ‎①取个红球，没有白球，有种；‎ ‎②取个红球个白球，有种；‎ ‎③取个红球个白球，有种；‎ ‎∴．‎ ‎⑵设取个红球，个白球，则，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴符合题意的取法种数有种．‎ 【例2】 已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，山东高考 ‎【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为，‎ 但集合中有相同元素，由三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为个，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，浙江高考 ‎【解析】每个人都有种站法，根据乘法原理知共有种站法，‎ 减去不符合条件的，‎ 即三个人站在同一级台阶上的种，共有种．‎ ‎【答案】336；‎ 【例1】 ‎，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的的子集个数为_____．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】直接法：分三类，在个偶数中分别选个，个，个偶数，其余选奇数，‎ ‎；‎ 间接法：减去没有偶数和只有个偶数的，．‎ ‎【答案】105；‎ 【例2】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为 ‎1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为．‎ ‎【答案】120；‎ 【例3】 不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，‎ 于是所有的方法数为；‎ 非负整数解的问题，等价于 的非负整数解问题，等价于，的正整数解问题，一共有组．‎ ‎【答案】，；‎ 【例1】 三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将三个人插入个空位中间的四个空档中，共有种．‎ ‎【答案】24；‎ 【例2】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】6个歌唱节目排列有种，‎ 歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有种方法．因此，由计数原理总方法有种．‎ ‎【答案】‎ 【例3】 停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】先将辆车全排有种，‎ 再将个空车位看成整体插入辆车形成的个空档中，有种方法，故所求的方法为．‎ ‎【答案】；‎ 【例4】 四个不同的小球放入编号为的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】4个盒子选一个为空的方法种，4个小球放入剩下3个盒子，‎ 每盒都至少有一个，只有这种可能，故总共有种放法．‎ 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有种不同的方法，故共有种放法．‎ 【例1】 ‎6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】分出三堆书由顺序不同可以有种，‎ 而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有种 ‎【答案】15；‎ 【例2】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，‎ ‎⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？‎ ‎⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ ‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】2星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴；⑵‎ 【例3】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？‎ ‎【考点】排列组合问题的常用方法总结 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】设上级楼梯的走法有种，易知，当时，‎ 上级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有种走法，第二类是最后一步跨两级，有种走法，由加法原理知：，据此，，‎ ‎，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．‎ ‎【答案】89；‎