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文档介绍
2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B= . 2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为 . 3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 . 4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为 . 5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 . 6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线 的右焦点重合,则实数p的值为 . 7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 . 8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为 . 9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为 . 11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 . 12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为 . 13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为 . 14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 . 二、解答题(共6小题,满分90分) 15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点. (1)求证:BN∥平面A1MC; (2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C. 16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=. (1)若C=2B,求cosB的值; (2)若=,求cos(B)的值. 17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N. (1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积; (2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大? 18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点( )处时,点Q的坐标为(). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程. 19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数. (1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值; (2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值; (3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值. 20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R). (1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值; (2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值; (3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1. [选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图 21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF. [选修4-2:矩阵与变换] 22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程. [选修4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值. [选修4-5:不等式选讲] 24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值. 25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4. (1)求直线AP与BM所成角的余弦值; (2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值. 26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn. (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想. 2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B= {1} . 【解答】解:∵集合A={x|x(x﹣4)<0}={x|0<x<4},B={0,1,5}, ∴A∩B={1}. 故答案为:{1}. 2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为 1 . 【解答】解:∵z=a+i, ∴(1+i)•z=(1+i)(a+i)=a﹣1+(a+1)i, 又(1+i)•z为为纯虚数, ∴a﹣1=0即a=1. 故答案为:1. 3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 1200 . 【解答】解:由频率分布直方图得: 该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的频率为: 1﹣(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3, ∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为: 4000×0.3=1200. 故答案为:1200. 4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为 1 . 【解答】解:根据题意知,执行程序后,输出函数 y=, 当x=0时,y=e0=1. 故答案为:1. 5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 . 【解答】解:口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4, 从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n==6, 摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有: (1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个, ∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=. 故答案为:. 6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为 6 . 【解答】解:∵双曲线的方程, ∴a2=4,b2=5,可得c==3, 因此双曲线的右焦点为F(3,0), ∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合, ∴=3,解之得p=6. 故答案为:6. 7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 (﹣∞,2] . 【解答】解:函数y=ex﹣a的值域为A ∵ex=2, ∴值域为A=[2﹣a,+∞). 又∵A⊆[0,+∞), ∴2﹣a≥0, 即a≤2. 故答案为:(﹣∞,2]. 8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为 . 【解答】解:∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,可得:tanα+tanβ+1=tanαtanβ, ∴tan(α+β)=═﹣1, ∵锐角α,β,可得:α+β∈(0,π), ∴α+β=. 故答案为:. 9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是 (0,] . 【解答】解:由函数y=sinωx,图象过原点,可得ω>0 在区间[0,2π]上单调递增, ∴, 即. 故答案为:(0,] 10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为 4034 . 【解答】解:因为 Sn为等差数列{an}的前n项和,且{an} 的前2017项中的奇数项和为2018, 所以S奇=a1+a3+a5+…+a2017=1009×(a1+a2017)×=1009×a1009=2018,得a1009=2. 则 S偶=a2+a4+a6+…+a2016=1008×(a2+a2016)×=1008×a1009=1008×2=2016 则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034. 故答案为:4034. 11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 [1,) . 【解答】解:由0≤x≤3可得f(x)∈[0,], x>3时,f(x)∈(0,1). 画出函数y=f(x)与y=m的图象,如图所示, ∵函数y=f(x)﹣m有四个不同的零点, ∴函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点, 由图象可得m的取值范围为[1,), 故答案为:[1,). 12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为 ﹣ . 【解答】解:设P(x1,y1),Q(x2,y2); 则y1=k(x1﹣3)①, +(y2﹣1)2=1②; 由=3,得, 即, 代入②得+=9; 此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r; 即≤3, 解得﹣≤k≤0. ∴实数k的最小值为﹣. 故答案为:﹣. 13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为 24 . 【解答】解:建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0), 那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣, ),D2(﹣,0),D3(﹣,), 此时=(﹣,﹣),=(﹣,﹣),=(﹣,﹣5),=(﹣,﹣), 则•=21,•=24,•=22.5, 则的最大值为24, 故答案为:24. 14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 100 . 【解答】解:∵ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC,由正弦定理可得:kb2+ac>19bc, ∴k>, 只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c>b时,表达式才能取得最大值, 又∵c﹣b<a<b+c, ∴﹣b﹣c<﹣a<b﹣c, ∴<19+()=20﹣()2=100﹣(﹣10)2, 当=10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102=100. ∴k≥100,即实数k的最小值为100. 故答案为:100 二、解答题(共6小题,满分90分) 15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点. (1)求证:BN∥平面A1MC; (2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C. 【解答】证明:(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1, 又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N. 所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN. 又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC; (2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1, 所以侧面ABB1A1⊥底面ABC. 又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB. 则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB, CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1. 又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM. 又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC=M, 所以AB1⊥平面A1MC. 又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C. 16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=. (1)若C=2B,求cosB的值; (2)若=,求cos(B)的值. 【解答】解:(1)因为c=,则由正弦定理,得sinC=sinB. …(2分) 又C=2B,所以sin2B=sinB,即2sinBcosB=sinB. …(4分) 又B是△ABC的内角,所以sinB>0,故cosB=. …(6分) (2)因为=,所以cbcosA=bacosC,则由余弦定理, 得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2,得a=c. …(10分) 从而cosB==,…(12分) 又0<B<π,所以sinB==. 从而cos(B+)=cosBcos﹣sinBsin=. …(14分) 17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N. (1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积; (2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大? 【解答】解:(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE=OF=OM=R, 在Rt△OET中,因为∠EOT=∠EOF=60°, 所以OT=,则MT=0M﹣OT=. 从而BE=MT=,即R=2BE=2. 故所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣, 又所得柱体的高EG=4, 所以V=S×EG=﹣4. 答:当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米. (2)设BE=x,则R=2x,所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=(﹣)x2, 又所得柱体的高EG=6﹣2x, 所以V=S×EG=(﹣2)(﹣x3+3x2),其中0<x<3. 令f(x)=﹣x3+3x2,0<x<3, 则由f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2)=0, 解得x=2. 列表如下: x (0,2) 2 (2,3) f′(x) + 0 ﹣ f(x) 增 极大值 减 所以当x=2时,f(x)取得最大值. 答:当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. 18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为(). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程. 【解答】解:(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y=x﹣, 令x=0,得点B的坐标为(0,﹣). 所以椭圆的方程为+=1. 将点N的坐标(,)代入,得+=1,解得a2=4. 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2):设直线BM的斜率为k(k>0),则直线BM的方程为y=x﹣. 在y=kx﹣中,令y=0,得xP=, 而点Q是线段OP的中点,所以xQ=. 所以直线BN的斜率kBN=kBQ==2k. 联立,消去y,得(3+4k2)x2﹣8kx=0,解得xM=. 用2k代k,得xN=. 又=2, 所以xN=2(xM﹣xN),得2xM=3xN, 故2×==3×,又k>0,解得k=. 所以直线BM的方程为y=x﹣ 19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数. (1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值; (2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值; (3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值. 【解答】解:(1)由题意,可得a=(an+d)(an﹣d)+λd2, 化简得(λ﹣1)d2=0,又d≠0,所以λ=1. (2)将a1=1,a2=2,a3=4,代入条件, 可得4=1×4+λ,解得λ=0, 所以a=an+1an﹣1,所以数列{an}是首项为1,公比q=2的等比数列, 所以an=2n﹣1. 欲存在r∈[3,7], 使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立, 则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立. 令bn=,则bn+1﹣bn=﹣=, 所以当n>8时,bn+1<bn;当n=8时,b9=b8;当n<8时,bn+1>bn. 所以bn的最大值为b9=b8=,所以m的最小值为; (3)因为数列{an}不是常数列,所以T≥2, ①若T=2,则an+2=an恒成立,从而a3=a1,a4=a2, 所以, 所以λ(a2﹣a1)2=0,又λ≠0,所以a2=a1,可得{an}是常数列,矛盾. 所以T=2不合题意. ②若T=3,取an=(*),满足an+3=an恒成立. 由a22=a1a3+λ(a2﹣a1)2,得λ=7. 则条件式变为an2=an+1an﹣1+7. 由22=1×(﹣3)+7,知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ(a2﹣a1)2; 由(﹣3)2=2×1+7,知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ(a2﹣a1)2; 由12=2×(﹣3)+7,知a3k+12=a3ka3k+2+λ(a2﹣a1)2; 所以,数列(*)适合题意. 所以T的最小值为3. 20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R). (1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值; (2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值; (3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1. 【解答】解:(1)由f(x)=lnx,得f(1)=0,又f′(x)=,所以f′(1)=1, 当c=0时,g(x)=ax+,所以g′(x)=a﹣, 所以g′(1)=a﹣b, 因为函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线, 所以,即, 解得a=,b=﹣; (2)当x0>1时,则f(x0)>0,又b=3﹣a,设t=f(x0), 则题意可转化为方程ax+﹣c=t(t>0)在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2. 即关于x的方程ax2﹣(c+t)x+(3﹣a)=0(t>0) 在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2. 所以,得, 所以c>2﹣t对t∈(0,+∞),a∈(0,3)恒成立. 因为0<a<3,所以2≥2•=3(当且仅当a=时取等号), 又﹣t<0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3. 故c的最小值为3. (3)当a=1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点, 所以,两式相减,得b=x1x2(1﹣), 要证明x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1, 即证x1x2﹣x2<x1x2(1﹣)<x1x2﹣x1, 即证<<, 即证1﹣<ln<﹣1 令=t,则t>1,此时即证1﹣<lnt<t﹣1. 令φ(t)=lnt+﹣1,所以φ′(t)=﹣=>0, 所以当t>1时,函数φ(t)单调递增. 又φ(1)=0,所以φ(t)=lnt+﹣1>0,即1﹣<lnt成立; 再令m(t)=lnt﹣t+1,所以m′(t)=﹣1=<0, 所以当t>1时,函数m(t)单调递减, 又m(1)=0,所以m(t)=lnt﹣t+1<0,即lnt<t﹣1也成立. 综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1. [选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图 21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF. 【解答】解:如图,连接AE,OE, 因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE, 又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE=∠OEA,① 在⊙O中,OE=OA,所以∠OEA=∠OAE,②…(5分) 由①②得∠DAE=∠OAE,即∠DAE=∠FAE, 又∠ADE=∠AFE,AE=AE, 所以△ADE≌△AFE,所以DE=FE, 又DE=4,所以FE=4, 即E到直径AB的距离为4.…(10分) [选修4-2:矩阵与变换] 22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程. 【解答】解:设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点, 则=1, 设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y), 则=, 即,解得,…(5分) 代入=1,得=1, ∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1.…(10分) [选修4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值. 【解答】解:直线ρcos(θ+)=1,转化为:, 曲线ρ=r(r>0)转化为:x2+y2=r2, 由于直线和圆相切, 则:圆心到直线的距离d=. 所以r=1. [选修4-5:不等式选讲] 24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值. 【解答】解:由柯西不等式,得[x2+()2][12+()2]≥(x•1+)2, 即≥(x+y)2. 而x2+3y2=1,所以(x+y)2,所以﹣,…(5分) 由,得,所以当且仅当x=,y=时,(x+y)max=. 所以当x+y取最大值时x值为.…(10分) 25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4. (1)求直线AP与BM所成角的余弦值; (2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值. 【解答】解:(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD, 以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2). =(﹣2,0,4),=(01,﹣1,2), cos<,>===. 故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分) (2)=(﹣2,1,0),=(﹣1,﹣1,2). 设平面ABM的一个法向量为=(x,y,z), 则,令x=2,得=(2,4,3). 又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0), ∴cos<>===. 故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分) 26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn. (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想. 【解答】解:(1)由条件,nf(n)=CCCC①, 在①中令n=1,得f(1)=1. 在①中令n=2,得2f(2)=6,得f(2)=3. 在①中令n=3,得3f(3)=30,故f(3)=10. (2)猜想f(n)=. 要证猜想成立,只要证等式n=•+2•+…+n• 成立. 由(1+x)n=+x+x2+…+xn①, 两边同时对x求导数,可得n(1+x)n﹣1=+2x+3x2+nxn﹣1②, 把等式①和②相乘,可得n(1+x)2n﹣1=(+x+x2+…+xn )•(+2x+3x2+nxn﹣1 ) ③. 等式左边xn的系数为n,等式右边xn的系数为•+•2+•3+…+n•n =•+2•+3•+…+n•=CCCC, 根据等式③恒成立,可得n=CCCC. 故f(n)= 成立. 查看更多