天津市第一中学2021届高三上学期摸底考（零月考）数学试题

天津市第一中学2021届高三上学期摸底考（零月考）数学试题

天津一中 2020-2021-1 高三年级 数学学零月考试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 ‎90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在 试卷上的无效。‎ 一．选择题 ‎1．已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {1, 2, 4} ， B = {2, 5} ，则 (CU A) È B = ( ) A． {3, 4, 5} B． {2, 3, 5} C． {5} D． {3}‎ x0‎ ‎2.命题“存在 x0 Î R， 2‎ ‎£ 0”的否定是 （ ）‎ A.不存在 x0 Î R,‎ ‎2x0‎ ‎>0 B.存在 x0 Î R,‎ ‎2x0 ³ 0‎ C.对任意的 x Î R, 2x £ 0 D.对任意的 x Î R, 2x >0‎ ‎3．已知条件 p : ( x 2 + 1)( x - 5) > 0 .条件 q :‎ ‎x - 2‎ x 2 + 1‎ ‎‎ > 0 ，则 p 是 q 的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7 1 1 1‎ ‎5‎ ‎4.已知 a = log , b = ( ) 3 , c = log ‎3‎ ‎3 2 4 1‎ ‎，则 a, b, c 的大小关系为 ( )‎ A． a > b > c ‎B． b > a > c ‎C． b > c > a ‎D． c > a > b ‎1 = 2 - ‎1 (n ³ 2, n Î N * ) ，则数列 ‎‎ 的第 项为 ‎5.数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 1 ， a a a ‎{an }‎ ‎100‎ ‎( )‎ A． 1‎ ‎100‎ ‎‎ B． 1‎ ‎50‎ ‎n -1‎ C．‎ ‎n n +1‎ ‎1‎ ‎2100‎ ‎‎ D． 1‎ ‎250‎ ‎‎ uuur ‎6.在矩形 ABCD 中， AB = uuur uuur uuur ‎3, AD = 2 ， P 为矩形内一点，且 | AP |= 1 ，若 AP = lAB + mAD (l,mÎ R ) ，则 3l+ 2m 的最大值为 ( )‎ A． 6‎ ‎2‎ ‎B． 2 C． 3‎ ‎2‎ ‎D． 6 + 3 2‎ ‎4‎ ìx2 - x + 3, x £ 1,‎ ï x ‎7.已知函数 f (x) = í ïx + î ‎2 , x > 1.‎ x ‎设 a Î R ，若关于 x的不等式 f ( x) ³|‎ ‎+ a | 在 R 上恒成 ‎2‎ 立，则 a的取值范围是 （ ）‎ A． [- 47 , 2]‎ ‎16‎ ‎B． [- 47 , 39 ]‎ ‎16 16‎ ‎C． [-2 3, 2]‎ ‎D． [-2 3, 39 ]‎ ‎16‎ 二．填空题 ‎8． i 是虚数单位，则 | 8 - i |= .‎ ‎2 + i ‎9.在 ( x - ‎2 )5 的展开式中， x2 的系数是 .‎ x2‎ ‎10. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时 间，所得数据都在 [50,150] 中，其频率分布直方图如图所示，已知 在 [50,100) 中的频数为160 ，则 n 的值为 ．‎ ‎11.现有 6 位机关干部被选调到 4 个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参 加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有 1 位机关干部扶贫，则不同的分配方案有 ‎ 种．。‎ ‎12.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7 : 30 之前到校的概率均为 2 .假定甲、乙两位同学到 ‎3‎ 校情况互不影响，且任一位同学每天到校情况互相独立.用 X 表示甲同学上学期间的三天中 ‎7 : 30 之前到校的天数，则随机变量 X 的数学期望为 ；设 M 为事件“上学期间的 三天中，甲同学在 7 : 30 之前到校的天数比乙同学在 7 : 30 之前到校的天数恰好多 1 ”，则事 件 M 发生的概率为 ．‎ ì x2 , x ³ t ‎13. 已知函数 f ( x) = í î x, x < t ‎，若存在实数 a ，使得函数 y = f (x) - a 有两个零点，则 t 的 取值范围是 ．‎ 三．解答题 ‎14．在 DABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 ‎a = 2 2, b = 5, c = ‎13.‎ ‎（1）求角 C 的大小；‎ ‎（2）求 sin A 的值；‎ ‎（3）求 sin(2 A + ‎p ‎) 的值.‎ ‎4‎ ‎15. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 P - ABCD 中， AD / / BC ， ÐABC = 90o ， PA ^ 平 面 ABCD ， PA = AB = BC = 2, AD = 1 若 M 为 PC 的中点，‎ ‎（1）求证： DM / / 平面 PAB ；‎ ‎（2）求直线 MD 与平面 PBD 成角的正弦值大小；‎ ‎（3）求二面角 P - BD - M 的余弦值大小.‎ ‎16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 {bn } 为等差数列， b1 = -1, bn > 0(n ³ 2) ，‎ b2 Sn + an = 2 且 3a2 = 2a3 + a1 .‎ ‎（1）求 {an } ， {bn } 的通项公式；‎ ‎（2）设 cn = ‎1‎ ‎,Tn = b1c1 + b2c2 + L + bn cn ，求 Tn .‎ an ‎17．已知函数 f ( x) = (ax 2 + x - 1)e x + f ¢(0) .‎ ‎（1）求 f ¢(0) 的值；‎ ‎（2）讨论函数 f ( x) 的单调性；‎ ‎（3）若 g ( x) = e- x f ( x) + ln x, h( x) = e x ，过原点 (0, 0) 分别作曲线 y = g (x) 与 y = h(x) 的切线 l1 , l2 ，且 l1 , l2 关于 x 轴对称，求证： - ‎(e + 1)3‎ ‎2e2‎ ‎‎ < a < - ‎e + 2 .‎ ‎2‎ ‎18．已知函数 f ( x) = ln x - ax + 1, g ( x) = x(e x - x) ，‎ ‎（1）若直线 y = 2x 与函数 f ( x) 的图像相切，求实数 a 的值；‎ ‎（2）若存在 x1 Î (0, +¥), x2 Î (-¥, +¥) ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 ，且 x1 - x2 > 1, 求实数 a 的取 值范围；‎ ‎（3）当 a = -1 时，求证： f ( x) £ g ( x) + x 2‎ 参考答案：‎ ‎1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A ‎8. 13‎ ‎9.-10‎ ‎10. 400‎ ‎11. 1560‎ ‎58‎ ‎12. 2‎ ‎‎ ‎243‎ ‎13.t∈(0,1)∪(-∞,0)‎ ‎14.‎ ‎（1） cosC=‎ ‎a 2 + b2 + c 2 8 + 25 - 13 2‎ = = C = p ‎4‎ ‎2ab ‎20 2 2‎ ‎（2）sin A= a sin C c = 2 2 × 2 = 2 13 = 2 ‎ ‎13‎ a < c ‎2 13 13‎ Q A为锐角 cosA= 3‎ ‎13‎ sin 2 A = 2 sin A × cos A = 12‎ ‎13‎ cos 2 A = 2 cos 2 A -1 = 5‎ ‎13‎ p sin(2 A + ) = ‎2 (sin 2 A + cos 2 A)‎ ‎4 2‎ = 2 ´ 17 = 17 2‎ ‎2 13 26‎ uuur ‎（1）MD =（0，-1，-1）‎ r 平面PBD的法向量为u = (2,1,1)‎ 设直线D与平面PBD ‎或因为a uur r sina|cos=‎ ‎ur r ‎2‎ = ‎3‎ ‎2 × ‎6‎ ‎3‎ u D × u r r |=‎ ‎| D | × | u |‎ r ‎(3)平面MBD的法向量为t = (2, +1, -1)‎ 平面P - BD - M 所成角为b，且b 为锐角 r r cos b =| cos < u × t >|= uur PB = (0, 2, -2)‎ uuur PD = (1, 0, -2)‎ ‎r r r u × t r ‎| u | × | t |‎ ‎‎ = 4 = 2‎ ‎6 3‎ ì y - z = 0‎ í î x - 2z = 0‎ uuur ‎ì x = 2‎ í ï Þ ï y = 1‎ î z = 1‎ BD = (1, -2, 0)‎ uuur MD = (0, -1, -1)‎ ìb2 Sn + an = 2 ①‎ 当n ³ 2时 í + = îb2 Sn -1‎ ‎an -1 2 ②‎ 由①-②可得：b2 × an + an - an -1 = 0‎ ‎(b2 + 1) × an = an -1‎ ‎(b2 > 0)‎ an = 1 = 1 = 1 = 1‎ an -1‎ ‎1 + b2‎ ‎b2 - (-1)‎ ‎b2 - b1 d {an }GP, 且公比为q > 0‎ Q 3a2 = 2a3 + a1‎ ‎3a q = 2a q 2 + a ‎(a ¹ 0)‎ ‎1 1 1 1‎ ‎2q2 - 3q + 1 = 0‎ ìq = 1‎ ‎‎ ï ìq = 1‎ í 或 í 2‎ îd = 1（舍）‎ ‎ïîd = 2‎ Q an ‎= ( 1 )n -1‎ ‎2‎ bn = 2n - 3‎ ‎(2)Cn ‎= 2n -1‎ b × C ‎= (2n - 3) × 2n -1‎ n n bnCn Tn ‎= (n - 3 ) × 2n ‎2‎ = (n - 5 ) × 2n +1 + 5 (n Î N * )‎ ‎2‎ ‎（1）f / ( x) = (ax2 + 2ax + x)e x f / (0) = 0‎ ‎(2) f / ( x) = x × (ax + 2a +1)e x × x Î R ‎1°当a = 0时 ‎‎ f / ( x) = x × e x ‎‎ x (-¥0) (0 + ¥)‎ ‎2°当a = - 1 时 ‎‎ f / ( x)‎ f ( x)‎ f / ( x) = - 1 x 2e x £ 0‎ ‎‎ - + ¯ f ( x) 在(-¥, +¥) ¯ ‎2 2‎ ‎3°当a < - 1 时 ‎2‎ ‎x (-¥, -2 1 ) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)‎ a a f / ( x)‎ f ( x)‎ ‎- + - ¯ ¯ ‎4° 当 - 1 < a < 0时 x ‎2‎ ‎‎ ‎(-¥, 0)‎ ‎(0, -2 × 1 ) (-2 - 1 , +¥)‎ a R f / ( x)‎ f ( x)‎ ‎- + - ¯ ¯ ‎5°当a > 0时 x ‎(-¥, -2 - 1) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)‎ a a f / ( x)‎ f ( x)‎ ‎+ - + ¯ ‎2‎ ‎(3) g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x 过(0, 0)作h( x) = e x 切线l : y = ex Q l1与l2关于x轴对称 ì y = -ex l1 : í î g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x 设切点P（x0 ,g (x0 )）‎ ì2ax ‎+1 + 1‎ ‎‎ = -e( x ‎‎ > 0) ①‎ í ï 0 x2 0‎ ïax2 + x ‎- 1+ ln x ‎= -a x0 ②‎ î 0 0 0‎ 由①可知 : a = ‎1 - e +1由①②可知x ‎‎ - 3 + 2 ln x ‎‎ = -ex ‎2 x2 2x ‎0 0 0‎ ‎0 0‎ ‎(e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3 = 0‎ t ( x0 ) = (e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3‎ t ( x0 )在(0, +10) t (1) = e + 1 - 3 > 0‎ t ( e ‎) = e - 3 + ln e < 0‎ e + 1 2‎ x Î ( e ,1)‎ ‎0 e + 1‎ ‎1 Î (1,1 + 1 )‎ ‎e + 1‎ x0 e a = - 1 ( 1 )2 - e +1 ( 1 )‎ ‎2 x2‎ ‎2 x0‎ 在(1,1+ 1 ) ¯ e -(e + 1)3‎ ‎‎ -e - 2‎ a Î ( , )‎ ‎2e2 2‎ ‎18.‎ ‎（1）f / ( x) = 1 - a( x > 0)‎ x 设切点P（x0 2x0）‎ 切线方程为：y = ( 1 - a)x x0‎ ‎‎ ‎0 + ln x0‎ ì 1‎ ï í x0‎ ‎‎ - a = 2‎ ‎‎ ìa = -1‎ Þ í = ïln x = 0‎ ‎î x0 1‎ î 0‎ ‎（2）g(x )=x ‎(ex2 - x ) = 0 (e x > x)‎ x2 = 0‎ ‎2 2 2‎ 欲想$x1 > 1, f (x1 ) = 0‎ 只需 : ax1 = ln x1 +1‎ 只需 : a = ln x1 +1‎ x1‎ h( x) = ln x + 1 ( x > 1)‎ x h/ ( x) = - ln x < 0‎ x2‎ 且h(1) = 1 lim h( x) = 0‎ 只需：0 < a < 1‎