历年高考专题汇编解析几何

历年高考专题汇编解析几何

‎《历年高考专题汇编》—>解析几何 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释）‎ ‎1．过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有 A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 ‎2．直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎3．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D．‎ ‎4．若直线通过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．圆与直线没有公共点的充要条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．设，若直线与圆相切，则m + n的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎7．过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）‎ A、0条 B、1条 C、2条 D、3条 ‎8．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )‎ ‎（A）圆 （B）椭圆 ‎ ‎（C）一条直线 （D）两条平行直线 ‎9．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ‎ ‎（Ａ）　　 （Ｂ）‎ ‎（Ｃ）　　 （Ｄ）‎ ‎10．若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是 A、3 B、5 C、 D、‎ ‎11．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎12．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎13．已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=‎ ‎(A) （B） (C) (D)‎ ‎14．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()‎ ‎（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）‎ ‎15．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )‎ A.2 B‎.3 C. D.‎ ‎16．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释）‎ ‎17．在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________ ‎ ‎18．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ．‎ ‎19．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_____________。‎ ‎20．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为____________.‎ ‎21．在中，，。若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 。‎ ‎22．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值为__________.‎ ‎23．设双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　。‎ ‎24．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 。‎ ‎25．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;‎ ‎26．已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。‎ ‎27．已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.‎ ‎28．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.‎ 1529．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点。设，则与的比值等于 。‎ ‎30．如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－1Pn－1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .‎ ‎ ‎ 评卷人 得分 三、解答题（题型注释）‎ ‎31．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎32．（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．‎ ‎（I）求在，的条件下，的最大值；‎ ‎（II）当，时，求直线的方程．‎ ‎33．（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．‎ ‎34．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．‎ ‎（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；‎ ‎（II）求面积的最大值．‎ ‎35．(本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.‎ ‎（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；‎ ‎（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.‎ ‎36．（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足 ‎. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 ‎【答案】C ‎【解析】圆的标准方程是：（x+1）2+（y-2）2=132，圆心（-1，2），半径r=13过点 A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的有条。‎ ‎2．B ‎【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。 ‎ ‎3．C ‎【解析】设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，‎ 圆心到直线的距离小于等于半径 ，‎ 得，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C正确。‎ ‎4．D ‎【解析】方法1：由题意知直线与圆有交点，则.‎ 方法2：设向量，由题意知 由可得 ‎5．:C.‎ ‎【解析】:1. （数形结合）是过定点P（0，2）的直线，与单位圆相切（临界值）时，其斜率为±，由此不难判断，选C.‎ ‎2.（特值法）令k=0，直线y=2与单位圆无交点，淘汰选项B、D；令k=‎ ‎，此时，直线与单位圆相切，选项A有“漏”.‎ ‎3.（待定系数）将带入圆的方程，无交点的充要条件是其判别式小于0，解之.‎ ‎4.依题圆与直线没有公共点 ‎6．D ‎【解析】直线与圆相切，则有 ‎【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系和均值不等式，考查学生的转化能力和换元法的应用 ‎7．B ‎【解析】定性分析法：由已知条件得第Ⅱ、Ⅳ部分的面积是定值，所以为定值，即为定值，当直线绕着圆心移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B.‎ ‎ 定量分析法：过C做x轴和y轴的垂线，分别交于E和F点交设,则，，,，，‎ 代入得，‎ 化简为，设，，画出两个函数图象，观察可知；两个函数图象在时只有一个交点，故直线AB只有一条.‎ ‎8．B ‎【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！‎ 还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C与D，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！‎ ‎9．A ‎【解析】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）‎ 又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；‎ ‎【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；‎ ‎【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；‎ ‎10．D ‎【解析】本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为，依题即，∴双曲线的离心率 ‎11．D ‎【解析】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF‎2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。‎ ‎12．B ‎【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.‎ 不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x轴的距离为.‎ ‎13．C ‎【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=‎2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.‎ ‎14．B ‎【解析】‎ ‎∵抛物线的焦点为，准线为 ∴‎ ‎ 设，过点向准线作垂线，则 ‎∵，又 ‎∴由得，即，解得 ‎∴的面积为 故选B ‎【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；‎ ‎【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；‎ ‎15．A ‎【解析】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, ‎ ‎[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).‎ ‎17．‎ ‎【解析】三个极坐标方程化为直角坐标方程依次为，，，三条直线的交点坐标,,,三条直线围成的图形为，其面积为 ‎18．‎ ‎【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：‎ ‎，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为 ‎（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为 ‎。‎ ‎【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。‎ ‎19．‎ ‎【解析】如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；‎ ‎∵的圆心为，半径为 ‎ 点到直线的距离为 ‎ ∴ 故上各点到的距离的最小值为 ‎【点评】此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；‎ ‎【突破】数形结合，使用点到直线的距离距离公式。‎ ‎20．‎ ‎【解析】在圆中，利用相交弦定理可知，‎ 由切割线定理可知：‎ ‎【考点定位】本题考查几何证明问题如相交弦定理、三角形相似、切割线定理等，考查学生的分析转化能力 ‎【答案】‎ ‎【解析】结合余弦定理求，即 ‎，解得，然后结合椭圆的定义和焦距求离心率。‎ ‎22．‎ ‎【解析】‎ 代入得：‎ 设 又 ‎【答案】‎ ‎【解析】容易求得：，则， A(3,0)，F(5,0)。双曲线的渐近线方程是，则过F(5,0)，且与渐近线平行的直线方程是，解方程组得B.。‎ ‎24．‎ ‎【解析】解法1：因为在中，由正弦定理得，‎ 则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，‎ 设点由焦点半径公式，得，则，‎ 解得，由双曲线的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率。‎ 解法2 由解析1知由双曲线的定义知 ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1。‎ ‎25．‎ ‎【解析】依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y-5=0，把焦点坐标(，0)代入可求得焦参数，从而得到准线方程。‎ ‎26． -4‎ ‎【解析】由已知可设 过Q点的切线方程为联立两条切线方程即为A点坐标为（1，-4），‎ 故点A的纵坐标为-4.‎ 考点定位： 本题考查抛物线的切线方程、导数的几何含义，考查学生的转化能力和计算能力 ‎27．‎ ‎【解析】设BF=m,由抛物线的定义知 中，AC=‎2m,AB=‎4m,‎ ‎ 直线AB方程为 ‎ 与抛物线方程联立消y得 所以AB中点到准线距离为 ‎28．‎ ‎【解析】抛物线的方程为，‎ ‎29．‎ ‎【解析】设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知 ‎30．‎ ‎【解析】如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ ，，，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.‎ 整理得=。‎ ‎31．(I) ‎ ‎(II) 直线过定点，定点坐标为 ‎【解析】解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 ‎，‎ ‎ (II)设，由得 ‎，‎ ‎，.‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得 ‎，且满足.‎ 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 ‎32．（I）当且仅当时，取到最大值．‎ ‎（II）直线的方程是 或或，或。‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，‎ 由，解得，‎ 所以 ‎．‎ 当且仅当时，取到最大值．‎ ‎（Ⅱ）解：由 得，‎ ‎，‎ ‎． ②‎ 设到的距离为，则 ‎，‎ 又因为，‎ 所以，代入②式并整理，得 ‎，‎ 解得，，代入①式检验，，‎ 故直线的方程是 或或，或．‎ ‎33．（I）圆C的方程为 ‎（II）的最大值为，最小值为 ‎【解析】解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知 解得 所以 设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为 ‎ 4分 解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知 ‎.‎ 又因为即 由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.‎ 设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，解得r=4,所以圆C的方程为 ‎ 4分 ‎(Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则 ‎. 8分 在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得 ‎≤≥ 10分 所以≤≤，由此可得 ‎≤≤.‎ 故的最大值为，最小值为. 14分 ‎34．（I）‎ ‎　，‎ 其定义域为 ‎（II）梯形面积的最大值为 ‎【解析】解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．‎ 点的纵坐标满足方程，‎ 解得 ‎，‎ 其定义域为．‎ ‎（II）记，‎ 则．‎ 令，得．‎ 因为当时，；当时，，所以是的最大值．‎ 因此，当时，也取得最大值，最大值为．‎ 即梯形面积的最大值为．‎ ‎35．（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】解：（Ⅰ）由题意知，．‎ x y B A O a Ｃ D 因为，所以．‎ 由于，故有．　（1）‎ 由点的坐标知，‎ 直线的方程为．‎ 又因点在直线上，故有，‎ 将（1）代入上式，得，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ‎．‎ 所以直线的斜率为定值．‎ ‎36．（Ⅰ）当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，.‎ ‎（Ⅱ）存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ ‎【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。‎ ‎（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即.‎ 因为点H在直线QN上，所以.‎ 于是，. ‎ 而等价于，‎ 即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 解法2：如图2、3，，设，，则，，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.‎