科学备考高考数学文通用版大一轮复习配套精品试题解三角形含2014模拟试题答案解析

科学备考高考数学文通用版大一轮复习配套精品试题解三角形含2014模拟试题答案解析

精品题库试题 文数 ‎1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 设是双曲线的两个焦点, 是上一点, 若且的最小内角为, 则的离心率为(    ) ‎ A. 　　      ‎ B. 　　       ‎ C. 　　      ‎ D. ‎ ‎[解析] 1.不妨设点在左支上，则又所以，在中由余弦定理得，整理得，即，得.‎ ‎2.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 在△中，内角A、B、C的对边分别为、、，且，则△是（    ）‎ A．钝角三角形    　　　　 B．直角三角形 C．锐角三角形　　  D．等边三角形 ‎[解析] 2.  因为，所以，得，为钝角.‎ ‎3.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎[解析] 3.‎ ‎4.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于(   )‎ A．10          B．          C．20        D．‎ ‎[解析] 4.由余弦定理得，，所以 ‎5.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（    ）‎ A. 　　　　　　B．     ‎ C．　　　　　　D．‎ ‎[解析] 5.因为，所以由余弦定理得 ‎6.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为       ．‎ ‎[解析] 6.，由余弦定理得，即，‎ ‎7.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 三角形，则            ‎ ‎[解析] 7.由余弦定理得，所以.‎ ‎8.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在中，，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=　　 。‎ ‎[解析] 8.设，则由余弦定理得，‎ ‎，由椭圆的定义知，.‎ ‎9.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）已知△三个内角、、，且，则的值为          ．‎ ‎[解析] 9.因为，所以由正弦定理得，设，则.‎ ‎10.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若 ，则     .‎ ‎[解析] 10.由正弦定理，，所以，即，所以.‎ ‎11.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．‎ ‎[解析] 11.如图所示，由余弦定理得，所以的外接圆半径为，所以，解得，所以球的表面积为 ‎12.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 在中，，，则的最小值为          .‎ ‎[解析] 12.由余弦定理得，，所以的最小值为 ‎13.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）在中，角所对的边分别是 ‎，已知点是边的中点，且，则角      ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎[解析] 13.    因为，所以，‎ ‎   所以 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎14.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知函数, 的最大值为2．‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的值域；‎ ‎(Ⅱ) 已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．‎ ‎[解析] 14.（Ⅰ）由题意，的最大值为，所以，而，于是，在上递增．在 递减，‎ 所以函数在上的值域为；‎ ‎(Ⅱ) 化简得       ．由正弦定理，得，‎ 因为△ABC的外接圆半径为．．所以 ‎ ‎15.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）在DABC中，角A、B、C 的对边长分别为, 且满足 ‎ ‎（Ⅰ）求角B的值；‎ ‎（Ⅱ）若, 求DABC的面积.‎ ‎[解析] 15.(1) 由正弦定理得 ‎(2) ，‎ ‎16.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A) ，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米) ．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) ．‎ ‎[解析] 16.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，,‎ 因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．‎ 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ) ．‎ AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP ‎＝sin2(120°－θ) ＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)  ‎ ‎＝sin2(θ＋60°) － sin(θ＋60°) cos(θ＋60°) ＋4‎ ‎＝ [1－cos (2θ＋120°) ]－ sin(2θ＋120°) ＋4‎ ‎＝－ [sin(2θ＋120°) ＋cos (2θ＋120°) ]＋‎ ‎＝－sin(2θ＋150°) ，θ∈(0，120°) ．‎ ‎   当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．‎ 答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．‎ 解法二(构造直角三角形) ：‎ 设∠PMD＝θ，在△PMD中，‎ ‎∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．  ‎ 在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，‎ AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确) ．‎ AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ) 2＋(2sinθ) 2‎ ‎＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ ‎ ‎＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋‎ ‎＝＋sin(2θ－) ，θ∈(0，) ．‎ 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．‎ 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° ‎ ‎17.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 在△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且 ‎    (I) 求角A的大小；‎ ‎    (Ⅱ) 若△ABC的面积为3，求a的值．‎ ‎[解析] 17.（1）因为，所以，‎ 即，又在中，‎ ‎，则，‎ 得，故，当时，，则均为钝角，与 矛盾，故舍去，故，则 ‎（2）由，可得，则，‎ 在中，有，则，‎ 则，所以 ‎18.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）已知函数（1）求函数的最小正周期 ‎(2) 在 中，角的对边分别为, 且满足,求的值.‎ ‎[解析] 18.（1），所以函数的最小正周期为，‎ ‎（2）解法一 ，‎ 整理得，所以，‎ 又因为，所以，.‎ 解法二 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又因为，所以，所以，‎ 又因为，所以，.‎ ‎19.（山西省太原市2014届高三模拟考试）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为, 若△ABC的外接圆的半径为 ，且 ‎（I）求∠C；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎[解析] 19.（I）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，又，所以。‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以当，即时，.‎ ‎20.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）在△中, 内角, , 的对边边长分别为, , , 且.‎ ‎（1）判断△的形状；  （2）若, 则△的面积是多少？‎ ‎[解析] 20.（1）由得，即，即，‎ 所以或，即或.         ‎ 因为，所以，即，所以不成立，舍去，‎ 所以，即. 所以△是直角三角形 ‎（2）因为，所以，又因为，解得，‎ 所以的面积是.‎ ‎21.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 已知是△ABC三边长且，△ABC的面积 ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎[解析] 21.（），又 ‎，‎ ‎22.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考) 在中，，，分别为角，，的对边，，且.‎ ‎(1) 求角；‎ ‎(2) 若，求的面积.‎ ‎[解析] 22.(1) 由. 又由正弦定理，得，，将其代入上式，得.　　　　  ‎ ‎∵,  ∴，将其代入上式，得 ‎∴， 整理得，.‎ ‎∴. ∵角是三角形的内角，∴.  ‎ ‎(2) ∵，则  ，又   ， ，∴‎ ‎23.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试) 已知向量，设函数, 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的最大值, 并求出此时的取值；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角的对边，若，，，求边的长．‎ ‎[解析] 23.（Ⅰ）由题意得：‎ 所以   ‎ 因为，所以 所以当即时，‎ 函数在区间上的最大值为.‎ ‎（Ⅱ）由得：‎ 又因为，解得：或 由题意知 ，‎ 所以 则或 故所求边的长为或.‎ ‎24.(江西省红色六校2014届高三第二次联考) 在△中, 角所对的边分别为, 满足, .‎ ‎⑴求角的大小;‎ ‎⑵求△ABC面积的最大值.‎ ‎[解析] 24.（1）∵  ‎ ‎  ∴   ‎ ‎  ∴   ， ∵  ‎ ‎  ∴        ∴        ‎ ‎（2）∵    ∴   ，‎ ‎∴     ，∴    ‎ ‎25.（天津市蓟县第二中学2014届高三第一次模拟考试）在中，面积 ‎（1）求BC边的长度；‎ ‎（2）求值：‎ ‎[解析] 25.（1）在中，即，得　　　　　　            ‎ ‎        ‎ ‎（2）=    ‎ ‎26.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）求的取值范围。‎ ‎[解析] 26.（1）因为，由正弦定理得，‎ 又，所以，因为，，所以，所以，‎ ‎（2）由（1）知，所以，则，‎ 因为是锐角三角形，所以，所以，‎ ‎，所以，所以的取值范围是.‎ ‎27.(江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学教学情况调查) 设函数．‎ ‎   （1）求的最小正周期和值域；‎ ‎   （2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．‎ ‎[解析] 27.（1）=‎ ‎=．　　　　    ‎ 所以的最小正周期为，　　       ‎ 值域为．　　　　    ‎ ‎ （2）由，得．‎ 为锐角，∴，，∴．     ‎ ‎∵，，∴．‎ 在△ABC中，由正弦定理得．          ‎ ‎ ∴．‎ ‎28.（河北省唐山市2014届高三第一次模拟考试）在DABC中，角A、B、C的对边分别为，且4bsinA=.‎ ‎    （I）求sinB的值；‎ ‎    （II）若成等差数列，且公差大于0，求cosA-cosC的值.‎ ‎[解析] 28.（Ⅰ）由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，‎ 所以sinB＝．‎ ‎（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得 sinA＋sinC＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ 设cosA－cosC＝x，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     ②‎ ‎①2＋②2，得2－2cos(A＋C) ＝＋x2．　　　　　　　　　　　　　　     ③‎ 又a＜b＜c，A＜B＜C，所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，‎ 故cos(A＋C) ＝－cosB＝－．‎ 代入③式得x2＝．‎ 因此cosA－cosC＝．‎ ‎29.(福建省福州市2014届高三毕业班质检) 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量 共线，求的值.‎ ‎[解析] 29.(I) ==‎ 令，‎ 解得即 ‎, f(x) 的递增区间为      ‎ ‎(Ⅱ) 由, 得 而, 所以, 所以得 因为向量与向量共线，所以，‎ 由正弦定理得: 　 ①‎ 由余弦定理得: , 即a2+b2－ab=9　②‎ 由①②解得 ‎30.(湖北省武汉市2014届高三2月份调研测试) 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B) ＝cosC．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若a＝3，b＝，求c．‎ ‎[解析] 30.（Ⅰ）由sin(A－B) ＝cosC，得sin(A－B) ＝sin(－C) ．‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，     ①‎ 又A＋B＋C＝π，　　      ②‎ 由②－①，得B＝．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得 ‎() 2＝c2＋(3) 2－2c×3cos，‎ 即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．‎ 当c＝2时，b2＋c2－a2＝() 2＋22－(3) 2＝－4＜0，‎ ‎∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．‎ 故c＝4．‎ ‎31.(广东省广州市2014届高三1月调研测试) 在△中，角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎[解析] 31.（1）在△中，．‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎（2）因为，，，‎ 由余弦定理，‎ 得． 解得．‎ ‎32.(北京市东城区2013-2014学年度第二学期教学检测) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.‎ ‎[解析] 32.（Ⅰ）bsinA=acosB，由正弦定理可得，‎ 即得，. . ‎ ‎（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，‎ 由余弦定理，，‎ 解得，.‎ ‎△ABC的面积=         ‎ ‎33.(重庆市五区2014届高三第一次学生学业调研抽测) 在中，角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎[解析] 33.（Ⅰ）在中，∵，‎ 由正弦定理，得．‎ ‎．‎ ‎∵ , ∴， ∴ ．   ‎ ‎∵，∴ ．　　  ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得且 ，    ‎ ‎．‎ ‎     ，．  ‎ 的取值范围是．     ‎ ‎34.(天津市西青区2013-2014学年度高三上学期期末考试)　　在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ ‎[解析] 34.（1）由条件结合正弦定理得，==，‎ ‎∴sinC=cosC，即tanC=，‎ ‎∵0＜C＜π，∴C=；‎ ‎（2）由（1）知B=﹣A，‎ ‎∴sinA﹣cosB=sinA﹣cos（﹣A）=sinA﹣coscosA﹣sinsinA ‎=sinA+cosA=sin（A+），‎ ‎∵0＜A＜，∴＜A+＜，‎ 当A+=时，sinA﹣sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=.‎ ‎35.(山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试) 已知函数．‎ ‎(I) 求函数在上的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知m=(a，b) ，n=(f(C), 1) 且m//n，求B．‎ ‎[解析] 35.(I) ，‎ 令，，‎ 令，令，‎ 又因为，所以在上的单调递增区间为，，‎ ‎(Ⅱ) 由题意，‎ 因为，所以即，由正弦定理，‎ 所以，‎ 在中，，所以，‎ 又，所以，，又，所以.‎ ‎36.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）函数（其中 ‎）的图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图像.‎ ‎（1）若直线与函数图像在时有两个公共点，其横坐标分别为，求的值；‎ ‎（2）已知内角的对边分别为，且. 若向量与共线，求的值．‎ ‎[解析] 36.（1）由函数的图象，，得，又，所以由图像变换，得由函数图像的对称性，有  ‎ ‎（2）∵  ，    即∵  ，，∴ ，∴ ．   ‎ ‎∵  共线，∴ ．‎ 由正弦定理  ，  得   ①‎ ‎∵ ，由余弦定理，得，  ②‎ 解方程组①②，得．      ‎ ‎37.（吉林市普通高中2013—2014学年度高中毕业班上学期期末复习检测）已知为△的三个内角，且其对边分别为. 若且.‎ ‎( I )  求；‎ ‎( II ) 若，三角形面积，求、的值.‎ ‎[解析] 37.(1) ，    ‎ 又          ，又　　  .  ‎ ‎(2) ,                     由余弦定理，得，    又，　　　　，故.  ‎ ‎38.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.‎ ‎（1）若的面积等于，求，；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎[解析] 38.（1）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．‎ ‎（2）由题意得，即，‎ 当时，，，，，‎ 当时，得，由正弦定理得，‎ 联立方程组解得，．所以的面积．‎ ‎39.（山东省济宁市2014届高三上学期期末考试）已知函数 ‎（I）求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎（II）中，A, B, C的对边分别为a, b, c，已知，求a, b的值. ‎ ‎[解析] 39.（1），所以函数的最小正周期，最小值为，‎ ‎（2）因为，所以，又，所以，得，因为，由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，又，所以 ‎40.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量 ＝(cosB，cosC) ，＝(2a+c，b) ，且⊥.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的范围 ‎[解析] 40.（1）∵ m＝(cosB，cosC) ，n＝(2a+c，b) ，且m⊥n.‎ ‎∴cosB(2a+c) + b cosC=0‎ ‎∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0‎ ‎∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0‎ 即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA ‎∴cosB=－1／2‎ ‎∵0≤B≤180‎ ‎∴B=120.‎ ‎（2）由余弦定理，得 当且仅当时，取等号 ‎       ‎ 又          ‎ ‎41.（2014年陕西省宝鸡市高三数学质量检测）在△ABC中，分别为角所对的三边，已知 ‎（1）求的值 ‎(2) 若，求边的长 ‎[解析] 41.（Ⅰ）∵ b2+c2-a2=bc ， cosA==，又∵ ，∴sinA==    (5分)‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinA=，a=，cosC=可得sinC=        ∵A+B+C=p ‎∴sinB =sin(A+C) = ×+×=  ‎ 由正弦定理知：‎ ‎∴b===．          ‎ ‎42.（成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测）已知向量，设函数．‎ ‎（I）求函数f(x) 的最小正周期；‎ ‎（II）在△ABC中，角A, B, C所对边的长分别为a，b，c，且 ‎，求sinA的值．‎ ‎[解析] 42.（1）因为，所以，又因为，所以，‎ ‎（2）因为，解得，由正弦定理，可得，即，又因为，所以.‎ ‎43.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）已知向量，，函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若分别是的三边，，，且是函数在上的最大值，求角、角及边的大小.‎ ‎[解析] 43.（Ⅰ）解：‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎        ‎ ‎        ‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎        由正弦定理，得 ‎        由内角和定理，得 ‎        最后再由正弦定理，得 ‎44.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）在中，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎[解析] 44.（Ⅰ）解：在中，，‎ 由正弦定理，．所以．‎ ‎（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，‎ 于是，‎ ‎，‎ ‎45.（重庆南开中学高2014级高三1月月考)已知的三个内角分别是，所对边分别为，满足。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积。‎ ‎[解析] 45.‎ ‎（1）由题意得：，‎ 结合正弦定理得，易得，所以，即；‎ ‎（2）时，，由（1）知，从而，‎ ‎，由正弦定理，而，可知，所以三角形 的面积.‎ 答案和解析 文数 ‎[答案] 1.C ‎[解析] 1.不妨设点在左支上，则又所以，在中由余弦定理得，整理得，即，得.‎ ‎[答案] 2.A ‎[解析] 2.  因为，所以，得，为钝角.‎ ‎[答案] 3.D ‎[解析] 3.‎ ‎[答案] 4.B ‎[解析] 4.由余弦定理得，，所以 ‎[答案] 5.C ‎[解析] 5.因为，所以由余弦定理得 ‎[答案] 6.‎ ‎[解析] 6.，由余弦定理得，即，‎ ‎[答案] 7.6‎ ‎[解析] 7.由余弦定理得，所以.‎ ‎[答案] 8.‎ ‎[解析] 8.设，则由余弦定理得，‎ ‎，由椭圆的定义知，.‎ ‎[答案] 9.  ‎ ‎[解析] 9.因为，所以由正弦定理得，设，则.‎ ‎[答案] 10.‎ ‎[解析] 10.由正弦定理，，所以，即，所以.‎ ‎[答案] 11.‎ ‎[解析] 11.如图所示，由余弦定理得，所以的外接圆半径为，所以，解得，所以球的表面积为 ‎[答案] 12.‎ ‎[解析] 12.由余弦定理得，，所以的最小值为 ‎[答案] 13. ‎ ‎[解析] 13.    因为，所以，‎ ‎   所以 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎[答案] 14.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 14.（Ⅰ）由题意，的最大值为，所以，而，于是 ‎，在上递增．在 递减，‎ 所以函数在上的值域为；‎ ‎(Ⅱ) 化简得       ．由正弦定理，得，‎ 因为△ABC的外接圆半径为．．所以 ‎ ‎[答案] 15.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 15.(1) 由正弦定理得 ‎(2) ，‎ ‎[答案] 16.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 16.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，,‎ 因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．‎ 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ) ．‎ AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP ‎＝sin2(120°－θ) ＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)  ‎ ‎＝sin2(θ＋60°) － sin(θ＋60°) cos(θ＋60°) ＋4‎ ‎＝ [1－cos (2θ＋120°) ]－ sin(2θ＋120°) ＋4‎ ‎＝－ [sin(2θ＋120°) ＋cos (2θ＋120°) ]＋‎ ‎＝－sin(2θ＋150°) ，θ∈(0，120°) ．‎ ‎   当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．‎ 答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．‎ 解法二(构造直角三角形) ：‎ 设∠PMD＝θ，在△PMD中，‎ ‎∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．  ‎ 在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，‎ AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确) ．‎ AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ) 2＋(2sinθ) 2‎ ‎＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ ‎ ‎＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋‎ ‎＝＋sin(2θ－) ，θ∈(0，) ．‎ 当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．‎ 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° ‎ ‎[答案] 17.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 17.（1）因为，所以，‎ 即，又在中，‎ ‎，则，‎ 得，故，当时，，则均为钝角，与 矛盾，故舍去，故，则 ‎（2）由，可得，则，‎ 在中，有，则，‎ 则，所以 ‎[答案] 18.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 18.（1），所以函数的最小正周期为，‎ ‎（2）解法一 ，‎ 整理得，所以，‎ 又因为，所以，.‎ 解法二 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 又因为，所以，所以，‎ 又因为，所以，.‎ ‎[答案] 19.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 19.（I）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，又，所以。‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，所以当，即时，.‎ ‎[答案] 20.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 20.（1）由得，即，即，‎ 所以或，即或.         ‎ 因为，所以，即，所以不成立，舍去，‎ 所以，即. 所以△是直角三角形 ‎（2）因为，所以，又因为，解得，‎ 所以的面积是.‎ ‎[答案] 21.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 21.（），又 ‎，‎ ‎[答案] 22.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 22.(1) 由. 又由正弦定理，得，，将其代入上式，得.　　　　  ‎ ‎∵,  ∴，将其代入上式，得 ‎∴， 整理得，.‎ ‎∴. ∵角是三角形的内角，∴.  ‎ ‎(2) ∵，则  ，又   ， ，∴‎ ‎[答案] 23.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 23.（Ⅰ）由题意得：‎ 所以   ‎ 因为，所以 所以当即时，‎ 函数在区间上的最大值为.‎ ‎（Ⅱ）由得：‎ 又因为，解得：或 由题意知 ，‎ 所以 则或 故所求边的长为或.‎ ‎[答案] 24.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 24.（1）∵  ‎ ‎  ∴   ‎ ‎  ∴   ， ∵  ‎ ‎  ∴        ∴        ‎ ‎（2）∵    ∴   ，‎ ‎∴     ，∴    ‎ ‎[答案] 25.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 25.（1）在中，即，得　　　　　　            ‎ ‎        ‎ ‎（2）=    ‎ ‎[答案] 26.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 26.（1）因为，由正弦定理得，‎ 又，所以，因为，，所以，所以，‎ ‎（2）由（1）知，所以，则 ‎，‎ 因为是锐角三角形，所以，所以，‎ ‎，所以，所以的取值范围是.‎ ‎[答案] 27.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 27.（1）=‎ ‎=．　　　　    ‎ 所以的最小正周期为，　　       ‎ 值域为．　　　　    ‎ ‎ （2）由，得．‎ 为锐角，∴，，∴．     ‎ ‎∵，，∴．‎ 在△ABC中，由正弦定理得．          ‎ ‎ ∴．‎ ‎[答案] 28.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 28.（Ⅰ）由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，‎ 所以sinB＝．‎ ‎（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得 sinA＋sinC＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①‎ 设cosA－cosC＝x，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　     ②‎ ‎①2＋②2，得2－2cos(A＋C) ＝＋x2．　　　　　　　　　　　　　　     ③‎ 又a＜b＜c，A＜B＜C，所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，‎ 故cos(A＋C) ＝－cosB＝－．‎ 代入③式得x2＝．‎ 因此cosA－cosC＝．‎ ‎[答案] 29.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 29.(I) ==‎ 令，‎ 解得即 ‎, f(x) 的递增区间为      ‎ ‎(Ⅱ) 由, 得 而, 所以, 所以得 因为向量与向量共线，所以，‎ 由正弦定理得: 　 ①‎ 由余弦定理得: , 即a2+b2－ab=9　②‎ 由①②解得 ‎[答案] 30.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 30.（Ⅰ）由sin(A－B) ＝cosC，得sin(A－B) ＝sin(－C) ．‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，     ①‎ 又A＋B＋C＝π，　　      ②‎ 由②－①，得B＝．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得 ‎() 2＝c2＋(3) 2－2c×3cos，‎ 即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．‎ 当c＝2时， b2＋c2－a2＝() 2＋22－(3) 2＝－4＜0，‎ ‎∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．‎ 故c＝4．‎ ‎[答案] 31.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 31.（1）在△中，．‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎（2）因为，，，‎ 由余弦定理，‎ 得． 解得．‎ ‎[答案] 32.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 32.（Ⅰ）bsinA=acosB，由正弦定理可得，‎ 即得，. . ‎ ‎（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，‎ 由余弦定理，，‎ 解得，.‎ ‎△ABC的面积=         ‎ ‎[答案] 33.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 33.（Ⅰ）在中，∵，‎ 由正弦定理，得．‎ ‎．‎ ‎∵ , ∴， ∴ ．   ‎ ‎∵，∴ ．　　  ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得且 ，    ‎ ‎．‎ ‎     ，．  ‎ 的取值范围是．     ‎ ‎[答案] 34.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 34.（1）由条件结合正弦定理得，==，‎ ‎∴sinC=cosC，即tanC=，‎ ‎∵0＜C＜π，∴C=；‎ ‎（2）由（1）知B=﹣A，‎ ‎∴sinA﹣cosB=sinA﹣cos（﹣A）=sinA﹣coscosA﹣sinsinA ‎=sinA+cosA=sin（A+），‎ ‎∵0＜A＜，∴＜A+＜，‎ 当A+=时，sinA﹣sin（B+）取得最大值1，此时A=，B=.‎ ‎[答案] 35.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 35.(I) ，‎ 令，，‎ 令，令，‎ 又因为，所以在上的单调递增区间为，，‎ ‎(Ⅱ) 由题意，‎ 因为，所以即，由正弦定理 ‎，‎ 所以，‎ 在中，，所以，‎ 又，所以，，又，所以.‎ ‎[答案] 36.详见解析 ‎ ‎[解析] 36.（1）由函数的图象，，得，又，所以由图像变换，得由函数图像的对称性，有  ‎ ‎（2）∵  ，    即∵  ，，∴ ，∴ ．   ‎ ‎∵  共线，∴ ．‎ 由正弦定理  ，  得   ①‎ ‎∵ ，由余弦定理，得，  ②‎ 解方程组①②，得．      ‎ ‎[答案] 37.详见解析 ‎ ‎[解析] 37.(1) ，    ‎ 又          ，又　　  .  ‎ ‎(2) ,                     由余弦定理，得，    又，　　　　，故.  ‎ ‎[答案] 38.详见解析 ‎[解析] 38.（1）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，．‎ ‎（2）由题意得，即，‎ 当时，，，，，‎ 当时，得，由正弦定理得，‎ 联立方程组解得，．所以的面积．‎ ‎[答案] 39.详见解析 ‎[解析] 39.（1），所以函数的最小正周期，最小值为，‎ ‎（2）因为，所以，又，所以，得，因为，由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，又，所以 ‎[答案] 40.详见解析 ‎[解析] 40.（1）∵ m＝(cosB，cosC) ，n＝(2a+c，b) ，且m⊥n.‎ ‎∴cosB(2a+c) + b cosC=0‎ ‎∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0‎ ‎∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0‎ 即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA ‎∴cosB=－1／2‎ ‎∵0≤B≤180‎ ‎∴B=120.‎ ‎（2）由余弦定理，得 当且仅当时，取等号 ‎       ‎ 又          ‎ ‎[答案] 41.详见解析 ‎[解析] 41.（Ⅰ）∵ b2+c2-a2=bc ， cosA==，又∵ ，∴sinA==    (5分)‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinA=，a=，cosC=可得sinC=        ∵A+B+C=p ‎∴sinB =sin(A+C) = ×+×=  ‎ 由正弦定理知：‎ ‎∴b===．          ‎ ‎[答案] 42.详见解析 ‎[解析] 42.（1）因为，所以，又因为，所以，‎ ‎（2）因为，解得，由正弦定理，可得，即，又因为，所以.‎ ‎[答案] 43.答案详见解析 ‎ ‎[解析] 43.（Ⅰ）解：‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎        ‎ ‎        ‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎         ‎ ‎         ‎ ‎        由正弦定理，得 ‎        由内角和定理，得 ‎        最后再由正弦定理，得 ‎[答案] 44.答案详见解析 ‎ ‎[解析] 44.（Ⅰ）解：在中，，‎ 由正弦定理，．所以．‎ ‎（Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，‎ 于是，‎ ‎，‎ ‎[答案] 45.答案详见解析 ‎[解析] 45.‎ ‎（1）由题意得：，‎ 结合正弦定理得，易得，所以，即 ‎；‎ ‎（2）时，，由（1）知，从而，‎ ‎，由正弦定理，而，可知，所以三角形 的面积.‎