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文档介绍
黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二第二学期期中数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题). 1.已知函数f(x)=xsinx,则f'(π2)的值为( ) A.π2 B.0 C.﹣1 D.1 2.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为( ) A.a,b,c,d全都大于等于0 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d中至少有一个正数 D.a,b,c,d中至多有一个负数 3.(x2-2x)6的展开式中x3的系数为( ) A.90 B.160 C.﹣160 D.﹣120 4.有一段“三段论”,其推理是这样的:对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点…大前提因为函数f(x)=x3满足f′(0)=0,…小前提所以x=0是函数f(x)=x3的极值点”,结论以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 5.若直线y=kx﹣2与曲线y=2lnx相切,则k=( ) A.3 B.13 C.2 D.12 6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻, 额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 223=223,338=338,4415=4415,5524=5524 则按照以上规律,若88n=88n具有“穿墙术”,则n=( ) A.7 B.35 C.48 D.63 7.(理)01 (1-(x-1)2-x2)dx的值是( ) A.π4-13 B.π4-1 C.π2-13 D.π2-1 8.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( ) A.48 B.72 C.90 D.96 9.已知a∈R,函数f(x)=13x3﹣ax2+ax+2的导函数f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值,若函数g(x)=f'(x)x,则( ) A.g(x)在(1,+∞)上有最大值 B.g(x)在(1,+∞)上有最小值 C.g(x)在(1,+∞)上为减函数 D.g(x)在(1,+∞)上为增函数 10.某中学高二年级共有6个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级,且每班安排两名,则不同的安排方案种数为( ) A.A42•C42 B.12A62•C42 C.A62•C42 D.2A62 11.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c ,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=( ) A.VS1+S2+S3+S4 B.2VS1+S2+S3+S4 C.3VS1+S2+S3+S4 D.4VS1+S2+S3+S4 12.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( ) A.f(1k)<1k B.f(1k)>1k-1 C.f(1k-1)<1k-1 D.f(1k-1)>kk-1 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则最多形成不同的直线的条数为 . 14.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n﹣1)(n∈N*)时,从“n=k”到“n=k+1”的证明,左边需增添的代数式是 . 15.若函数f(x)=x2ex﹣a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 . 16.已知多项式(2x2+3x+1)(x﹣2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2= . 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛,分别求满足下列条件的安排方法种数: (1)甲、乙两人都不跑中间两棒; (2)甲、乙二人不都跑中间两棒. 18.已知函数f(x)=13x3-ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求 (1)实数a,b的值; (2)函数f(x)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值. 19.已知在二项式(3x+123x)n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求正整数n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项; 20.已知数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,且Sn是2a与﹣2nan的等差中项,其中a是不等于零的常数. (1)求a1,a2,a3; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明. 21.已知函数f(x)=xex﹣ln(x+l)﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明:函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点. 22.已知函数f(x)=mlnx+12x2-2x,m∈R. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)且f(x1)﹣ax2≥0恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知函数f(x)=xsinx,则f'(π2)的值为( ) A.π2 B.0 C.﹣1 D.1 【分析】先由复合函数的求导公式求出f′(x),再将x=π2代入计算求值. 解:函数f(x)=xsinx,f′(x)=sinx+xcosx, 则f′(π2)=sinπ2+π2cosπ2=1, 故选:D. 2.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为( ) A.a,b,c,d全都大于等于0 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d中至少有一个正数 D.a,b,c,d中至多有一个负数 【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立. 解:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”, 由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d全都大于等于0”, 故选:A. 3.(x2-2x)6的展开式中x3的系数为( ) A.90 B.160 C.﹣160 D.﹣120 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于3,求得r的值,即可求得展开式的x3项的系数. 解:二项式(x2-2x)6的展开式的通项公式为Tr+1=∁6r•x12﹣2r•(﹣2)r•x﹣r=(﹣2)r•∁6r•x12﹣3r, 令12﹣3r=3,解得r=3,故二项式(x2-2x)6展开式中的x3项的系数为:(﹣2)3×20=﹣160, 故选:C. 4.有一段“三段论”,其推理是这样的:对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点…大前提因为函数f(x)=x3满足f′(0)=0,…小前提所以x=0是函数f(x)=x3的极值点”,结论以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 【分析】在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不难得到结论. 解:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点, 而大前提是:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题, ∴大前提错误, 故选:A. 5.若直线y=kx﹣2与曲线y=2lnx相切,则k=( ) A.3 B.13 C.2 D.12 【分析】先设出切点,然后求出y=2lnx的切线方程,再根据切线过(0,﹣2)求出切点坐标,即可求出k的值. 解:设切点为(a,2lna), 因为y'=2x,故切线为:y﹣2lna=2a(x-a), 由题意知,切线过(0,﹣2), 所以﹣2﹣2lna=2a(0-a)=-2. 解得a=1.所以k=2a=2. 故选:C. 6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 223=223,338=338,4415=4415,5524=5524 则按照以上规律,若88n=88n具有“穿墙术”,则n=( ) A.7 B.35 C.48 D.63 【分析】观察所告诉的式子,找到其中的规律,问题得以解决. 【解答】解223=2222-1=223=2222-1,338=3332-1=338,4415=4442-1=4415,5524=5552-1=5524 则按照以上规律88n=88n,可得n=82﹣1=63, 故选:D. 7.(理)01 (1-(x-1)2-x2)dx的值是( ) A.π4-13 B.π4-1 C.π2-13 D.π2-1 【分析】根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可. 解:01 (1-(x-1)2-x2)dx=01 1-(x-1)2dx-01 x2dx, 设y=1-(x-1)2,则(x﹣1)2+y2=1,(y≥0),表示为圆心在(1,0),半径为1的上半圆的12,所以由积分的几何意义可知01 1-(x-1)2dx=14×π×12=π4, 而01 x2dx=13x3|01=13, 所以01 (1-(x-1)2-x2)dx=π4-13. 故选:A. 8.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( ) A.48 B.72 C.90 D.96 【分析】根据题意,分2种情况讨论选出参加竞赛的4人,①、选出的4人没有甲,②、选出的4人有甲,分别求出每一种情况下分选法数目,由分类计数原理计算可得答案. 解:根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛, 分2种情况讨论: ①、选出的4人没有甲,即选出其他4人即可,有A44=24种情况, ②、选出的4人有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法, 在剩余4人中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有A43=24种选法, 则此时共有3×24=72种选法, 则有24+72=96种不同的参赛方案; 故选:D. 9.已知a∈R,函数f(x)=13x3﹣ax2+ax+2的导函数f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值,若函数g(x)=f'(x)x,则( ) A.g(x)在(1,+∞)上有最大值 B.g(x)在(1,+∞)上有最小值 C.g(x)在(1,+∞)上为减函数 D.g(x)在(1,+∞)上为增函数 【分析】利用导函数的最小值求出a的范围,然后求解新函数的导数,判断函数的单调性与最值. 解:函数f(x)=13x3﹣ax2+ax+2的导函数f′(x)=x2﹣2ax+a.对称轴为:x=a, 导函数f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值, 令x2﹣2ax+a=0,可得方程在(﹣∞,1)有两个根,可得a<1△=4a2-4a>012-2a+a>0,解得:a<0 函数g(x)=f'(x)x=x+ax-2a. g′(x)=1-ax2, x∈(1,+∞),ax2<0, 1-ax2>0,∴g′(x)>0, g(x)在在(1,+∞)上为增函数. 故选:D. 10.某中学高二年级共有6个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级,且每班安排两名,则不同的安排方案种数为( ) A.A42•C42 B.12A62•C42 C.A62•C42 D.2A62 【分析】首先将4名学生均分成两组,选择完成以后要除以2,再从6个班级中选出2个班进行排列,最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数. 解:由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题 首先将4名学生均分成两组方法数为12C42, 再分配给6个班级中的2个分配方法数为A62, ∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为12A62C42, 故选:B. 11.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=( ) A.VS1+S2+S3+S4 B.2VS1+S2+S3+S4 C.3VS1+S2+S3+S4 D.4VS1+S2+S3+S4 【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可. 解:设四面体的内切球的球心为O, 则球心O到四个面的距离都是R, 所以四面体的体积等于以O为顶点, 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 V四面体A-BCD=13(S1+S2+S3+S4)R ∴R=3VS1+S2+S3+S4 故选:C. 12.若定义在一、选择题上的函数f(x)满足f(0)=﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( ) A.f(1k)<1k B.f(1k)>1k-1 C.f(1k-1)<1k-1 D.f(1k-1)>kk-1 【分析】根据导数的概念得出f(x)-f(0)x>k>1,用x=1k-1代入可判断出f(1k-1)>1k-1,即可判断答案. 【解答】解;∵f′(0)=limx→0f(x)-f(0)x-0 f′(x)>k>1, ∴f(x)-f(0)x>k>1, 即f(x)+1x>k>1, 当x=1k-1时,f(1k-1)+1>1k-1×k=kk-1, 即f(1k-1)>kk-1-1=1k-1 故f(1k-1)>1k-1, 所以f(1k-1)<1k-1,一定出错, 另解:设g(x)=f(x)﹣kx+1, g(0)=0,且g′(x)=f′(x)﹣k>0, g(x)在R上递增, k>1,对选项一一判断,可得C错. 故选:C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则最多形成不同的直线的条数为 18 . 【分析】由题意知本题是一个排列组合问题,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有A52种结果,在这些直线中有重复的直线,即1和2,2和4,会出现相同的直线,把不合题意的去掉. 解:由题意知本题是一个排列组合问题, ∵从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有A52=20种结果, 在这些直线中有重复的直线, 当A=1,B=2时和当A=2,B=4时,结果相同, 把A,B交换位置又有一组相同的结果, ∴所得不同直线的条数是20﹣2=18, 故答案为:18. 14.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n﹣1)(n∈N*)时,从“n=k”到“n=k+1”的证明,左边需增添的代数式是 2(2k+1) . 【分析】分别求出n=k时左边的式子,n=k+1时左边的式子,用n=k+1时左边的式子,除以n=k时左边的式子,即得所求. 解:当n=k时,左边等于 (k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k), 当n=k+1时,左边等于 (k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2), 故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是 (2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1), 故答案为 2(2k+1). 15.若函数f(x)=x2ex﹣a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 (0,4e2) . 【分析】求导函数,求出函数的极值,利用函数f(x)=x2ex﹣a恰有三个零点,即可求实数a的取值范围. 解:函数f(x)=x2ex的导数为y′=2xex+x2ex=xex (x+2), 令y′=0,则x=0或﹣2, ﹣2<x<0上单调递减,(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递增, ∴0或﹣2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0,f(﹣2)=4e﹣2=4e2. 函数f(x)=x2ex﹣a恰有三个零点,则实数a的取值范围是:(0,4e2). 故答案为:(0,4e2). 16.已知多项式(2x2+3x+1)(x﹣2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2= ﹣16 . 【分析】令x=0求得a0;令x=﹣1求得a0﹣a1+a2+…﹣a7=0,再根据a1为展开式中x的系数,相结合即可求得结论. 解:因为(2x2+3x+1)(x﹣2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 所以:令x=0可得﹣32=a0;① 令x=﹣1可得(2﹣3+1)×(﹣1﹣2)5=a0﹣a1+a2+…﹣a7=0;② 因为a1为展开式中x的系数,所以a1=3×∁55•(﹣2)5+1×∁54•(﹣2)4=﹣16;③ 联立①②③可得:a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2=a0﹣a1=﹣16; 故答案为:﹣16. 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛,分别求满足下列条件的安排方法种数: (1)甲、乙两人都不跑中间两棒; (2)甲、乙二人不都跑中间两棒. 【分析】(1)先排中间,再排1,4棒即可; (2)先求总数,再求符合条件的对立面的个数即可求解. 解:(1)先选跑中间的两人有A42=12种, 再从余下的6人中选跑1、4棒的有A42=12, 则共有12×12=144种. (2)用间接法:“不都跑”的否定是“都跑”, 所以用任意排法A64=360,再去掉甲、乙跑中间的安排方法A22⋅A42=24种, 它们的差是360﹣24=336种. 18.已知函数f(x)=13x3-ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求 (1)实数a,b的值; (2)函数f(x)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值. 【分析】(1)求出曲线的斜率,切点坐标,求出函数的导数,利用导函数值域斜率的关系,即可求出a,b. (2)求出导函数的符号,判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值. 解:(1)因为在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0, 所以切线斜率是k=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分) 且9×1+3f(1)﹣10=0, 求得f(1)=13,即点M(1,13)---------------------- 又函数f(x)=13x3-ax+b,则f′(x)=x2﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以依题意得f'(1)=1-a=-3f(1)=13-a+b=13---------------------- 解得a=4b=4---------------------- (2)由(1)知f(x)=13x3-4x+4 所以f′(x)=x2﹣4=(x+2)(x﹣2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令f′(x)=0,解得x=2或x=﹣2 当f′(x)>0⇒x>2或x<﹣2;当f′(x)<0⇒﹣2<x<2 所以函数f(x)的单调递增区间是(﹣∞,2),(2,+∞) 单调递减区间是(﹣2,2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又x∈[0,3] 所以当x变化时,f(x)和f′(x)变化情况如下表: X 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f′(x) ﹣ 0 + 0 f(x) 4 ↘ 极小值-43 ↗ 1 所以当x∈[0,3]时,f(x)max=f(0)=4, f(x)min=f(2)=-43---------------------- 19.已知在二项式(3x+123x)n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求正整数n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项; 【分析】(1)由等差数列的性质列式求得n=8; (2)根据二项式系数的性质,求得二项式系数最大的项; (3)由C8r(12)r≥C8r+1(12)r+1C8r(12)r≥C8r-1(12)r-1,解得2≤r≤3,结合通项公式可得第三项或第四项的系数最大. 解:(1)二项式(3x+123x)n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列, 可得2Cn1•12=Cn0+Cn2•14,解得n=1(舍去),或 n=8; (2)第r+1项的二项式系数为 Tr+1=C8r,故第5项的二项式系数最大,此时,r=4; (3)由C8r(12)r≥C8r+1(12)r+1C8r(12)r≥C8r-1(12)r-1,解得2≤r≤3. ∴系数最大的项为第三项或第四项. 20.已知数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,且Sn是2a与﹣2nan的等差中项,其中a是不等于零的常数. (1)求a1,a2,a3; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法加以证明. 【分析】(1)通过n=1,2,3,利用Sn=a﹣nan,求出a1,a2,a3的值即可. (2)根据(1)数列前3项的数值特征,猜想an的表达式,利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立,然后假设n=k时猜想成立,证明n=k+1时猜想也成立. 解:(1)由题意Sn=a﹣nan,…(1分) 当n=1时,S1=a1=a﹣a1,∴a1=a2; … 当n=2时,S2=a1+a2=a﹣2a2,∴a2=a6; … 当n=3时,S3=a1+a2+a3=a﹣3a3,∴a3=a12; … (2)猜想:an=an(n+1)(n∈N*).… 证明:①当n=1时,由(1)可知等式成立; … ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即:ak=ak(k+1),… 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1﹣Sk=a﹣(k+1)ak+1﹣(a﹣kak), ∴(k+2)ak+1=kak=a(k+1),∴ak+1=a(k+1)(k+2)=a(k+1)[(k+1)+1], 即n=k+1时等式也成立.… 综合①②知:an=an(n+1)对任意n∈N*均成立.… 21.已知函数f(x)=xex﹣ln(x+l)﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明:函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点. 【分析】(1)求出函数的导数,求出直线的斜率,求出切线方程即可; (2)求出函数的定义域,记g(x)=ex(x+1)2﹣x﹣2,求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可. 解:(1)当x=0时,f(0)=0, 由f(x)=xex﹣ln(x+1)﹣x, 得f′(x)=ex(x+1)-1x+1-1, 故斜率k=f′(0)=﹣1, 故切线方程是:y=﹣x; (2)由题意可知,函数的定义域是(﹣1,+∞), 由(1)知,f′(x)=ex(x+1)2-x-2x+1, 记g(x)=ex(x+1)2﹣x﹣2, 故g′(x)=ex(x2+4x+3)﹣1, 易知x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, 故g(x)在区间(0,+∞)递增, 故g(x)>g(0)=﹣1, ∵g(1)=4e﹣3>0, 故在区间(0,1)内必存在ξ,使得g(ξ)=0, 故当x∈(0,ξ)时,g(x)<0,即f′(x)<0, 故f(x)递减, 当x∈(ξ,1)时,g(x)>0,即f′(x)>0, 故f(x)递增, 故当x=ξ时,f(x)有最小值且为f(ξ), ∵f(0)=0, ∴f(ξ)<f(0)=0, 而f(1)=e﹣ln2﹣1>0, 故在区间(ξ,1)内存在唯一零点, 故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 22.已知函数f(x)=mlnx+12x2-2x,m∈R. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)且f(x1)﹣ax2≥0恒成立,求实数a的取值范围. 【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可; (2)问题可化为a≤x1(2-x1)lnx1+12x12-2x12-x1=x1lnx1+1-12x1-22-x1恒成立,令g(x)=xlnx+1-12x-22-x,x∈(0,1),根据函数的单调性求出g(x)的最小值,求出a的范围即可. 解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x)=mx+x﹣2=x2-2x+mx, 令f′(x)=0,得x2﹣2x+m=0,△=4(1﹣m), ①m≥1时,△≤0,f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,f(x)递增, ②m<1时,△>0,方程x2﹣2x+m=0的根是x1=1-1-m,x2=1+1-m, m≤0时,由f′(x)>0以及x>0得x>x2,f(x)在(1+1-m,+∞)递增, 0<m<1时,由f′(x)>0以及x>0得0<x<x1或x>x2时,f(x)递增; 综上,m≥1时,f(x)在(0,+∞)递增, 0<m<1时,f(x)在(0,1-1-m),(1+1-m,+∞)递增, m≤0时,f(x)在(1+1-m,+∞)递增; (2)由(1)知f(x)有2个极值点x1,x2(x1<x2)时, 则方程x2﹣2x+m=0有2个不等的正实数根, 则△=4(1-m)>0x1+x2=2x1x2=m>0, ∴m=x1(2﹣x1),0<x1<1,1<x2<2, 此时f(x)﹣ax2≥0恒成立, 等价于x1(2﹣x1)lnx1+12x12-2x1﹣a(2﹣x1)≥0对x1∈(0,1)恒成立, 可化为a≤x1(2-x1)lnx1+12x12-2x12-x1=x1lnx1+1-12x1-22-x1恒成立, 令g(x)=xlnx+1-12x-22-x,x∈(0,1), 则g′(x)=1+lnx-12-2(2-x)2=lnx+x(x-4)2(2-x)2, ∵x∈(0,1),∴lnx<0,x(x﹣4)<0, ∴g′(x)<0在(0,1)恒成立, ∴g(x)在(0,1)上单调递减, ∴g(x)>g(1)=-32, ∴a≤-32, 故实数a的取值范围是(﹣∞,-32]. 查看更多