高考数学一轮复习练案34第五章数列第二讲等差数列及其前n项和含解析

高考数学一轮复习练案34第五章数列第二讲等差数列及其前n项和含解析

‎ [练案34]第二讲　等差数列及其前n项和 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　D　)‎ A．12　 B．14　‎ C．16　 D．18‎ ‎[解析]　由a2＝2，a3＝4知d＝＝2.‎ 所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.故选D.‎ ‎2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a2 018＝1，则S2 020＝(　C　)‎ A．22 020　 B．2 021　‎ C．1 010　 D．21 010‎ ‎[解析]　因为{an}为等差数列，a3＋a2 018＝1，所以a1＋a2 020＝a3＋a2 018＝1，所以S2 020＝＝1 010，故选C.‎ ‎3．已知数列{an}为等差数列，a2＋a3＝1，以a10＋a11＝9，则a5＋a6＝(　A　)‎ A．4　 B．5　‎ C．6　 D．7‎ ‎[解析]　设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a3＝1，a10＋a11＝9，所以‎2a1＋3d＝1,‎2a1＋19d＝9，解得a1＝－，d＝，所以a5＋a6＝‎2a1＋9d＝－2×＋9×＝4.‎ 另解：a10＋a11－(a2＋a3)＝16d＝8⇒d＝，所以a5＋a6＝a2＋a3＋6d＝1＋3＝4.故选A.‎ ‎4．(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为(　B　)‎ A．‎1升　 B．升　‎ C．升　 D．升 ‎[解析]　设该等差数列为{an}，公差为d，‎ 由题意得即 解得 ‎∴a5＝＋4×＝.故选B.‎ ‎5．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d - 6 -‎ 的取值范围是(　D　)‎ A．d>　　 B．d< C.0‎ B．a1>0‎ C．当n＝5时Sn最小 D．Sn>0时，n最小值为8‎ ‎[解析]　∵a7＝‎3a5，∴a1＋6d＝‎3a1＋12d，‎ ‎∴a1＝－3d，由已知得d>0，‎ ‎∴a1<0，故A正确，B不正确．‎ Sn＝n2＋(a1－)n＝n2－dn＝(n2－7n)，‎ 当n＝3或4时，Sn最小，故C不正确．‎ Sn>0解得n>7或n<0，因此Sn>0时n最小 为8，故D正确，选A、D.‎ ‎8．(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且‎2a1＋‎3a3＝S6，给出以下结论正确的是(　ACD　)‎ - 6 -‎ A．a10＝0　　 B．S10最小 C．S7＝S12　　 D．S19＝0‎ ‎[解析]　∵‎2a1＋‎3a3＝S6，∴‎2a1＋‎3a1＋6d＝‎6a1＋15d，‎ ‎∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，‎ ‎∴a10＝0，故A正确；‎ ‎∵Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，‎ ‎∴S9＝S10，S7＝S12，S19＝0，故B错误，C、D正确，选A、C、D.‎ 三、填空题 ‎9．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝　　.‎ ‎[解析]　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.‎ ‎10．中位数为1 011的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为__3__.‎ ‎[解析]　设首项为a1，则a1＋2 019＝2×1 011，解得a1＝3.故填3.‎ ‎11．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝__3__.‎ ‎[解析]　因为S17＝×17＝‎17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.‎ ‎12．(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a‎2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是__16__.‎ ‎[解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d，则a‎2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋‎5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝‎9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝‎8a1＋28d＝－40＋56＝16.‎ 解法二：设等差数列{an}的公差为d.S9＝＝‎9a5＝27，a5＝3，又a‎2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，则S8＝＝4(a4＋a5)＝4(1＋3)＝16.‎ 四、解答题 ‎13．(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－15.‎ ‎(1)求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由a1＋a2＋a3＝－9，‎ 得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，‎ 由a‎1a2a3＝－15，得(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，‎ - 6 -‎ 解得d2＝4，d＝±2，‎ ‎∴an＝－2n＋1或an＝2n－7.‎ ‎(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝ ‎①当n≤3时，Sn＝－(a1＋…＋an)＝n＝6n－n2；　‎ ‎②当n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.‎ 综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝ ‎14．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.‎ ‎(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设{an}的公差为d.‎ 由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.‎ 于是a1＝8，d＝－2.‎ 因此{an}的通项公式为an＝10－2n.‎ ‎(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.‎ 由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，‎ 解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．‎ B组能力提升 ‎1．(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知a1＋a2＝3①，S5＝＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝，故选C.‎ ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S674＝2，S1 348＝12，则S2 022＝(　C　)‎ A．22　 B．26　‎ C．30　 D．34‎ ‎[解析]　由等差数列的性质知，S674，S1 348－S674，S2 022－S1 348成等差数列，则2(S1 348－S674)＝S674＋S2 022－S1 348，即2×(12－2)＝2＋S2 022－12，解得S2 022＝30.‎ - 6 -‎ ‎3．(2020·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 0180.‎ 所以S4 034＝＝2 017(a2 018＋S2 017)<0，S4 035＝＝4 ‎035a2 018>0，‎ 可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.‎ ‎4．(2020·郑州模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项的和为Sn，若－＝2，则S2 018＝__－2_108__.‎ ‎[解析]　设等差数列{an}的公差为d，因为＝a1＋(n－1)d，所以数列{}也成等差数列，由－＝2得{}的公差为1，因此＝＋(2 018－1)×1＝－1，则S2 018＝－2 018.‎ ‎5．(2020·广东七校第二次联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求证：数列{bn}为等差数列；‎ ‎(2)设数列{}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．‎ ‎[解析]　(1)因为bn＝，且an＋1＝，‎ 所以bn＋1＝＝＝1＋＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.‎ 又b1＝＝1，‎ 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，‎ 又bn＝，所以an＝＝.‎ 故＝＝－.‎ 所以Tn＝(－)＝1－＝.‎ - 6 -‎ - 6 -‎