2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试
文科数学试卷
考试时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10 B．5 C．－1 D．－
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的有关平面结论成立的是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；
③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．
A．①②③ B．①③ C．① D．②③
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2
0,b>0)的离心率为,且它的一个焦点在抛物线的准线上,则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A B C D
9. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A B C D
10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，则的最小值为（ ）
A B C D 无法确定
11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
12．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（ ）
A． B．12 C．9 D．6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 ,则椭圆的标准方程为 .
14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．
15．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为
16．已知椭圆＋=1与双曲线－=1（m，n，p，q∈R＋）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|= ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
18．(本小题满分12分) 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
20．(本小题满分12分) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
21．(本小题满分12分设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
22．(本小题满分12分) 已知点P(－2,1)在椭圆C： (a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．
(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；
(2) 求直线AB的斜率．
2019-2020学年度第一学期期末试题答案
高二文科数学试卷
考试时间:120分钟 分值:120分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析： ∵z＝＝＝＝－i，
∴复数z对应的点的坐标为，在第四象限．
答案： D
2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10 B．5
C．－1 D．－
解析： f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－.
答案： D
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的有关平面结论成立的是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；
③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．
A．①②③ B．①③
C．① D．②③
解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③
的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
答案： A
4．函数y＝x3－3x2－9x(－20；当x>－1时，y′<0.
当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值．
答案： C
5．函数y＝4x2＋的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．(1，＋∞)
解析： 令y′＝8x－＝>0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>.
答案： C
6．抛物线的准线方程是 （ ）D
A． B． C． D．
7．设双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为,且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准
线上,则此双曲线的方程为( ) C
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）D
A B C D
9. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）C
A B C D
10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，则的最小值为（ ）C
A B C D 无法确定
11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析： 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案： B
12．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（ ）C
Ａ． Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 ,则椭圆的标
准方程为 . =1或 =1
14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．
解析： 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入到y＝x3＋3x2－5，得b＝－3，即P(－1，－3)，y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.
答案： 3x＋y＋6＝0
15．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为
16．已知椭圆＋=1与双曲线－=1（m，n，p，q∈R＋）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|= ．m-p
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
解析： (1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，
得y′|x＝x0＝.
∵切线与y＝2x－4平行，
∴＝2，∴x0＝，∴y0＝，
则所求切线方程为y－＝2，即2x－y＋＝0.
(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5上，
故需设切点坐标为M(x1，y1)，则切线斜率为.
又∵切线斜率为，∴＝＝，
∴2x1－2＝x1，得x1＝4.
∴切点为M(4,10)，斜率为，
∴切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
18．(本小题满分12分) 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程是
（2）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A,B的坐标分别为，
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
…… ①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2，
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．
解析： (1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－3)得a＋b＋1＝－3，
∵f′(x)＝3ax2＋b，
又f′(1)＝3a＋b＝0，
∴由得，
∴f(x)＝2x3－6x＋1.
(2)∵f′(x)＝6x2－6，
∴由f′(x)>0得x>1或x<－1，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.
同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.
(2) 由解得或
即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，
故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.
21．(本小题满分12分设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝
所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；
当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；
当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.
所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).
(2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1.
因为f(x)＞a恒成立，
所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).
22．(本小题满分12分)
已知点P(－2,1)在椭圆C：＋＝1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．
(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；
(2) 求直线AB的斜率．
[解] (1)将P(－2,1)代入＋＝1，得＋＝1，a2＝8.故椭圆方程为＋＝1.
2.当直线AB斜率不存在时不合题意，故设直线AB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，
由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝kx0＋m＝，
直线OP经过弦AB的中点，则k OM＝kOP，＝－，
＝－，∴k＝，即直线AB的斜率为.
