2020届高三高考命题专家预测密卷理科数学（一）试题 Word版含解析

2020届高三高考命题专家预测密卷理科数学（一）试题 Word版含解析

理科数学试卷（一）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若全集，集合，函数的定义域为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求得集合A,B，再进行补集和交集运算 ‎【详解】∵，‎ ‎ 即∴则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式解法及对数函数的定义域，是对基本知识的考查 ‎2. 已知复数满足，则（ ）‎ A. B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】C - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数除法运算计算复数,再根据复数的模的公式计算即可得答案.‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，模的计算，是基础题.‎ ‎3. 中，，，若，则角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量运算得，再根据余弦的和角公式即可求得，进而得.‎ 详解】由题：中：，，若，‎ 即，‎ 所以，所以 ‎ 又因为 ，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算，余弦的和角公式等，考查数学运算能力，是中档题.‎ ‎4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，其为正三棱锥，即可求得其表面积.‎ ‎【详解】该几何体是正三棱锥，为方便，将其在直棱柱中画出，如下所示：‎ 故其表面积，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其表面积，属综合基础题.‎ ‎5. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）‎ - 27 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象利用特殊值可排除掉ABD,即可求出答案.‎ ‎【详解】由图象可得当，.‎ 因为当时，可得，故可排除A；‎ 而当时，，故可排除B选项；‎ 当时，，故可排除D选项，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象，利用特殊值排除法，考查了数形结合思想，属于中档题.‎ ‎6. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，建立坐标系，写出点的坐标，以及直线的方向向量，即可用向量法求得结果.‎ ‎【详解】因为，，两两垂直，‎ 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.‎ 又因为，，‎ 所以，，，，‎ - 27 -‎ 因为是棱的中点，所以，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查用向量法求异面直线的夹角，准确的建系以及计算的准确是解决问题的关键，属基础题.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值是15，则判断框内应补充的条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合循环结构的特征，注意变量取值的变化，逐步运行即可得解.‎ ‎【详解】当，符合条件，可得，；‎ 当，符合条件，可得，；‎ 当，符合条件，可得，；‎ 当，符合条件，可得，；‎ 当，符合条件，可得，；‎ - 27 -‎ 当，符合条件，可得，；‎ 当，不符合条件，输出，‎ 故判断框内应补充的条件为“”.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8. 已知函数，实数满足不等式，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先判断函数的奇偶性与单调性，再将不等式转化，利用单调性解题即可.‎ ‎【详解】是增函数，且又是奇函数，‎ 所以由，得∴解得的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，利用单调性解不等式，是中档题.‎ ‎9. 下列判断错误的是（ ）‎ A. 若随机变量服从正态分布，，则；‎ B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；‎ C. 若随机变量服从二项分布：，则；‎ D. 已知直线经过点，则的取值范围是 ‎【答案】B - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据选项逐一判断，A选项根据正态分布曲线的对称性有，再求解；B选项根据题意判断充分性成立；C选项根据公式直接求出；D选项先建立，的方程，再运用基本不等式解题即可.‎ ‎【详解】A选项：若随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；‎ B选项：因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立，B不正确；‎ C选项：因为，所以，C正确；‎ D选项：由题意知，因为，，所以，当且仅当，时取等号，D正确，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布、二项分布、是的什么条件、基本不等式，是中档题.‎ ‎10. 已知函数，，若公比为的等比数列满足，则（ ）‎ A. 1010 B. 1011 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据函数的性质，及数列的性质即可求解.‎ - 27 -‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了函数的性质，数列的性质，考查了推理能力，属于中档题.‎ ‎11. 已知左、右焦点分别为，双曲线（，）上有一点，，若，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义求得，，然后根据同角三角函数的基本关系式求得，代入余弦定理即可求得的关系，即可求得离心率.‎ ‎【详解】由双曲线的定义有，又，故，.‎ 又，所以，‎ 在焦点三角形中，，‎ 即，化简得或，即或.故选：D.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了双曲线的定义、同角三角函数的基本关系、余弦定理等相关知识点，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.‎ ‎12. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.‎ ‎【详解】解：∵对任意，存在，使得，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，∴ ，‎ ‎∵，∴ ‎ ‎∴ ，解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝，B＝,则2a+ c的最大值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由正弦定理可得得 ，化为 ‎ 即可得出．‎ 详解：由 ‎ - 27 -‎ 得 ，其中 ‎ 的最大值是． 故答案为．‎ 点睛：本题考查了正弦定理、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14. 已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得，即可求出最大值.‎ ‎【详解】如图所示，设是线段的中点，则，‎ ‎ ‎ 因为，于是，‎ 在中，，，，‎ - 27 -‎ 由勾股定理得，，‎ 整理得，‎ 故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，‎ 故，‎ 又由圆的弦长公式可得 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆的弦，弦心距，半径的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎15. 二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】－20‎ ‎【解析】‎ 展开式的通项公式为Tr＋1＝C6rx2（6－r）（－）r＝C6r（－1）rx12－3r.‎ 令12－3r＝3得r＝3‎ 所以x3的系数为C63（－1）3＝－20‎ 考点：二项式定理，展开式 ‎16. 已知数列的前项和，数列对，有，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由前项和求，由得，二式相减，可得，然后利用裂项相消求和即可.‎ - 27 -‎ ‎【详解】由条件可得，当，，当时符合上式，从而数列的通项公式.‎ 当时，由得，‎ 将此二式相减，可得，.‎ 当时，得，，符合表达式，‎ 故数列的通项公式为，从而 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由数列的前项和求通项公式，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21是必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23是选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 在①函数（，）的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，，，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.‎ 已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）求函数在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】选择见解析；（1）；（2）单调递增区间为，.‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择条件①：‎ ‎（1）根据三角函数图像的变换求 ，再通过函数值求出 ，最后求 即可；‎ ‎（2）本小题直接整体代入求单调增区间即可.‎ 选择条件②：‎ ‎（1）本小题根据向量数量积的坐标运算求 ，再通过函数值求出 ，最后求 即可；‎ ‎（2）本小题直接整体代入求单调增区间即可.‎ 选择条件③：‎ ‎（1）本小题根据三角恒等变换先求 ，再通过函数值求出 ，最后求 即可；‎ ‎（2）本小题直接整体代入求单调增区间即可.【详解】‎ ‎【详解】解：方案一：选条件①‎ 由题意可知，‎ ‎∴∴‎ ‎∴‎ 又函数图象关于原点对称 ‎∴，‎ ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎（1），且，‎ ‎∴∴.‎ ‎（2）由，‎ 解得，‎ - 27 -‎ 令，得 令，得 ‎∴函数在上的单调递增区间为，.‎ 方案二：选条件②‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴‎ ‎（1），且，‎ ‎∴∴.‎ ‎（2）由，‎ 解得，‎ 令，得 令，得 ‎∴函数在上的单调递增区间为，.‎ 方案三：选条件③‎ - 27 -‎ 又 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（1），且，‎ ‎∴∴.‎ ‎（2）由，‎ 解得，‎ 令，得 令，得 ‎∴函数在上的单调递增区间为，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图像的变换、平面向量、三角恒等变换与三角函数的性质，是中档题.‎ ‎18. 如图1，正方形，，延长到达，使，，两点分别是线段，上的动点，且.将三角形沿折起，使点到达的位置（如图2），且.‎ - 27 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当，分别为和的中点时，判断的长度是否最短并求出；‎ ‎（3）当的长度最短时，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）的长度最短，；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在平面和平面内，作，交于点，，交于点，连接，则．推导出四边形是平行四边形，从而．由此能求出与平面平行．‎ ‎（2）推导出，，，从而当时，．此时，分别是和的中点．‎ ‎（3）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成角（锐角）的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：分别在平面和平面内作交于点，‎ 交于点，连接.‎ - 27 -‎ ‎∵，∴.设 在中，，‎ 则，∴，‎ 同理可求，∴，‎ 即四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），分别为和的中点时，的长度最短 ‎∵，.‎ 在中，，‎ ‎∴‎ 当时，，此时、分别是和的中点 由（1）知 - 27 -‎ ‎∴，分别为和的中点时，的长度最短，.‎ ‎（3）以为坐标原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，，，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 由可得，取，可得 设是平面的一个法向量，‎ 由可得.取，可得.‎ ‎∴，平面与平面所成角（锐角）的余弦值.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线段的中点的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19. 已知函数的图象在点处的切线斜率为-10，该切线在轴上的截距为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若对恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数求出函数的切线斜率即可求出，利用切点可得；‎ - 27 -‎ ‎（2） 利用导数求出函数，根据恒成立即可得出，即可求解.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴‎ 因为在处的切线斜率，‎ 则，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设切线方程是则，解得 ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 设函数，‎ 则，‎ 所以在为增函数，可得，‎ 令，得；令，得，‎ 所以当时，；当时，，‎ 所以，‎ 从而，即 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的切线方程，根据导数求函数的最小值，考查了恒成立问题，属于中档题.‎ - 27 -‎ ‎20. 已知曲线（，），且曲线过，两点，是坐标原点，是曲线上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交曲线于点，.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求的值；‎ ‎（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）是为定值；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，利用待定系数法求解即可；‎ ‎（2）先设出直线和，再根据题意得，，是方程的两根，故有，由于，带入化简即可得；‎ ‎（3）分直线，不落在坐标轴上和直线，落在坐标轴上两种情况讨论；设，联立得得，，，再结合（2）即可求得.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知解得，‎ 所以曲线的方程为 - 27 -‎ ‎（2）因直线和都与圆相切，‎ 所以，，‎ 所以，，是方程的两根 所以 因为点在曲线上所以 所以.‎ ‎（3）①当直线，不落在坐标轴上时，设，‎ 联立得得，，‎ 所以，同理 因为 所以 所以.‎ ‎②当直线，落在坐标轴上时，显然有 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，圆锥曲线的定值问题，考查数学运算能力与分析解决问题能力，是中档题.‎ ‎21. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000‎ - 27 -‎ 名患者的相关信息，得到如下表格：‎ 潜伏期（单位：天）‎ 人数 ‎（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；‎ ‎（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；‎ 潜伏期天 潜伏期天 总计 岁以上（含岁）‎ 岁以下 总计 ‎（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？‎ 附：‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（1）天；（2）见解析，没有；（3）人.‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整的列联表，计算，对照临界值表得出结论；（3）根据题意知随机变量，计算概率，列不等式组并结合题意求出的值.‎ ‎【详解】（1）天；‎ ‎（2）根据题意补充完整的列联表如下：‎ 潜伏期天 潜伏期天 总计 岁以上（含岁）‎ 岁以下 总计 则，，‎ 所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；‎ ‎（3）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，‎ 设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为，则，，，‎ 由，即，‎ 化简得解得，又，所以，‎ - 27 -‎ 即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能时8人.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的应用问题，以及二项分布，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 已知曲线极坐标方程：，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合.曲线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线相交，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，代入即可化简得的直角坐标方程，消元可得曲线的普通方程；‎ ‎（2）利用弦心距，半弦长，半径构成直角三角形即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ 把，代入，得曲线的直角坐标方程为.‎ 由，得，‎ ‎∴曲线的普通方程为 ‎（2）由曲线的普通方程为，可得圆心为，半径 - 27 -‎ ‎∵圆心到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 即，得，或，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与参数方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式可知，直接去掉绝对值符号解不等式即可.‎ ‎（2）由题意可得,利用绝对值三角不等式求最值即可.‎ ‎【详解】（1）显然,故，‎ 故不等式的解集为；‎ ‎（2）由题意得对一切实数恒成立，‎ 从而 ‎∵,‎ ‎∴的最小值为3,‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即实数的取值范围为.‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题.‎ - 27 -‎