人教版八年级数学上册第十四章14.3因式分解

人教版八年级数学上册第十四章14.3因式分解

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3因式分解 第1课时 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区 别和联系.（重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式 法分解因式.（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式 表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 讲授新课 合作探究 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 都是多项式化为几 个整式的积的形式 比一比，这些式 子有什么共同点？ 因式分解 u定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样 的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互 逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右 边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式 的形式． 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不 是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ 1 x ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa+pb+pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. 相同因式p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ 合作探究 x2＋x 相同因式x 用提公因式法分解因式 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与 另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法. ( a+b+c )pa+ pb +pc p= 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最 大公约数 3 字母：相同 的字母 x 所以公因式是3x 指数：相同字母的 最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ u正确找出多项式的公因式的步骤： 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数. 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 典例精析 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 公因式既可以是一个单 项式的形式，也可以是 一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式 4ab,另一个因式 是否还有公式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因 式分解是否 正确？ 做整式乘法运算. 因式分解： (1)3a3c2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 针对训练 (3)原式＝(a＋b)(a－b－1)． 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)； (2)原式＝(2a－3)(b＋c)； 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提 出公因式2 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 当多项式的某一项和公因式相同 时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 把3x2 - 6xy+x分解因式. 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1) 小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的 项没变号 错误 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 小华的解法有误吗？ 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式， 用提取公因式的方法可使运算简便． 例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求 代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab 表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后， 余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a） B 当堂练习 C D 4.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn=_____________； (2)12xyz-9x2y2=_____________； (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________； (4) -x3y3-x2y2-xy=_______________； 2mn(4m+1) 3xy(4z-3xy) (a2+b2)(p-q) -xy(x2y2+xy+1) (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.(y-x)(2y-x) 5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等 于_____________.3a(x－y)2 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. (2) 原式=2013(2013+1)-20142 =2013×2014-20142=2014×(2013-2014) =-2014． 解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100. 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)] =(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1). 7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= . 1 2 将x= 代入上式，得 1 2 原式=4. 8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋ 2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是 直角三角形？并说明理由． 拓展提升 ∴△ABC是等腰三角形． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0， (a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0， ∴a－c＝0或1＋2b＝0， 即a＝c或b＝－0.5(舍去)， 课堂小结 因 式 分 解 定 义 am+bm+mc=m(a+b+c) 方 法 提公因式法 公 式 法 确定公因式的方法：三定，即 定系数；定字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习） 注 意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号