2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

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文档介绍

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

‎2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B=   .‎ ‎2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为   .‎ ‎3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为   .‎ ‎4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为   .‎ ‎5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为   .‎ ‎6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线 的右焦点重合,则实数p的值为   .‎ ‎7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是   .‎ ‎8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为   .‎ ‎9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是   .‎ ‎10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为   .‎ ‎11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是   .‎ ‎12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为   .‎ ‎13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为   .‎ ‎14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为   .‎ ‎ ‎ 二、解答题(共6小题,满分90分)‎ ‎15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.‎ ‎(1)求证:BN∥平面A1MC;‎ ‎(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.‎ ‎16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=.‎ ‎(1)若C=2B,求cosB的值;‎ ‎(2)若=,求cos(B)的值.‎ ‎17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.‎ ‎(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;‎ ‎(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?‎ ‎18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点(‎ ‎)处时,点Q的坐标为().‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程.‎ ‎19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.‎ ‎(1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值;‎ ‎(2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值;‎ ‎(3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.‎ ‎20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R).‎ ‎(1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值;‎ ‎(2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值;‎ ‎(3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.‎ ‎ ‎ ‎[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图 ‎21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值.‎ ‎25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.‎ ‎(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.‎ ‎26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn.‎ ‎(1)求f(1),f(2),f(3)的值;‎ ‎(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.‎ ‎ ‎ ‎2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣4)<0},B={0,1,5},则A∩B= {1} .‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|x(x﹣4)<0}={x|0<x<4},B={0,1,5},‎ ‎∴A∩B={1}.‎ 故答案为:{1}.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)•z为纯虚数,则a的值为 1 .‎ ‎【解答】解:∵z=a+i,‎ ‎∴(1+i)•z=(1+i)(a+i)=a﹣1+(a+1)i,‎ 又(1+i)•z为为纯虚数,‎ ‎∴a﹣1=0即a=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为 1200 .‎ ‎【解答】解:由频率分布直方图得:‎ 该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的频率为:‎ ‎1﹣(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3,‎ ‎∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为:‎ ‎4000×0.3=1200.‎ 故答案为:1200.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为 1 .‎ ‎【解答】解:根据题意知,执行程序后,输出函数 y=,‎ 当x=0时,y=e0=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ‎ ‎ .‎ ‎【解答】解:口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,‎ 从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n==6,‎ 摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有:‎ ‎(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,‎ ‎∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为 6 .‎ ‎【解答】解:∵双曲线的方程,‎ ‎∴a2=4,b2=5,可得c==3,‎ 因此双曲线的右焦点为F(3,0),‎ ‎∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合,‎ ‎∴=3,解之得p=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)设函数y=ex﹣a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 (﹣∞,2] .‎ ‎【解答】解:函数y=ex﹣a的值域为A ‎∵ex=2,‎ ‎∴值域为A=[2﹣a,+∞).‎ 又∵A⊆[0,+∞),‎ ‎∴2﹣a≥0,‎ 即a≤2.‎ 故答案为:(﹣∞,2].‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,则α+β的值为  .‎ ‎【解答】解:∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)=2,可得:tanα+tanβ+1=tanαtanβ,‎ ‎∴tan(α+β)=═﹣1,‎ ‎∵锐角α,β,可得:α+β∈(0,π),‎ ‎∴α+β=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)若函数y=sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是 (0,] .‎ ‎【解答】解:由函数y=sinωx,图象过原点,可得ω>0‎ 在区间[0,2π]上单调递增,‎ ‎∴,‎ 即.‎ 故答案为:(0,]‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若{an}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为 4034 .‎ ‎【解答】解:因为 Sn为等差数列{an}的前n项和,且{an}‎ 的前2017项中的奇数项和为2018,‎ 所以S奇=a1+a3+a5+…+a2017=1009×(a1+a2017)×=1009×a1009=2018,得a1009=2.‎ 则 S偶=a2+a4+a6+…+a2016=1008×(a2+a2016)×=1008×a1009=1008×2=2016 ‎ 则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034.‎ 故答案为:4034.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=,若函数y=f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 [1,) .‎ ‎【解答】解:由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],‎ x>3时,f(x)∈(0,1).‎ 画出函数y=f(x)与y=m的图象,如图所示,‎ ‎∵函数y=f(x)﹣m有四个不同的零点,‎ ‎∴函数y=f(x)与y=m的图象有4个交点,‎ 由图象可得m的取值范围为[1,),‎ 故答案为:[1,).‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=k(x﹣3)上存在一点P,圆x2+(y﹣1)2=1上存在一点Q,满足=3,则实数k的最小值为 ‎ ﹣ .‎ ‎【解答】解:设P(x1,y1),Q(x2,y2);‎ 则y1=k(x1﹣3)①,‎ ‎+(y2﹣1)2=1②;‎ 由=3,得,‎ 即,‎ 代入②得+=9;‎ 此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r;‎ 即≤3,‎ 解得﹣≤k≤0.‎ ‎∴实数k的最小值为﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为 24 .‎ ‎【解答】解:建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),‎ 那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,‎ ‎),D2(﹣,0),D3(﹣,),‎ 此时=(﹣,﹣),=(﹣,﹣),=(﹣,﹣5),=(﹣,﹣),‎ 则•=21,•=24,•=22.5,‎ 则的最大值为24,‎ 故答案为:24.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)若不等式ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为 100 .‎ ‎【解答】解:∵ksin2B+sinAsinC>19sinBsinC,由正弦定理可得:kb2+ac>19bc,‎ ‎∴k>,‎ 只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c>b时,表达式才能取得最大值,‎ 又∵c﹣b<a<b+c,‎ ‎∴﹣b﹣c<﹣a<b﹣c,‎ ‎∴<19+()=20﹣()2=100﹣(﹣10)2,‎ 当=10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102=100.‎ ‎∴k≥100,即实数k的最小值为100.‎ 故答案为:100‎ ‎ ‎ 二、解答题(共6小题,满分90分)‎ ‎15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.‎ ‎(1)求证:BN∥平面A1MC;‎ ‎(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.‎ ‎【解答】证明:(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,‎ 又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.‎ 所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN. ‎ 又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC;‎ ‎(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,‎ 所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.‎ 又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.‎ 则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,‎ CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.‎ 又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM. ‎ 又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC=M,‎ 所以AB1⊥平面A1MC. ‎ 又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.‎ ‎ ‎ ‎16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c=.‎ ‎(1)若C=2B,求cosB的值;‎ ‎(2)若=,求cos(B)的值.‎ ‎【解答】解:(1)因为c=,则由正弦定理,得sinC=sinB. …(2分)‎ 又C=2B,所以sin2B=sinB,即2sinBcosB=sinB. …(4分)‎ 又B是△ABC的内角,所以sinB>0,故cosB=. …(6分)‎ ‎(2)因为=,所以cbcosA=bacosC,则由余弦定理,‎ 得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2,得a=c. …(10分)‎ 从而cosB==,…(12分)‎ 又0<B<π,所以sinB==.‎ 从而cos(B+)=cosBcos﹣sinBsin=. …(14分)‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.‎ ‎(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;‎ ‎(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?‎ ‎【解答】解:(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE=OF=OM=R,‎ 在Rt△OET中,因为∠EOT=∠EOF=60°,‎ 所以OT=,则MT=0M﹣OT=.‎ 从而BE=MT=,即R=2BE=2.‎ 故所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣,‎ 又所得柱体的高EG=4,‎ 所以V=S×EG=﹣4.‎ 答:当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.‎ ‎(2)设BE=x,则R=2x,所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=(﹣)x2,‎ 又所得柱体的高EG=6﹣2x,‎ 所以V=S×EG=(﹣2)(﹣x3+3x2),其中0<x<3.‎ 令f(x)=﹣x3+3x2,0<x<3,‎ 则由f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2)=0,‎ 解得x=2.‎ 列表如下:‎ x ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 增 极大值 减 所以当x=2时,f(x)取得最大值.‎ 答:当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程.‎ ‎【解答】解:(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y=x﹣,‎ 令x=0,得点B的坐标为(0,﹣).‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ 将点N的坐标(,)代入,得+=1,解得a2=4.‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2):设直线BM的斜率为k(k>0),则直线BM的方程为y=x﹣.‎ 在y=kx﹣中,令y=0,得xP=,‎ 而点Q是线段OP的中点,所以xQ=.‎ 所以直线BN的斜率kBN=kBQ==2k.‎ 联立,消去y,得(3+4k2)x2﹣8kx=0,解得xM=.‎ 用2k代k,得xN=.‎ 又=2,‎ 所以xN=2(xM﹣xN),得2xM=3xN,‎ 故2×==3×,又k>0,解得k=.‎ 所以直线BM的方程为y=x﹣‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)设数列{an}满足a=an+1an﹣1+λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.‎ ‎(1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值;‎ ‎(2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m•an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值;‎ ‎(3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,可得a=(an+d)(an﹣d)+λd2,‎ 化简得(λ﹣1)d2=0,又d≠0,所以λ=1.‎ ‎(2)将a1=1,a2=2,a3=4,代入条件,‎ 可得4=1×4+λ,解得λ=0,‎ 所以a=an+1an﹣1,所以数列{an}是首项为1,公比q=2的等比数列,‎ 所以an=2n﹣1.‎ 欲存在r∈[3,7],‎ 使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,‎ 则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.‎ 令bn=,则bn+1﹣bn=﹣=,‎ 所以当n>8时,bn+1<bn;当n=8时,b9=b8;当n<8时,bn+1>bn.‎ 所以bn的最大值为b9=b8=,所以m的最小值为;‎ ‎(3)因为数列{an}不是常数列,所以T≥2,‎ ‎①若T=2,则an+2=an恒成立,从而a3=a1,a4=a2,‎ 所以,‎ 所以λ(a2﹣a1)2=0,又λ≠0,所以a2=a1,可得{an}是常数列,矛盾.‎ 所以T=2不合题意.‎ ‎②若T=3,取an=(*),满足an+3=an恒成立. ‎ 由a22=a1a3+λ(a2﹣a1)2,得λ=7.‎ 则条件式变为an2=an+1an﹣1+7.‎ 由22=1×(﹣3)+7,知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ(a2﹣a1)2;‎ 由(﹣3)2=2×1+7,知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ(a2﹣a1)2;‎ 由12=2×(﹣3)+7,知a3k+12=a3ka3k+2+λ(a2﹣a1)2;‎ 所以,数列(*)适合题意.‎ 所以T的最小值为3.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+(a,b,c∈R).‎ ‎(1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值;‎ ‎(2)当b=3﹣a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值;‎ ‎(3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点.求证:x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=lnx,得f(1)=0,又f′(x)=,所以f′(1)=1,‎ 当c=0时,g(x)=ax+,所以g′(x)=a﹣,‎ 所以g′(1)=a﹣b,‎ 因为函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,‎ 所以,即,‎ 解得a=,b=﹣;‎ ‎(2)当x0>1时,则f(x0)>0,又b=3﹣a,设t=f(x0),‎ 则题意可转化为方程ax+﹣c=t(t>0)在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2. ‎ 即关于x的方程ax2﹣(c+t)x+(3﹣a)=0(t>0)‎ 在(0,+∞)上有相异两实根x1,x2. ‎ 所以,得,‎ 所以c>2﹣t对t∈(0,+∞),a∈(0,3)恒成立. ‎ 因为0<a<3,所以2≥2•=3(当且仅当a=时取等号),‎ 又﹣t<0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.‎ 故c的最小值为3.‎ ‎(3)当a=1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,‎ 所以,两式相减,得b=x1x2(1﹣),‎ 要证明x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1,‎ 即证x1x2﹣x2<x1x2(1﹣)<x1x2﹣x1,‎ 即证<<,‎ 即证1﹣<ln<﹣1‎ 令=t,则t>1,此时即证1﹣<lnt<t﹣1.‎ 令φ(t)=lnt+﹣1,所以φ′(t)=﹣=>0,‎ 所以当t>1时,函数φ(t)单调递增.‎ 又φ(1)=0,所以φ(t)=lnt+﹣1>0,即1﹣<lnt成立;‎ 再令m(t)=lnt﹣t+1,所以m′(t)=﹣1=<0,‎ 所以当t>1时,函数m(t)单调递减,‎ 又m(1)=0,所以m(t)=lnt﹣t+1<0,即lnt<t﹣1也成立.‎ 综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2<b<x1x2﹣x1.‎ ‎ ‎ ‎[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1:几何证明选讲]图 ‎21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE=4,求切点E到直径AB的距离EF.‎ ‎【解答】解:如图,连接AE,OE,‎ 因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,‎ 又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE=∠OEA,①‎ 在⊙O中,OE=OA,所以∠OEA=∠OAE,②…(5分)‎ 由①②得∠DAE=∠OAE,即∠DAE=∠FAE,‎ 又∠ADE=∠AFE,AE=AE,‎ 所以△ADE≌△AFE,所以DE=FE,‎ 又DE=4,所以FE=4,‎ 即E到直径AB的距离为4.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.(10分)已知矩阵M=,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.‎ ‎【解答】解:设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点,‎ 则=1,‎ 设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),‎ 则=,‎ 即,解得,…(5分)‎ 代入=1,得=1,‎ ‎∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在极坐标系中,直线ρcos(θ+)=1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.‎ ‎【解答】解:直线ρcos(θ+)=1,转化为:,‎ 曲线ρ=r(r>0)转化为:x2+y2=r2,‎ 由于直线和圆相切,‎ 则:圆心到直线的距离d=.‎ 所以r=1.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知实数x,y满足x2+3y2=1,求当x+y取最大值时x的值.‎ ‎【解答】解:由柯西不等式,得[x2+()2][12+()2]≥(x•1+)2,‎ 即≥(x+y)2.‎ 而x2+3y2=1,所以(x+y)2,所以﹣,…(5分)‎ 由,得,所以当且仅当x=,y=时,(x+y)max=.‎ 所以当x+y取最大值时x值为.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.‎ ‎(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;‎ ‎(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,‎ 以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.‎ 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).‎ ‎=(﹣2,0,4),=(01,﹣1,2),‎ cos<,>===.‎ 故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)‎ ‎(2)=(﹣2,1,0),=(﹣1,﹣1,2).‎ 设平面ABM的一个法向量为=(x,y,z),‎ 则,令x=2,得=(2,4,3).‎ 又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),‎ ‎∴cos<>===.‎ 故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)已知n∈N*,nf(n)=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn.‎ ‎(1)求f(1),f(2),f(3)的值;‎ ‎(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.‎ ‎【解答】解:(1)由条件,nf(n)=CCCC①,‎ 在①中令n=1,得f(1)=1. ‎ 在①中令n=2,得2f(2)=6,得f(2)=3. ‎ 在①中令n=3,得3f(3)=30,故f(3)=10. ‎ ‎(2)猜想f(n)=.‎ 要证猜想成立,只要证等式n=•+2•+…+n• 成立.‎ 由(1+x)n=+x+x2+…+xn①,‎ 两边同时对x求导数,可得n(1+x)n﹣1=+2x+3x2+nxn﹣1②,‎ 把等式①和②相乘,可得n(1+x)2n﹣1=(+x+x2+…+xn )•(+2x+3x2+nxn﹣1 ) ③.‎ 等式左边xn的系数为n,等式右边xn的系数为•+•2+•3+…+n•n ‎=•+2•+3•+…+n•=CCCC,‎ 根据等式③恒成立,可得n=CCCC.‎ 故f(n)= 成立.‎ ‎ ‎
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