高中理科数学大题

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三角函数 一 知识点总结 1．角度制与弧度制的互化： ,23600  ,1800  1rad＝  180 °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180  ≈0.01745（rad） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式： rl . 扇形面积公式:S= rl.2 1  ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设 是一个任意角，它的终边上一点 p（x,y）, r= 22 yx  (1)正弦 sin = r y 余弦 cos = r x 正切 tan = x y (2)各象限的符号： x y + O — — + x y O — + — + y O sin cos tan 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin2 + cos2 =1。 （2）商数关系：   cos sin =tan （ zkk  ,2  ） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限    1 sin 2 sink    ，  cos 2 cosk    ，    tan 2 tank k     ． — + + — T M A O P x y    2 sin sin     ，  cos cos     ，  tan tan    ．    3 sin sin    ，  cos cos   ，  tan tan    ．    4 sin sin    ，  cos cos     ，  tan tan     ．  5 sin cos2        ，cos sin2        ．  6 sin cos2        ，cos sin2         ． 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 8.三角函数的伸缩变化 9.三角函数公式： 两角和与差的三角函数关系 sin(   )=sin ·cos   cos ·sin  cos( )=cos ·cos sin ·sin 10．正弦定理 ： 2sin sin sin a b c RA B C    . 11.余弦定理： 2 2 2 2 cosa b c bc A   ; 2 2 2 2 cosb c a ca B   ; 2 2 2 2 cosc a b ab C   . 三角形面积定理. 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B   . 二 、三角函数常考题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿 该题 12 分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向 量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下三类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 倍角公式 sin2 =2sin ·cos cos2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1 =1-2sin2   2tan1 tan22tan   例 1 已知向量 3 3(cos ,sin ), (cos , sin ), [ , ]2 2 2 2 2 x xx x x     且a b 。 （1）若| | 3 a b ，求 x 的取值范围； （2）函数 ( ) | |f x    a b a b ，若对任意 1 2, [ , ]2x x   ，恒有 1 2| ( ) ( ) |f x f x t  ,求t 的取值范围。 解：（1） | | | | 1, cos2 , | | 2 2cos2 2cos 3x x x           a b a b a b ， 即 3 5cos . [ , ],2 2 6x x x        。 （2） 21 3( ) | | cos2 2cos 2(cos )2 2f x x x x        a b a b 。 max min1 cos 0, ( ) 3, ( ) 1x f x f x       ，又 1 2 max min| ( ) ( ) | ( ) ( ) 4, 4f x f x f x f x t      二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中 心。 例 3 已知向量 (sina , )2 1 ， 1(b , )cos2  ， 5 1ba ， )2,0(   （1）求  sin2sin 及 的值； （2）设函数 xxxf 2cos2)22sin(5)(   ])2,24[( x ，求 x 为何值时， )(xf 取得最大值，最大 值是多少，并求 )(xf 的单调增区间。 解：（1） 5 1cossin  ba ， 25 12sin1)cos(sin 2   ,∴ 25 242sin  , 25 492sin1)cos(sin 2   ，∴ 5 7cossin   ,∴ 5 3cos  ， 5 4sin  . （2） 12cos)sin2sincos2(cos52cos1)2cos(5)(  xxxxxxf  12sin42cos412cos)2sin5 42cos5 3(5  xxxxx 1)42sin(24  x ,∵ 224   x ， ∴ 4 5 423   x ,∴当 24 x 时， 621)24()(max  fxf ,要使 )(xfy  单调递增， ∴  kxk 224222  , Z)(88 3  kkxk  ,又 ]2,24[ x ， ∴ )(xfy  的 单 调 增 区间 为 ]8,24[  . 三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。 例 6 在△ ABC 中,角 A,B , C 的对边分别为 a, b ,c．已知向量 ( , )a c b a  m , ( , )a c b n ,且 m n ． （1）求角C 的大小； （2）若 6sin sin 2A B  ,求角 A 的值。 解: （1）由 m n 得( )( ) ( ) 0a c a c b a b     ； 整理得 2 2 2 0a b c ab    ． 即 2 2 2a b c ab   ，又 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab     ．又因为0 C   ,所以 3C  ． （2）因为 3C  ，所以 2 3A B   , 故 2 3B A  ． 由 6 2 6sin sin , sin sin( )2 3 2A B A A    得 ．即 3 1 6sin cos sin2 2 2A A A   , 所以 3sin cos 2A A  ．即 2sin( )6 2A   ．因为 20 3A   ，所以 5 6 6 6A     , 故 6 4A    或 3 6 4A    ,∴ 12A  或 7 12A  ． 三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件， 在日常训练中一定要改掉边做题边看公式的坏习惯。再者，填空题答案书写的规范也需反复强调。 数列 一、知识点 1、数列的通项公式与前 n 项的和的关系 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n     ( 数列{ }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a    ). 2、等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N       ； 3、等差数列其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a as  1 ( 1) 2 n nna d  2 1 1( )2 2 d n a d n   . 4、等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq     ； 5、等比数列前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q       或 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q       . 二、高考常见题型 题型一：数列的通项公式的求法 A、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 B、公式法：已知 nS （即 1 2 ( )na a a f n    ）求 na ，用作差法：  1 1 ,( 1) ,( 2)n n n S na S S n    。 例．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 1,)1(2  naS n nn ．求数列 na 的通项公式。 解：由 112 1111  aaSa 当 2n 时，有 ,)1(2)(2 11 n nnnnn aaSSa   1 12 2 ( 1) ,n n na a       ,)1(22 2 21    n nn aa ……， .22 12  aa 1 1 2 2 1 12 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)n n n n na a               ].)1(2[3 2 3 ])2(1[2)1(2 )]2()2()2[()1(2 12 1 1 211        nn n nn nnnn  经验证 11 a 也满足上式，所以 ])1(2[3 2 12   nn na C、累加法： 若 1 ( )n na a f n   求 na ： 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a         1a ( 2)n  。 D、累乘法：已知 1 ( )n n a f na   求 na ，用累乘法： 1 2 1 1 2 1 n n n n n a a aa aa a a         ( 2)n  。 E、已知递推关系求 na ，用构造法（构造等差、等比数列）。 ①  nf 为常数，即递推公式为 qpaa nn 1 （其中 p，q 均为常数， )0)1(( ppq ）。 解法：转化为： )(1 tapta nn  ，其中 p qt  1 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例. 已知数列 na 中， 11 a ， 321  nn aa ，求 na . 解：设递推公式 321  nn aa 可以转化为 )(21 tata nn  即 321  ttaa nn .故递推公式为 )3(231  nn aa ,令 3 nn ab ，则 4311  ab ,且 23 311    n n n n a a b b .所以 nb 是以 41 b 为首项，2 为公比的等比数列，则 11 224   nn nb , 所以 32 1  n na . 二.数列的前 n 项求和的求法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论. 常用公式： 11 2 3 ( 1)2n n n      ， 2 2 2 11 2 ( 1)(2 1)6n n n n      ， 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用 公式法求和. 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考 虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法）. 例 3、求  89sin88sin3sin2sin1sin 22222  的值 解：设  89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S …………. ① 将①式右边反序得  1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S …………..② （反序） 又因为 1cossin),90cos(sin 22  xxxx  ①+②得 （反序相加） )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222  S ＝89 ∴ S＝44.5 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选 用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法）. 例 4、 求和： 132 )12(7531  n n xnxxxS ………………………① 解：由题可知，{ 1)12(  nxn }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ 1nx }的通项之积 设 n n xnxxxxxS )12(7531 432  ………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n xnxxxxxSx )12(222221)1( 1432   （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： n n n xnx xxSx )12(1 121)1( 1    ∴ 2 1 )1( )1()12()12( x xxnxnS nn n    5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂 项相消法求和 常用裂项形式有： ① 1 1 1 ( 1) 1n n n n   ；② 1 1 1 1( )( )n n k k n n k   ； ③ 2 2 1 1 1 1 1( )1 2 1 1k k k k      ， 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1k k k k k k k k k          ； ④ 1 1 1 1[ ]( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n       ；⑤ 1 1 ( 1)! ! ( 1)! n n n n    ； 6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 例 8 、求  1 1111111111 个n  之和. 解：由于 )110(9 199999 11111 11  k kk  个个 （找通项及特征） ∴  1 1111111111 个n  ＝ )110(9 1)110(9 1)110(9 1)110(9 1 321  n （分组求和） ＝ )1111(9 1)10101010(9 1 1 321    个n n  ＝ 9110 )110(10 9 1 nn   ＝ )91010(81 1 1 nn  导数 一、知识点总结 1、导数的几何意义： 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义就是曲线 )(xfy  在点 ))(,( 0 xfx 处的切线的斜率，也就是 说，曲线 )(xfy  在点 P ))(,( 0 xfx 处的切线的斜率是 )( 0 ' xf ，切线方程为 ).)(( 0 ' 0 xxxfyy  2.、几种常见函数的导数： ① 'C 0 ；② 1')(  nn nxx ； ③ xx cos)(sin '  ；④ xx sin)(cos '  ； ⑤ aaa xx ln)( '  ；⑥ xx ee ')( ； ⑦ axxa ln 1)(log '  ；⑧ xx 1)(ln '  3、导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v   . （2） ' ' '( )uv u v uv  . （3） ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv vv v   4、复合函数的求导法则 设函数 ( )u x 在 点 x 处 有 导 数 ' ' ( )xu x ， 函 数 )(ufy  在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有导数 ' ' ( )uy f u ，则复合函数 ( ( ))y f x 在点 x 处有导数，且 ' ' ' x u xy y u  ，或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x  . 5、极值的判别方法：（极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＜ )( 0xf ，则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极大值， 极小值同理） 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时， ①如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＞0，右侧 )(' xf ＜0，那么 )( 0xf 是极大值； ②如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＜0，右侧 )(' xf ＞0，那么 )( 0xf 是极小值 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 二、常考题型总结 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 3 2( ) 3 2f x x x   在区间 1,1 上的最大值是？ 2．已知函数 2)()( 2  xcxxxfy 在 处有极大值，则常数 C？ 3．函数 331 xxy  有极小值 ？,极大值？ 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线 34y x x  在点 1, 3  处的切线方程是 2y x  2 ． 若 曲 线 xxxf  4)( 在 P 点 处 的 切 线 平 行 于 直 线 03  yx ， 则 P 点 的 坐 标 为 （ 1 ， 0 ） 4．求下列直线的方程： （1）曲线 123  xxy 在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2xy  过点 P(3,5)的切线； 解：（1） 123|yk 23 1)1,1( 1x /2/23   －上，在曲线点 －xxyxxyP 所以切线方程为 02 11  yxxy 即， （2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),( 00 yxA ，则 2 00 xy  ①又函数的导数为 xy 2/  ， 所以过 ),( 00 yxA 点的切线的斜率为 0 / 2| 0 xyk xx   ，又切线过 ),( 00 yxA 、P(3,5)点，所以有 3 52 0 0 0   x yx ②，由 ①②联立方程组得，        25 5 1 1 0 0 0 0 y x y x 或 ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ;22 01  xk ；当切点为（5，25） 时 ， 切 线 斜 率 为 102 02  xk ； 所 以 所 求 的 切 线 有 两 条 ， 方 程 分 别 为 2510 12 )5(1025)1(21  xyxyxyxy 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)( 23 fPxfycbxaxxxf 上的点过曲线  的切线方程为 y=3x+1 （Ⅰ）若函数 2)( xxf 在 处有极值，求 )(xf 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 )(xfy  在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数 )(xfy  在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)( 223 baxxxfcbxaxxxf  求导数得 过 ))1(,1()( fPxfy 上点 的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(  xbacbayxffy 即 而过 .13)]1(,1[)(  xyfPxfy 的切线方程为上 故           3 02 3 323 ca ba ca ba 即 ∵ 124,0)2(,2)(  bafxxfy 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ .542)( 23  xxxxf （2） ).2)(23(443)( 2  xxxxxf 当 ;0)(,3 22;0)(,23  xfxxfx 时当时 13)2()(.0)(,13 2  fxfxfx 极大时当 又 )(,4)1( xff  在[－3，1]上最大值是 13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 ,23)( 2 baxxxf  由①知 2a+b=0。 依题意 )(xf  在[－2，1]上恒有 )(xf  ≥0，即 .03 2  bbxx ①当 6,03)1()(,16 min  bbbfxfbx 时 ； ②当  bbbfxfbx ,0212)2()(,26 min时 ； ③当 .60,012 12)(,162 2 min  bbbxfb 则时 综上所述，参数 b 的取值范围是 ),0[  题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是 f（x）的导函数， )(/ xf 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ） ① ② （A） （B） （C） （D） 2．函数 的图像为143 1 3  xxy ( A ) x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2-2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2-2 6 66 6 y x -4 -2 o 42 2 4 3．方程 内根的个数为在 )2,0(0762 23  xx ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：求参数取值范围、恒成立及存在性问题 A、分离常数法 例 1、已知函数 ( ) lnf x x x .（Ⅰ）求 ( )f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有 1x  都有 ( ) 1f x ax  ，求实数 a 的取值范围. 学科网 解：(Ⅰ) exxfxxf 1,0)(,1ln)('  解得令 ‘ . 又易知 ）上单调递减，，在（ exf 1,0)( ）上单调递增，，在（ exf )( 所以 eefxf 1)1()( 的最小值为 （Ⅱ）依题意，得 ( ) 1f x ax  在[1 ) ， 上恒成立，即不等式 1lna x x   对于 [1 )x  ， 恒成立 （分离 常数）. 令 1( ) lng x x x   ， 则 2 1 1 1 1( ) 1g x x x x x         . 当 1x  时，因为 1 1( ) 1 0g x x x        ， 故 ( )g x 是(1 ) ， 上的增函数， 所以 ( )g x 的最小值是 (1) 1g  ，所以 a 的取值范围是( 1]，. B、与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略： 1、利用“要使 axf )( 成立，只需使函数的最小值 axf  min )( 恒成立即可；要使 axf )( 成立， 只需使函数的最大值 axf  max )( 恒成立即可 2、已知函数的单调性及单调区间，则转化为关于导数大于或者小于 0 在给定区间上恒成立的问题 3、利用子空间的思想，即首先求出函数的单调增或减区间，然后让题所给的区间是所求区间的子集 类型 1．参数放在函数表达式上 例１．设函数 Raaxxaxxf  其中86)1(32)( 23 ． 的取值范围求上为增函数在若 的值求常数处得极值在若 axf axxf ,)0,()()2( .,3)()1(   （１）由 的极值点为时经检验知解得 )(3,3.30)3(' xfxaaf  （２）方法１： )1)((66)1(66)( 2'  xaxaxaxxf .)0,()(,0. 10,)0,()(,),1(),,()(,1 .),()(,0)1(6)(,1 .,),(),1,()(,1 2 上递增在时综上所述 则上递增在要保证上递增在时当 上递增在恒成立时当 符合条件上递增在时当     xfa axfaxfa xfxxfa axfa 方法 ２： 0 01,0 )0,()1()1( )0,(0)( )0,()( '       a ax xx xxaxx xxf xf 从而 上恒成立在即 上恒成立在所以 上递增在因为  方法３． 0 0)0( 02 1 0 02 1 ]0,(6)1(66)( ' 2'             a f aa axaxxf 可解得 或故有 上最小值大于或等于零在保证 解题方法总结：求 )(' xf 后，若能因式分解则先因式分解，讨论 )(' xf =0 两根的大小判断函数 )(xf 的 单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 类型 2．参数放在区间边界上 例２．已知函数 )(,0)( 23 xfyxdcxbxaxxf  曲线处取得极值在 过原点和点ｐ(-1,2),若曲线 )(xfy  在点 P 处的切线与直线 452 的夹角为xy  且切线的倾斜角为钝角. (1) 求 )(xf 的表达式 (2) 若 )(xf 在区间[2m-1,m+1]上递增,求 m 的取值范围. 略解 (1) 23 3)( xxxf  ]2,2 1[]3,( 121 012 121 21 ),0()2,(]1,12[ )0,2(,),0(),2,()()2(363)()2( 2'              m mm m mm m mm xfxxxxxf 解得 或所以 的一个子区间或是从而只要保证 上递减在上递增在可知 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. C、已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例 3.已知 时都取得极值与在 13 2)( 23  xxcbxaxxxf (1) 求ａ、ｂ的值及函数 )(xf 的单调区间． (2) 若对 2)(],2,1[ cxfx  不等式 恒成立，求ｃ的取值范围． 略解：(1) 2,2 1  ba 212 2)2(]2,1[)(,2)2(,2 1)1( 2 3)1(,27 22)3 2(13 2023,23)().2( 2 22'    ccc，c cfxfcfcf cfcfxxxxxxxf 或解得从而 上的最大值为在所以 且或得由 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 类型 2．参数放在区间上 例４．已知三次函数 dcxxaxxf  23 5)( 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 )(xf 在 x=3 处有 极值. （１） 求 )(xf 的解析式. （２） 当 ),0( mx  时, )(xf >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 分析:(1) 935)( 23  xxxxf ]3,0( ),0(0)(]3,0(),0(0)(3 0)3()(,)(,0)()3,3 1( 9)0()()(,0)()3 1,0(3,3 10)( )3)(13(3103)().2( ' ' 21 ‘ 2' 的取值范围为所以 内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当 所以单调递减时当 所以单调递增时当得由 m mxfm，mxfm fxfxfxfx fxf，xfxfxxxxf xxxxxf     D、知函数图 象的交点情况，求参数的取值范围． 解题思路：1 画出两个图像，即穿线图和趋势图（先增后减再增或者先减后增再减） 2 由趋势图结合根的个数写不等式（主要看极值与 0 的关系） 3 解不等式 例 5.已知函数 1,13)( 23  xxxbxaxxf 在 处取得极值 (1) 求函数 )(xf 的解析式. (2) 若过点 )2)(,1( mmA 可作曲线 y= )(xf 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 略解(1)求得 xxxf 3)( 3  (2)设切点为 33)(),3,( 2' 0 3 00  xxfxxxM 因为 0 2 00 '2 0 3 00 0 2 0 3 0 0 2 00 3 0 2 0 66)(332)( , 0332 )1)(33(3 ),1)(33( xxxgmxxxg xA mxx xxmxx Mxxmy      则设 有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点 即 所以 又切线过点所以切线方程为 )2,3( 230)1( 0)0( 1,0)(,)1,0(,),1(),0,()( 100)( 0 0000 000 '          的取值范围是所求的实数 解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于 的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以 或得由 m mg gx xxxgxg xxxg 总 结 : 从 函数的极值符号及单调性来保证函数图象与 x 轴交点个数. 在文科数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函 数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值范围这 个问题即可迎刃而解. 圆锥曲线 一、知识点总结 （一）圆 1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程：①当 D2+E2-4F＞0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 )2,2( ED  半 径 是 2 422 FED  。 配 方 ， 将 方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化 为 (x+ 2 D )2+(y+ 2 E )2= 4 4F-ED 22  ②当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(- 2 D ,- 2 E ); ③当 D2+E2-4F＜0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r  点 M 在圆 C 内，｜MC｜=r  点 M 在圆 C 上，｜MC｜＞r  点 M 在圆 C 内，其中｜MC｜= 2 0 2 0 b)-(ya)-(x  。 直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交  有两个公共 点；直线与圆相切  有一个公共点；直线与圆相离  没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 22 BA CBbAad   与半径 r 的大小关系来判定。 (二）椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆、双曲线、抛物线性质对比 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1．到两定点 F1,F2 的距 离 之 和 为 定 值 2a(2a>|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 2．与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.（01） 与定点和直线的距离相 等的点的轨迹. 轨 迹 条 件 点集：({M｜｜MF1+｜ MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜ 2a} 点集：{M｜｜MF1｜-｜ MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点 M 到直线 l 的距离}. 图形 方 程 标 准 方程 12 2 2 2  b y a x ( ba  >0) 12 2 2 2  b y a x (a>0,b>0) pxy 22  参 数 方程 为离心角）参数   ( sin cos    by ax 为离心角）参数   ( tan sec    by ax    pty ptx 2 2 2 (t 为参数) 范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0 中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0,2( pF 准 线 x=± c a 2 准线垂直于长轴，且在 椭圆外. x=± c a 2 准线垂直于实轴，且在两顶 点的内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两 侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c= 22 ba  ） 2c （c= 22 ba  ） 离心率 )10(  ea ce )1(  ea ce e=1 【备注 1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线 222 ayx  称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy  ，离心率 2e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 线.  2 2 2 2 b y a x 与  2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02 2 2 2  b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程： )0(2 2 2 2   b y a x 的渐近线方程为 0 b y a x 如果双曲线的渐近线为 0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为 )0(2 2 2 2   b y a x . 【备注 2】抛物线： （1）抛物线 2y =2px(p>0)的焦点坐标是( 2 p ,0)，准线方程 x=- 2 p ，开口向右；抛物线 2y =-2px(p>0) 的焦点坐标是(- 2 p ,0)，准线方程 x= 2 p ，开口向左；抛物线 2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2 p )，准线方 程 y=- 2 p ，开口向上； 抛物线 2x =-2py（p>0）的焦点坐标是（0,- 2 p ），准线方程 y= 2 p ，开口向下. （2）抛物线 2y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 20 pxMF  ；抛物线 2y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 02 xpMF  （3）设抛物线的标准方程为 2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2 p ，顶点到准线的距 离 2 p ，焦点到准线的距离为 p. （4）已知过抛物线 2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = 21 xx  +p 或 2sin 2pAB  (α为直线 AB 的倾斜角)， 2 21 pyy  ， 2,4 1 2 21 pxAFpxx  ( AF 叫做焦半径). 二、常考题型 常用知识点总结 1、中点坐标公式： 1 2 1 2,y2 2 x x y yx    ，其中 ,x y 是点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 在直线 ( 0)y kx b k   上， 则 1 1 2 2y kx b y kx b   ， ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( )AB x x y y x x kx kx k x x           2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x    或者 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( )AB x x y y x x y y y yk k k            2 1 2 1 22 1(1 )[( ) 4 ]y y y yk     。 3、两条直线 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    垂直：则 1 2 1k k   两条直线垂直，则直线所在的向量 1 2 0v v  4、韦达定理：若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    有两个不同的根 1 2,x x ，则 1 2 1 2,b cx x x xa a     。 题型一、数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 解题思路：①联立方程组→→②求出式★→→③利用韦达定理、判别式 →→④寻求“目标”的实现 （1）相交： 0   直线与圆锥曲线相交； （2）相切： 0   直线与圆锥曲线相切； （3）相离： 0   直线与圆锥曲线相离； 例题 1、已知直线 : 1l y kx  与椭圆 2 2 : 14 x yC m   始终有交点，求 m 的取值范围 解 ： 根 据 直 线 : 1l y kx  的 方 程 可 知 ， 直 线 恒 过 定 点 （ 0 ， 1 ）， 椭 圆 2 2 : 14 x yC m   过 动 点 0 ), 4m m （ ， 且 ，如果直线 : 1l y kx  和椭圆 2 2 : 14 x yC m   始终有交点，则 1 4m m ，且 ，即 1 4m m 且 。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： : 1 01l y kx   过定点（ ，） : ( 1) 1l y k x   过定点（ ，0） : 2 ( 1) 1l y k x    过定点（ ，2） 题型二、焦点三角形，焦半径，焦点弦问题 （1）焦点三角形 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦 点三角形 叫焦点直角三角形。 1：该三角形一边长为焦距，另两边的和（差）为定值。 2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。 （此处具体知识点省略，看笔记） （2）焦半径，焦点弦 若抛物线的方程为 y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点 F（p 2 ，0）的直线交抛物线与 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 (1) y1y2＝－p2；x1x2＝p2 4 ； (2)| AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P (3) 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝2 p ； (4) 过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 A/、B/，F 抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900； (5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 (6) 设 A， B 是抛物线 y2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点 (2p，0) 例题（1）短轴长为 5 ，离心率 3 2e 的椭圆的两焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作直线交椭圆于 A、B 两点， 则 2ABF 的周长为________ （2）设 P 是等轴双曲线 )0(222  aayx 右支上一点，F1、F2 是左右焦点，若 0212  FFPF ，|PF1|=6， 则该双曲线的方程为 （3）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e＝ 2 6 ，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的 左支交于 A、B 两点，且 AB 是 2AF 与 2BF 等差中项，则 AB ＝_______ （4）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021  PFF ， 31221  FPFS ．求该双曲线的标准方程。 题型三、动点轨迹方程问题 1、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、 限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 1．点 M 与定点 (0,2)F 的距离和它到定直线 8y  的距离的比是1: 2 ，求点的轨迹方程式，并说明轨 迹是什么图形． 变式：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 3x 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程． 2、待定系数法： 已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。 例 2、 已知椭圆的焦点坐标为 和 ，且经过点 ，求椭圆的标准方程。 变式：抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 0135 的直线，被抛物线截得的弦 长为 8，试求抛物线的方程。 3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例 3、求与圆 1)3( 22  yx 及 9)3( 22  yx 都外切的动圆圆心的轨迹方程 解：设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得 rMFrMF  1,3 21 ， 又因为 2)1()3(21  rrMFMF ， 由双曲线的定义可知，点 M 的轨迹是双曲线的一支 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为： 181 22  yx )1( x 变式：（1）、一动圆与圆 2 2 6 5 0x y x    外切，同时与圆 2 2 6 91 0x y x    内切，求动圆圆心的轨迹 方程式，并说明它是什么曲线． （2 、 已知 ABC 的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使 ACB sin2 1sinsin  ， 求点 A 的轨迹 分析：首先建立坐标系，由于点 A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦 定理将其化为边的关系，注意有关限制条件 解：以底边 BC 为 x 轴，底边 BC 的中点为原点建立 xoy 坐标系，这时 )0,6(),0,6( CB  ，由 ACB sin2 1sinsin  得 62 1  acb ,即 6||||  ABAC 所以，点 A 的轨迹是以 )0,6(),0,6( CB  为焦点，2 a =6 的双曲线的 左支 其方程为： )3(1279 22  xyx 4、代入法 当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 yx, 来表示，再代入到其他动点 要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 例 4：点 A 位于双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 上， 21,FF 是它的两个焦点，求 21FAF 的重心 G 的 轨迹方程 分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注 意限制条件 解：设 21FAF 的重心 G 的坐标为 ),( yx ，则点 A 的坐标为 )3,3( yx 因为点 A 位于双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 上，从而有 )0(1)3()3( 2 2 2 2  y b y a x ，即 )0(1 )3()3( 2 2 2 2  yb y a x 所以， 21FAF 的重心 G 的轨迹方程为 )0(1 )3()3( 2 2 2 2  yb y a x 变式：如图，从双曲线 1: 22  yxC 上一点Q 引直线 2:  yxl 的垂线，垂足为 N ，求线段QN 的中点 P 的轨迹方程. 解：设 ),(),( 11 yx，QyxP ，则 )2,2( 11 yyxxN  . N 在直线l 上， .222 11  yyxx ① 又 lPN  得 ,1 1 1   xx yy 即 011  xyyx .② 联解①②得        2 23 2 23 1 1 xyy yxx .又点 Q 在双曲线 C 上， 1)2 23()2 23( 22  xyyx ，化简整理得： 012222 22  yxyx ，此即动点 P 的轨迹方程. 5、参数法 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标 yx, 间建立起联系，然后再 从所求式子中消去参数，得到 yx, 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程. 例 5 过抛物线 pxy 22  （ 0p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA、OB ，求弦 AB 的中点 M 的 轨迹方程. 解：设 ),( yxM ，直线OA 的斜率为 )0( kk ，则直线OB 的斜率为 k 1 .直线 OA 的方程为 kxy  ， y Q O x N P 由      pxy kxy 22 解得        k py k px 2 2 2 ，即 )2,2( 2 k p k pA ，同理可得 )2,2( 2 pkpkB  . 由中点坐标公式，得        pkk py pkk px 2 2 ，消去 k ，得 )2(2 pxpy  ，此即点 M 的轨迹方程. 6、交轨法 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然 后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法. 例 6 如右图，垂直于 x 轴的直线交双曲线 12 2 2 2  b y a x 于 M 、 N 两点， 21, AA 为双曲线的左、右顶点，求直线 MA1 与 NA2 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 解：设 ),( yxP 及 ),(),,( 1111 yxNyxM  ，又 )0,(),0,( 21 aAaA  ，可得 直线 MA1 的方程为 )( 1 1 axax yy  ①；直线 NA2 的方程为 )( 1 1 axax yy   ②. ① × ② 得 )( 22 22 1 2 12 ax ax yy    ③ . 又 ,12 2 1 2 2 1  b y a x )( 2 1 2 2 2 2 1 xa a by  ， 代 入 ③ 得 )( 22 2 2 2 ax a by  ，化简得 12 2 2 2  b y a x ，此即点 P 的轨迹方程. 当 ba  时，点 P 的轨迹是以原点为 圆心、 a 为半径的圆；当 ba  时，点 P 的轨迹是椭圆. 题型四、共线问题 解题思路： 1、取两点确立一条直线，计算解析式，然后带入第三点验证 2、向量法证明 3、利用点差法求出 AB、AC 直线的斜率，相等即共线 例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 2 2 19 4 x y  于 P、Q 两点，且DP DQl= uuur uuur ,求实数l 的取值范围。 解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DP DQl= uuur uuur (x1,y1-3)=l (x2,y2-3)即 1 2 1 23 ( 3) x x y y l l ì =ïïïíï = + -ïïî 判别式法、韦达定理法、配凑法 xA1 A2O y N M P 设直线 PQ 的方程为： 3, 0y kx k   ，由 2 2 3 4 9 36 y kx x y      消 y 整理后，得 2 2(4 9 ) 54 45 0k x kx    P、Q 是曲线 M 上的两点 2 2(54 ) 4 45(4 9 )k k     ＝ 2144 80 0k   即 29 5k  ① 由韦达定理得： 1 2 1 22 2 54 45,4 9 4 9 kx x x xk k      2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 2x x x x x x x x     2 2 2 2 54 (1 ) 45(4 9 ) k k     即 2 2 2 2 36 9 4 415(1 ) 9 9 k k k      ② 由①得 2 1 10 9 5k   ，代入②，整理得 2 36 91 5(1 ) 5    ， 解之得 1 55   当直线 PQ 的斜率不存在，即 0x  时，易知 5  或 1 5   。 总之实数l 的取值范围是 1 ,55      题型五、定点问题 （1）A、B 是抛物线 y2＝2px（p＞0）上的两点，且 OA⊥OB（O 为坐标原点） 求证：直线 AB 经过一个定点； （2）抛物线 y2＝2px（p＞0）上有两个动点 A、B 及一定点 M（p， 2p），F 为焦点；若|AF|、|MF|、 |BF|成等差数列，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点。 题型六、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、 直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 设椭圆 E: 2 2 2 2 1x y a b   （a,b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB  ？ 若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 例 3 图 x y B O A M F 解:（1）因为椭圆 E: 2 2 2 2 1x y a b   （a,b>0）过 M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点, 所以 2 2 2 2 4 2 1 6 1 1 a b a b         解得 2 2 1 1 8 1 1 4 a b     所以 2 2 8 4 a b     椭圆 E 的方程为 2 2 18 4 x y  （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB  , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y kx m  解 方 程 组 2 2 18 4 x y y kx m      得 2 22( ) 8x kx m   , 即 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m     , 则△= 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m       ,即 2 28 4 0k m   1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k         , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (2 8) 4 8( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m mk k k               要 使 OA OB  , 需 使 1 2 1 2 0x x y y  , 即 2 2 2 2 2 2 8 8 01 2 1 2 m m k k k     , 所 以 2 23 8 8 0m k   , 所 以 2 2 3 8 08 mk   又 2 28 4 0k m   ,所以 2 2 2 3 8 m m     ,所以 2 8 3m  ,即 2 6 3m  或 2 6 3m   ,因为直线 y kx m  为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 21 mr k   , 2 2 2 22 8 3 81 31 8 m mr mk     , 2 6 3r  ,所求的圆为 2 2 8 3x y  ,此时圆的切线 y kx m  都满足 2 6 3m  或 2 6 3m   ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3x   与椭圆 2 2 18 4 x y  的两 个交点为 2 6 2 6( , )3 3  或 2 6 2 6( , )3 3   满足OA OB  ,综上, 存在圆心在原点的圆 2 2 8 3x y  ， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB  . 因为 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k         , 所以 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 8 8(8 4)( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 (1 2 ) km m k mx x x x x x k k k              ,   2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8(8 4)| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 ) k mAB x x y y k x x k k            4 2 2 4 2 4 2 32 4 5 1 32 [1 ]3 4 4 1 3 4 4 1 k k k k k k k         , ①当 0k  时 2 2 32 1| | [1 ]13 4 4 AB k k     因为 2 2 14 4 8k k    所以 2 2 1 10 1 84 4k k     ,所以 2 2 32 32 1[1 ] 1213 3 4 4k k      , 所以 4 6 | | 2 33 AB  当且仅当 2 2k   时取”=”. 2 当 0k  时, 4 6| | 3AB  . 3 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 2 6 2 6( , )3 3  或 2 6 2 6( , )3 3   ,所以此时 4 6| | 3AB  , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | | 2 33 AB  即: 4| | [ 6,2 3]3AB  题型七、最值问题 （1）如图所示，若 A（3，2），F 为抛物线 y2＝2x 的焦点， 求 |PF| ＋|PA|的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标。 变式：若 A（3，5）呢？ （2）.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 2y x 上移动， 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值，并求此时 AB 中点 M 的坐标。 （3）若 Ryx , ，且 623 22  yx ，则 yx  的最大值是___， 22 yx  的最小 值是 （4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为__ ！注意圆锥曲线与向量的联系 （1）给出 OBOA  与 AB 相交,等于已知 OBOA  过 AB 的中点; （2）给出 0  PNPM ,等于已知 P 是 MN 的中点; （3）给出  BQBPAQAP   ,等于已知 QP, 与 AB 的中点三点共线; （ 4 ） 给 出 以 下 情 形 之 一 ： ① ACAB // ； ② 存 在 实 数 , AB AC  使 ； ③ 若 存 在 实 数 例 8 图 x y P F O L AN PN , , 1, OC OA OB          且 使 ,等于已知 CBA ,, 三点共线. （5） 给出 0 MBMA ,等于已知 MBMA  ,即 AMB 是直角,给出 0 mMBMA ,等于已知 AMB 是钝角, 给出 0 mMBMA ,等于已知 AMB 是锐角, （6）在平行四边形 ABCD 中，给出 0)()(  ADABADAB ，等于已知 ABCD 是菱形; （7） 在平行四边形 ABCD 中，给出| | | |AB AD AB AD      ，等于已知 ABCD 是矩形; （8）在 ABC 中，给出 222 OCOBOA  ，等于已知O 是 ABC 的外心（三角形外接圆的圆心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （9） 在 ABC 中，给出 0 OCOBOA ，等于已知O 是 ABC 的重心（三角形的重心是三角 形三条中线的交点）； （10）在 ABC 中，给出 OAOCOCOBOBOA  ，等于已知O 是 ABC 的垂心（三角形的垂 心是三角形三条高的交点）； （11）在 ABC 中，给出  OAOP ( ) | | | | AB AC AB AC       )(  R 等于已知 AP 通过 ABC 的内心； （12）在 ABC 中，给出 ,0 OCcOBbOAa 等于已知O 是 ABC 的内心（三角形内切圆的 圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （13） 在 ABC 中，给出  1 2AD AB AC    ,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线;