书城高考通关讲练高考数学理科课标通用第辑六解三角形doc

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六、解三角形 ‎（1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎（2）应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.‎ 在中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 ‎1．正弦定理：.‎ ‎2．常见变形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 ‎4．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论 ‎5． 三角形面积公式 ‎（1）三角形的高的公式：hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA．‎ ‎（2）三角形的面积公式：S=absinC，S=bcsinA，S=casinB.‎ ‎（2016新课标II，理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且为的内角，所以，，又因为，所以.‎ ‎【考点定位】正弦定理 ‎【解题必备】正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．‎ 在中，若，则c=________________，sinA=__________________.‎ ‎【答案】2， ‎ ‎【解析】根据余弦定理，得解得.由得 所以 ‎ ‎【考点定位】余弦定理 ‎【解题必备】利用余弦定理解三角形的步骤 在中，已知， ‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由余弦定理知，，‎ 所以.‎ ‎（2）由正弦定理，知所以 ‎ 因为，所以C为锐角，则 ‎ 因此 ‎ ‎【考点定位】正弦定理与余弦定理的综合应用 ‎【解题必备】利用正、余弦定理求边和角的方法：‎ ‎（1）根据题目给出的条件（即边和角）作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．‎ ‎（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．‎ ‎（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．‎ 在中，内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知 ‎ ‎（1）若的面积等于，求的值；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求的面积.‎ ‎【答案】（1）a=2，b=2；（2）.‎ ‎【解析】（1）由余弦定理，得 又的面积等于，所以，得，联立得方程组 解得 ‎ ‎（2）由余弦定理，得由正弦定理，得联立得方程组解得 所以的面积 ‎【考点定位】三角形的面积 ‎【解题必备】求三角形面积的解题思路 在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理来解决；若存在边长乘积时，一般联想到用公式解决.‎ 如右图，在地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，测得AB=20 m,在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h．（结果保留整数）‎ ‎【解析】因为在Rt中，∠OAP=30°，OP=h，所以OA=．‎ 在Rt中，∠OBP=45°，所以OB=h．‎ 在中，AB=20，∠AOB=60°，‎ 由余弦定理得AB2=OA2+OB2－2×OA×OBcos60°，‎ 即202=2+h2－2×h×h×，‎ 解得h2=≈176.4，所以h ≈13．‎ 答：旗杆高度约为13 m．‎ ‎【考点定位】解三角形的应用题 ‎【名师点睛】高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．‎ ‎1．在中，若tanA·tanB＜1，则该三角形一定是 ‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 ‎ C．直角三角形 D．以上都有可能 ‎2．已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，则a的取值范围是 A．8＜a<10 B．2＜a＜ C．2＜a＜10 D．＜a＜8‎ ‎3．（1）已知ABC中，，则=_______；‎ ‎（2）已知ABC中，A，,则=_______.‎ ‎4．在平面四边形中， 则的取值范围是 ．‎ ‎5．在中，C=60°，角的对边分别为则=_________．‎ ‎6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600 m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ‎ m．‎ ‎7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若cosB=，,求的面积.‎ 参考答案 ‎1．B　【解析】由已知条件，得 ‎ 说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负．因此一定是钝角三角形．‎ ‎2．B 【解析】若a是最大边，则即3＜a＜；若3是最大边，则,‎ 即3＞＞2；当a=3时符合题意，综上2＜a＜，故选B.‎ ‎3．（1）；（2） 2‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得.‎ ‎（2）方法一：设， ‎ 从而，‎ 又，所以=2.‎ 方法二：根据正弦定理的变形，可得.‎ ‎4． 【解析】如图，连接，设=，=．‎ 在中，根据正弦定理可得，则 又，所以．‎ 由则，‎ 所以．‎ ‎5．1 【解析】∵C=60°,∴a2+b2－c2=ab，∴a2+b2=ab+c2，‎ ‎∴‎ ‎6．　 【解析】依题意，，，‎ 在中，由，所以，‎ 因为 m，由正弦定理可得，即 m，‎ 在中，因为，，所以，‎ 所以 m．‎ ‎7．（I）=2；（II）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理，得 所以 =,‎ 即,‎ 即有,即,所以=2.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知=2,即c=2a,又因为,‎ 所以由余弦定理，得，即,‎ 解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，‎ 故的面积为=.‎ ‎1．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．‎ ‎2．三角形解的个数的探究（以已知和解三角形为例）‎ ‎（1）从代数角度来看：①若，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若，则满足条件的三角形的个数为1；③若，则满足条件的三角形的个数为1或2.‎ 注：对于（3），由可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.‎ ‎（2）从几何角度来看：①当A为锐角时，‎ 一解 一解 两解 无解 ‎②当A为钝角或直角时，‎ 一解 一解 无解 无解 ‎3．利用余弦定理解三角形的步骤 典例1 在中，若，求的取值范围．‎ ‎【错解】由正弦定理，可得 ‎  ‎ ‎【错因分析】错解中没有考虑角的取值范围，误认为角的取值范围为.‎ ‎【正解】由正弦定理可得 典例2 已知是钝角三角形的三边，求实数的取值范围.‎ ‎【错解】因为是三角形的三边，所以，‎ 所以是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），‎ 则，化简得，解得.‎ 又，所以.‎ ‎【错因分析】错解中只能保证都是正数，而要表示三角形的三边，还需满足三角形的隐含条件“两边之和大于等三边”. ‎ ‎【正解】因为是三角形的三边，所以，‎ 所以是三角形的最大边，设其所对的角为（钝角），‎ 则，化简得，解得.‎ 要使构成三角形，需满足即.‎ 结合，可得 ‎【名师点睛】在利用余弦定理求三角形的三边时，除了要保证三边长均为正数，还要判断一下三边能否构成三角形.‎