- 2021-04-25 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版(理)第五章26平面向量的综合应用作业
【课时训练】第26节 平面向量的综合应用 一、选择题 1.(2018保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】+-2=-+-=+,-==-,所以|+|=|-|⇒|+|2=|-|2⇒·=0,所以三角形为直角三角形.故选B. 2.(2018贵阳考试)设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点,N为正方形区域内任意一点(含边界),则·的最大值为( ) A.32 B.24 C.20 D.16 【答案】B 【解析】以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(4,4),M(4,2),设N(x,y)(0≤x,y≤4),则·=4x+2y≤4×4+2×4=24,当且仅当=时取等号,故选B. 3.(2018重庆一诊)已知△ABC的外接圆半径为2,D为该圆上的一点,且+=,则△ABC的面积的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由题设+=,可知四边形ABDC是平行四边形.由圆内接四边形的性质可知∠BAC=90°,且当AB=AC时,四边形ABDC的面积最大,则△ABC的面积的最大值为Smax=AB·AC=×(2)2=4.故选B. 4.(2018邵阳大联考)在△ABC中,角A,B,C对应边分别为a,b,c,已知三个向量m=,n=,p=共线,则△ABC形状为( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由题意得acos=bcos,acos=ccos,由正弦定理得sinAcos=sinBcos⇒sin=sin⇒B=A,同理可得C=A,所以△ABC为等边三角形.故选A. 5.(2018沈阳模拟)已知点M(-3,0),N(3,0)。动点P(x,y)满足||·||+·=0,则点P的轨迹的曲线类型为( ) A.双曲线 B.抛物线 C.圆 D.椭圆 【答案】B 【解析】=(3,0)-(-3,0)=(6,0),||=6,=(x,y)-(-3,0)=(x+3,y),=(x,y)-(3,0)=(x-3,y),所以||·||+· =6+6(x-3)=0,化简可得y2=-12x.故点P的轨迹为抛物线.故选B. 6.(2018西安二模)称d(a,b)=|a-b|为两个向量a,b间的“距离”,若向量a,b满足:①|b|=1;②a≠b;③对任意t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),则( ) A.a⊥b B.a⊥(a-b) C.b⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b) 【答案】C 【解析】由d(a,tb)≥d(a,b),可知|a-tb|≥|a-b|,所以(a-tb)2≥(a-b)2,又|b|=1,所以t2-2(a·b)t+2(a·b)-1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立,所以Δ=4(a·b)2-4[2(a·b)-1]≤0,即(a·b-1)2≤0,所以a·b=1.于是b·(a-b)=a·b-|b|2=1-12=0,所以b⊥(a-b).故选C. 二、填空题 7.(2018长春模拟)在△ABC中,若·=·=2,则边AB的长等于________. 【答案】2 【解析】由题意知·+·=4, 即·(+)=4,即·=4, 所以||=2. 8.(2019重庆调研)已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根,则向量a与b的夹角是________. 【答案】 【解析】由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,即4|b|2+4×2|b|2cos θ=0, 所以cos θ=-,又因为0≤θ≤π,所以θ=. 9.(2018四川成都模拟)在平面直角坐标系内,已知B(-3,-3),C(3,-3),且H(x,y)是曲线x2+y2=1上任意一点,则·的最大值为________. 【答案】6+19 【解析】由题意得=(x+3,y+3),=(x-3,y+3),所以·=(x+3,y+3)·(x-3,y+3)=x2+y2-9+6y+27=6y+19≤6+19,当且仅当y=1时取最大值. 10.(2018广西模拟)已知点A(1-m,0),B(1+m,0),若圆C:x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P使得·=0,则m的最大值为________. 【答案】6 【解析】圆C:(x-4)2+(y-4)2=1,圆心C(4,4),半径r=1,设P(x0,y0),则=(1-m-x0,-y0),=(1+m-x0,-y0),所以·=(1-x0)2-m2+y=0,即m2=(x0-1)2+y.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离,当|PM|最大时,|m|取得最大值.因为|PM|的最大值为|MC|+1=+1=6,所以m的最大值为6. 三、解答题 11.(2018临沂模拟)已知向量m=(sin α-2,-cos α),n=(-sin α,cos α),其中α∈R. (1)若m⊥n,求角α. (2)若|m-n|=,求cos 2α的值. 【解】(1)向量m=(sin α-2,-cos α), n=(-sin α,cos α), 若m⊥n,则m·n=0, 即为-sin α(sin α-2)-cos2α=0, 即sin α=,可得α=2kπ+或2kπ+,k∈Z. (2)若|m-n|=,即有(m-n)2=2, 即(2sin α-2)2+(2cos α)2=2, 即为4sin2α+4-8sin α+4cos2α=2, 即有8-8sin α=2,可得sin α=, 即有cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-. 12.(2018山东德州一模)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C. (1)求角C的大小; (2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·(-)=18,求边c的长. 【解】(1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A=sin(A+B), 对于△ABC,A+B=π-C,0<C<π, ∴sin(A+B)=sin C, ∴m·n=sin C, 又m·n=sin 2C,∴sin 2C=sin C, ∴cos C=,C=. (2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B, 由正弦定理得2c=a+b. ∵·(-)=18, ∴·=||·||·cos C=abcos C=18,∴ab=36. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36,∴c=6.查看更多