广东高考理科数学及答案Word版

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绝密 ★ 启用前 ‎ 试题类型：A ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项： ‎ ‎1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。‎ ‎3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设，其中是实数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知等差数列前项的和为，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的 ‎ 取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的 表面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）函数在的图像大致为 ‎（A） （B）‎ （C） ‎（D）‎ ‎（8）若，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（11）平面过正方体的顶点，平面，平面 ‎ ，平面，则所成角的正弦值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，为的零点，为 ‎ 图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎ （A）11 （B）9 （C）7 （D）5‎ ‎ ‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。‎ ‎（13）设向量a，b，且abab，则 ．‎ ‎（14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）‎ ‎（15）设等比数列满足，，则的最大值为 ．‎ ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若，的面积为，求的周长．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在以为顶点的五面体中，面 为正方形，，且二面 角与二面角都是．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ ‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎ （Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）若要求，确定的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．‎ ‎ （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数有两个零点．‎ ‎ （Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）设是的两个零点，证明：．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎ 如图，是等腰三角形，．以为圆心，‎ 为半径作圆．‎ ‎ （Ⅰ）证明：直线与⊙相切；‎ ‎ （Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，‎ 证明：．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎ （Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎ （Ⅱ）求不等式的解集．‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A ‎（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎ (13) (14)10‎ ‎（15）64 （16） ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分为12分）‎ 解：（I）由已知及正弦定理得，，‎ 即．‎ 故．‎ 可得，所以．‎ ‎（II）由已知，．‎ 又，所以．‎ 由已知及余弦定理得，．‎ 故，从而．‎ 所以的周长为．‎ ‎（18）（本小题满分为12分）‎ 解：（I）由已知可得，，所以平面．‎ 又平面，故平面平面．‎ ‎（II）过作，垂足为，由（I）知平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．‎ 由已知，，所以平面．‎ 又平面平面，故，．‎ 由，可得平面，所以为二面角的平面角，‎ ‎．从而可得．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 所以可取．‎ 设是平面的法向量，则，‎ 同理可取．则．‎ 故二面角的余弦值为．学科&网 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.‎ 当时，‎ ‎.学科&网 当时，‎ ‎.‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为，，故，‎ 所以，故.‎ 又圆的标准方程为，从而，所以.‎ 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：‎ ‎（）.‎ ‎（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.‎ 由得.‎ 则，.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 ‎.故四边形的面积 ‎.学科&网 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）．‎ ‎（i）设，则，只有一个零点．‎ ‎（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，取满足且，则 ‎，‎ 故存在两个零点．‎ ‎（iii）设，由得或．‎ 若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．学科&网 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．‎ 由于，而，所以 ‎．‎ 设，则．‎ 所以当时，，而，故当时，．‎ 从而，故．‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设是的中点，连结，‎ 因为，所以，．‎ 在中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙相切．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线．‎ 由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．‎ 同理可证，．所以．‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：⑴ （均为参数）‎ ‎∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵‎ ‎∴ 即为的极坐标方程 ‎⑵ 学科&网 两边同乘得 即 ②‎ ‎：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：，即为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（24）（本小题满分10分）‎ 解：⑴ 如图所示：‎ ‎⑵ ‎ 当，，解得或 当，，解得或 或 当，，解得或 或 综上，或或 ‎，解集为