2020届二轮复习函数基础知识及注意点学案（全国通用）

2020届二轮复习函数基础知识及注意点学案（全国通用）

函数一章基础知识 一、映射与函数：‎ ‎（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：‎ 如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。‎ 函数的图象与直线交点的个数为 个。‎ 二、函数的三要素： ， ， 。‎ 相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)‎ ‎（1）函数解析式的求法：‎ ‎①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： ‎ ‎（2）函数定义域的求法：‎ ‎①，则 ； ②则 ；‎ ‎③，则 ； ④如：，则 ；‎ ‎⑤含参问题的定义域要分类讨论；‎ 如：已知函数的定义域是，求的定义域。‎ ‎⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。‎ ‎（3）函数值域的求法：‎ ‎①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；‎ ‎②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；‎ ‎④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；‎ ‎⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；‎ ‎⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；‎ ‎⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ‎ ‎⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。‎ 求下列函数的值域：①（2种方法）；‎ ‎②（2种方法）；③（2种方法）；‎ 三、函数的性质：‎ 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。‎ 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）‎ 导数法（适用于多项式函数）‎ 复合函数法和图像法。‎ 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。‎ 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；‎ f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。‎ 判别方法：定义法，　图像法　，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。‎ 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。‎ 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.‎ 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。‎ 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。‎ 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）‎ 平移变换　y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过　　　　　平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。‎ ‎　　（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。‎ 对称变换　y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）‎ 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), ‎ y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。‎ 一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；‎ x O y y=f(x)‎ ‎(2,0)‎ ‎(0,-1)‎ 如：的图象如图，作出下列函数图象：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）；‎ ‎（9）。‎ 五、反函数：‎ ‎（1）定义：‎ ‎（2）函数存在反函数的条件： ；‎ ‎（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；‎ ‎（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②‎ 将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。‎ ‎（5）互为反函数的图象间的关系： ；‎ ‎（6）原函数与反函数具有相同的单调性；‎ ‎（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。‎ 如：求下列函数的反函数：；；‎ 七、常用的初等函数：‎ ‎（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；‎ ‎（2）一元二次函数：‎ 一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；‎ 两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；‎ 顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；‎ ‎①一元二次函数的单调性： ‎ 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；‎ ‎②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，‎ Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；‎ 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；‎ Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；‎ 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； ‎ 有三个类型题型：‎ ‎(1)顶点固定，区间也固定。如：‎ ‎(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。‎ ‎(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．‎ ‎③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：‎ 根的情况 等价命题 在区间上有两根 在区间上有两根 在区间或上有一根 充要条件 注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。‎ ‎（3）反比例函数：‎ ‎（4）指数函数：‎ 指数运算法则： ； ； 。‎ 指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0

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