山东省实验中学2020届高三第一次诊断性考试数学试题 含答案

山东省实验中学2020届高三第一次诊断性考试数学试题 含答案

山东省实验中学 2020 届高三 第一次诊断性考试数学试题 2019 年 10 月 说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷为第 1 页 至第 2 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页。试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡 规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题，共 52 分) 一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题绐出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.若 S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则 S 中元素个数是 A．4 B．5 C．6 D．7 2．己知函数 ，则 等于 A．4 B． C． D． 3．己知命题 p： ，则 为 A． B． C． D． 4．在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，若 ， 则 的形状是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D.不确定 5．已知 ，若 的最大值为 M， 的最小值为 N， 则 M+N 等于 A．0 B．2 C． D． 6．在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，已知 ， 则此三角形的解的情况是 A．有一解 B．有两解 ( ) 1f x x = ( )2f ′ − 1 4 4− 1 4 − ,2 1000nn N∃ ∈ > p¬ ,2 1000nn N∀ ∈ < ,2 1000nn N∀ ∉ < ,2 1000nn N∀ ∈ ≤ ,2 1000nn N∀ ∉ ≤ ABC∆ , ,a b c sin sin sina A b B c C+ < ABC∆ ( ) [ ]3=sin 1, 2 ,2f x x x x π π− + ∈ − ( )f x ( )f x 4π 38π ABC∆ , ,a b c 40, 20,C 60b c= = =  C．无解 D．有解但解的个数不确定 7．若一扇形的圆心角为 ，半径为 20cm，则扇形的面积为 A． B． C． D． 8.20 世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发 芽开花，己知碳 14 半衰期为 5730 年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要 的时间)，若 1 单位的碳 14 经过 x 年后剩余量为 y 单位，则 y 关于 x 的函数表达式是 A． B． C． D． 9．计算 等于 A． B． C． D．2 10．函数 恰有一个零点，则实数 的值为 A．4 B．3 C． D． 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。) 11．给出下列关系，其中正确的选项是 A． B． C． D． 12．以下说法正确的是 A. B.已知 是幂函数，则 m 的值为 4 C． D．钝角是第二象限的角 13．己知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的一个周期是 B． 的图像关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在 单调递减 72 240 cmπ 280 cmπ 240cm 280cm 57302 x y −= 57302 x y = 57301 2 x y −= − ( )57301 2 x y −= − 2 2sin 13 cos 58 2 sin13 cos58+ +    1 2 2 2 3 2 ( ) 22 ln 3f x x x x ax= + − + a 6 3 { }{ }∅∈ ∅ { }{ }∅ ∪ ∅ { }∅∈ ∅ { }∅ ⊆ ∅ 1a aa − = − ( )2 3 3 my m m x= − − ( )2 2 2 2 1log 3 4log 3 4 log 23 − + + = − ( ) cos 3f x x π = +   ( )f x 2π− ( )y f x= 8 3x π= ( )f x 6 π ( )f x ,2 π π     第 II 卷(非选择题，共 98 分) 三、填空题(本大题共 4 小题。每小题 4 分，共 16 分，15 题每空 2 分) 14.设 _________； 15．已知曲线 ，则为了得到曲线 ，首先要把 上各 点的横坐标变为到原来的____倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移____个单位长 度；(本题所填数字要求为正数) 16．若 ，则 的最小值是___________； 17．已知 是函数 的零点， 是函数 的零点， 则 的值为__________． 四、解答题(本大题共 6 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 18．(本小题 10 分)已知函数 ( >0 且 ≠1)的图像过点(9，2) (I)求函数 g(x)的解析式； (II)解不等式 ． 19．(本小题 12 分)已知命题 ，不等式 成立”是真命题． (I)求实数 的取值范围； (II)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 20．(本小题 14 分)如图，在△ABC 中，边 AB=2， ，且点 D 在线段 BC 上， (I)若 ，求线段 AD 的长； (II)若 BD=2DC， ，求△ABD 的面积. ( ) ( ) ( ) 1ln , 1 , 1 ,xf x ae b x f e f a be ′ ′= + = − = + =且 则 1 2 2: cos , : sin 2 3C y x C y x π = = +   1C 2C 0 1x< < 1 8 1x x + − 1x ( ) 2 2xf x x= + − 2x ( ) ( )2log 1 3g x x x= − + − 1 2x x+ ( ) logag x x= a a ( ) ( )3 1 5g x g x− > − + : 1 1p x∀− ≤ ≤“ 2x x m− − < 0 m : 4 4q m a− < − < p a 1cos 3B = 3 4ADC π∠ = sin 4 2sin BAD CAD ∠ =∠ 21．(本小题 14 分) 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 以及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 内(含边界)，且与 A，B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长 为 km． (I)设 ，将 表示成 的函数关系式； (II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值． 22．(本小题 16 分) 设函数 ，直线 是曲线 的切线， (I)当 时，求 的极大值； (II)曲线 是否存在“上夹线”，若存在，请求出 的“上夹线”方程；若不存在， 请说明理由． 【注】设直线 ，曲线 ，若直线 和曲线 同时满足下列条件： ①直线 和曲线 S 相切且至少有两个切点； ②对任意的 ，都有直线 ．则称直线 为曲线 S 的“上夹线”． 23．(本小题 16 分)已知函数： (I)当 时，求 的最小值； (II)对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数 a 的取值范 y BAO θ∠ = y θ ( ) cosF x x x= + y mx n= + ( )y F x= 0 2x π≤ ≤ m n− ( )y F x= ( )F x ( ):l y g x= ( ):S y F x= l S l x R∈ ( ) ( )g x F x≥ l ( ) ( )21 ln , 12 xf x x a x a g x e x= − − = − − [ ]1,x e∈ ( )f x [ ]1 0,1x ∈ [ ]2 1,x e∈ ( ) ( )1 2g x f x= 围． 山东省实验中学 2020 届高三 第一次诊断性考试数学试题答案 一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.A 二、多项选择题 11.BCD 12.BD 13.ABC 三、填空题 14.1 15.2， 16. 17.3 四、解答题 18.（I）因为 ，所以 ，即 ………………………………5 分 （II）因为 单调递增，所以 即不等式的解集是 ………………………………………………………………10 分 19. （ I ） 由 题 意 恒 成 立 ， 因 为 ， 所 以 ，所以实数 m 的取值范围是 …8 分 （II）由 q 得 ，因为 ，所以 ，所以实数 的取 值范围是 ………………………………………………………………………12 分 20.（I）由 所以 ……………………………………………………………………………6 分 （II）由 ，所以 ， 因为 ，所以 ，………………………………9 分 在 中，由余弦定理得 ， 6 π 9 4 2+ log 9 2a = 3a = ( ) 3logg x x= ( )g x 3 1 5 0,x x− > − + > 3 ,52      2 1 1m x x x> − − ≤ ≤在 2 2 1 1 2 4x x x − = − −   21 2 2x x m− ≤ − ≤ >，即 ( )2,+∞ 4 4a m a− < < + q p⇒ 4 2 6a a− ≥ ≥，即 a [ )6,+∞ 1 2 2cos , sin ,3 3 sin sin 4 AD ABB B ABD π= = =∠得 ，因为 8 3AD = 2 2BAD CAD SBD DC S ∆ ∆ = =，得 1 sin2 21 sin2 AB AD BAD AC AD CAD ⋅ ∠ = ⋅ ∠ sin 4 2 2sin BAD ABCAD ∠ = =∠ ， 4 2AC = ABC∆ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ 即 ，可得 （舍去），……………………12 分 所以 .………………14 分 21.（I）由条件 PQ 垂直平分 AB，若 ，则 ， 故 ， 所以 ， 所求函数关系式为 ………………………………6 分 （II） 因为 可看作点 和点 的连线的斜率，…………………8 分 由单位圆知，当 ，所以 ， 所以当 ，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 处时， 三条排污管管道总长最短为 .…………………………………………14 分 22.（I） ， 所以函数 处的切线是 ， 即 ， 所以 ………………………………………………4 分 设 所以 ……………………6 分 由 ， 所以 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，…8 分 23 4 84 0BC BC− − = 146 3BC BC= = −或 1 1 2 2 8 24 sin 2 42 2 3 3ABDBD S AB BD B∆= = ⋅ = × × × =， BAO θ∠ = 10 cos cos AQOA θ θ= = 10 10 10tancosOB OP θθ= = −，又 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − 20 10sin 10, 0cos 4y θ πθθ −  = + ≤ ≤   ( )10 2 sin20 10sin 10 10cos cosy θθ θ θ −−= + = + sin 2 cosu θ θ −= ( )0,2 ( )cos ,sinθ θ 0 2 34 u πθ≤ ≤ − ≤ ≤ −时， 10 10 3 30y+ ≤ ≤ 6 πθ = 10 3 3AB km边 ( )10 10 3 km+ ( ) ( )cos , 1 sinF x x x F x x′= + = − ( ) ( )( )0 0,F x x F x在 ( ) ( )( )0 0 0 0cos 1 siny x x x x x− + = − − ( )0 0 0 01 sin cos siny x x x x x= − + + 0 0 0 01 sin cos sinm n x x x x− = − − − ( ) ( )1 sin cos sin , 0 2u x x x x x x π= − − − ≤ ≤ ( ) ( ) ( )cos sin sin cos cos 1u x x x x x x x x′ = − + − + = − + ( ) 30 cos 0, 2 2u x x x π π′ > ⇔ < < <即 ( ) 0 2u x π    在 ， 3 2 2 π π    ， 3 22 π π    ， 由 ，得 的极大值是 .……………………………………9 分 （II）假设曲线 存在“上夹线” ， 由（I）知， 因为直线 和曲线 S 相切且至少有两个切点， 所以存在 ，使得 所以 ， 又因为对任意的 ，都有直线 ， 则 的上夹线.…………………………………………………16 分 23.解：（I） ……………………………………………………………1 分 时， 递增， 时， 递减， 时， 时 ， 递增， 所以 ………………………………………………4 分 综上，当 ； 当 当 …………………………………………………5 分 （II）因为 递增， 的值域为 ………7 分 （i）当 时， 在 上单调递增， 3 3=22 2u π π  +   m n− 32 2 π+ ( )y F x= ( ):l g x mx n= + 0 0 0 0 1 sin cos sin m x n x x x = −  = + ， l 0t x≠ 1 sin cos sin m t n t t t = −  = + ， 0 0 2 1 sin 0 1 t x m x n π= + =   = = ± ，即 x R∈ ( ) ( )g x F x≥ ( ) ( )1g x x y F x= + =是 ( ) 2x af x x −′ = 01 . 1a ≤ [ ] ( ) ( )1, 0x e f x f x′∈ ≥ ( ) ( )min 11 2f x f a= = − 0 22 .a e≥ [ ] ( ) ( )1, 0,x e f x f x′∈ ≤ ( ) ( ) 2 min 22 ef x f e a= = − 0 23 .1 a e< < 1,x a ∈   ( ) ( )0,f x f x′ < ( ) ( ), 0,x a e f x f x  ′∈ > 时 ( ) ( )min ln2 2 a af x f a a= = − − ( )min 11 2a f x a≤ = −时， ( )2 min1 ln2 2 a aa e f x a< < = − −时， ( ) 2 2 min 22 ea e f x a≥ = −时， ( ) 1,xg x e′ = − [ ] ( ) ( )0,1 0,x g x g x′∈ ≥时 ( )g x ( ) ( ) [ ]0 , 1 0, 2g g e= −   1a ≤ ( )f x [ ]1,e 又 ，所以 即 ………………………………………………………………………………10 分 （ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且 ，所以只需 即 ，所以 …………………………………………13 分 （iii）当 时，因为 上单调递减，且 ， 所以不合题意.……………………………………………………………………………15 分 综合以上，实数 的取值范围是 .………………………………… 16 分 ( ) ( ) 211 , 22 2 ef a f e a= − = − 2 1 02 2 22 a e a e  − ≤  − ≥ − 1 12 a≤ ≤ 21 a e< < 1,x a ∈   ( )f x ,x a e ∈   ( )f x ( ) ( )1 0, 0f f a< < ( ) 2f e e≥ − ， 2 2 22 e a e− ≥ − 2 1 14 2 e ea< ≤ − + 2a e≥ ( ) [ ]1f x e在 ， ( ) ( ) 11 02f x f a≤ = − < a 21 2 4,2 4 e e − +  