2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学(文)试题

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2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学(文)试题

‎ 黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试 文科数学试卷 考试时间:120分钟 分值:150分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(  )‎ A.第一象限  B.第二象限C.第三象限D.第四象限 ‎2.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为(  )‎ A.10 B.‎5 C.-1 D.- ‎3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的有关平面结论成立的是(  )‎ ‎①平行于同一直线的两条直线平行;‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直;‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交.‎ A.①②③ B.①③ C.① D.②③‎ ‎4.函数y=x3-3x2-9x(-20,b>0)的离心率为,且它的一个焦点在抛物线的准线上,则此双曲线的方程为(  ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为( )‎ A B C D ‎ ‎9. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于P、Q,是另一焦点,若∠,则双曲线的离心率等于( )‎ A B C D ‎ ‎10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,则的最小值为( )‎ A B C D 无法确定 ‎11.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 A.(-1,1) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ ‎12.已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点,则的最小值是(  )‎ A. B.‎12 ‎ C.9 D.6‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 ,则椭圆的标准方程为     .  ‎ ‎14.垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是________.‎ ‎15.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时,椭圆长轴的最小值为     ‎ ‎16.已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点F1、F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|= .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知曲线y=5,求:‎ ‎(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程;‎ ‎(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程.‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角,‎ ‎(1)写出直线l的参数方程。‎ ‎(2)设l与圆相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积。‎ ‎19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象经过点(1,-3)且在x=1处,f(x)取得极值.求:‎ ‎(1)函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)f(x)的单调递增区间.‎ ‎20.(本小题满分12分) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ ‎21.(本小题满分12分设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>3;‎ ‎(2)若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围. ‎ ‎22.(本小题满分12分) 已知点P(-2,1)在椭圆C: (a>0)上,动点A,B都在椭圆上,且直线AB不经过原点O,直线OP经过弦AB的中点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率;‎ ‎(2) 求直线AB的斜率.‎ ‎ 2019-2020学年度第一学期期末试题答案 高二文科数学试卷 考试时间:120分钟 分值:120分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(  )‎ A.第一象限        B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析: ∵z====-i,‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为,在第四象限.‎ 答案: D ‎2.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为(  )‎ A.10 B.5‎ C.-1 D.- 解析: f′(x)=3x2+4,f′(1)=7,f(1)=10,y-10=7(x-1),y=0时,x=-.‎ 答案: D ‎3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的有关平面结论成立的是(  )‎ ‎①平行于同一直线的两条直线平行;‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直,则必与另一条垂直;‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必与另一条相交.‎ A.①②③ B.①③‎ C.① D.②③‎ 解析: 类比①的结论为:平行于同一个平面的两个平面平行,成立;类比②的结论为:一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直,成立;类比③‎ 的结论为:如果一个平面与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交,成立.‎ 答案: A ‎4.函数y=x3-3x2-9x(-20;当x>-1时,y′<0.‎ 当x=-1时,y极大值=5,x取不到3,无极小值.‎ 答案: C ‎5.函数y=4x2+的单调递增区间是(  )‎ A.(0,+∞) B.(-∞,1)‎ C. D.(1,+∞)‎ 解析: 令y′=8x-=>0,即(2x-1)(4x2+2x+1)>0,且x≠0,得x>.‎ 答案: C ‎6.抛物线的准线方程是 ( )D A. B. C. D.‎ ‎7.设双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为,且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准 线上,则此双曲线的方程为(  ) C A. =1 B. =1 C. =1 D. =1‎ ‎8. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为( )D A B C D ‎ ‎9. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于P、Q,是另一焦点,若∠,则双曲线的离心率等于( )C A B C D ‎ ‎10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,则的最小值为( )C A B C D 无法确定 ‎11.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ 解析: 设m(x)=f(x)-(2x+4),‎ 则m′(x)=f′(x)-2>0,‎ ‎∴m(x)在R上是增函数.‎ ‎∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,‎ ‎∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},‎ 即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).‎ 答案: B ‎12.已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点,则的最小值是(  )C A. B.12 C.9 D.6‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 ,则椭圆的标 准方程为     .  =1或 =1 ‎ ‎14.垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是________.‎ 解析: 设切点为P(a,b),函数y=x3+3x2-5的导数为y′=3x2+6x,切线的斜率k=y′|x=a=‎3a2+‎6a=-3,得a=-1,代入到y=x3+3x2-5,得b=-3,即P(-1,-3),y+3=-3(x+1),3x+y+6=0.‎ 答案: 3x+y+6=0‎ ‎15.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时,椭圆长轴的最小值为     ‎ ‎16.已知椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点F1、F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|= .m-p 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知曲线y=5,求:‎ ‎(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程;‎ ‎(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程.‎ 解析: (1)设切点为(x0,y0),由y=5,‎ 得y′|x=x0=.‎ ‎∵切线与y=2x-4平行,‎ ‎∴=2,∴x0=,∴y0=,‎ 则所求切线方程为y-=2,即2x-y+=0.‎ ‎(2)∵点P(0,5)不在曲线y=5上,‎ 故需设切点坐标为M(x1,y1),则切线斜率为.‎ 又∵切线斜率为,∴==,‎ ‎∴2x1-2=x1,得x1=4.‎ ‎∴切点为M(4,10),斜率为,‎ ‎∴切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角,‎ ‎(1)写出直线l的参数方程。‎ ‎(2)设l与圆相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积。‎ 解:(1)直线的参数方程是 ‎(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为,‎ 以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 ‎ …… ①‎ 因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2,‎ 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2‎ ‎19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象经过点(1,-3)且在x=1处,f(x)取得极值.求:‎ ‎(1)函数f(x)的解析式;(2)f(x)的单调递增区间.‎ 解析: (1)由f(x)=ax3+bx+1的图象过点(1,-3)得a+b+1=-3,‎ ‎∵f′(x)=3ax2+b,‎ 又f′(1)=‎3a+b=0,‎ ‎∴由得,‎ ‎∴f(x)=2x3-6x+1.‎ ‎(2)∵f′(x)=6x2-6,‎ ‎∴由f′(x)>0得x>1或x<-1,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞).‎ ‎20.(本小题满分12分) ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ ‎【解析】(1)以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系,且两坐标系取相同单位长.‎ 因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,‎ 所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程.‎ 同理,x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.‎ ‎(2) 由解得或 即⊙O1,⊙O2的交点为(0,0)和(2,-2)两点,‎ 故过交点的直线的直角坐标方程为x+y=0.‎ ‎21.(本小题满分12分设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>3;‎ ‎(2)若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围. ‎ ‎【解析】(1)因为f(x)=|x-1|+|x-2|=‎ 所以当x<1时,3-2x>3,解得x<0;‎ 当1≤x≤2时,f(x)>3无解;‎ 当x>2时,2x-3>3,解得x>3.‎ 所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).‎ ‎(2)因为f(x)=所以f(x)min=1.‎ 因为f(x)>a恒成立,‎ 所以a<1,即实数a的取值范围是(-∞,1).‎ ‎22.(本小题满分12分) ‎ 已知点P(-2,1)在椭圆C:+=1(a>0)上,动点A,B都在椭圆上,且直线AB不经过原点O,直线OP经过弦AB的中点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率;‎ ‎(2) 求直线AB的斜率.‎ ‎[解] (1)将P(-2,1)代入+=1,得+=1,a2=8.故椭圆方程为+=1.‎ ‎2.当直线AB斜率不存在时不合题意,故设直线AB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),‎ 由得(1+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-8=0,‎ x0=(x1+x2)=-,y0=kx0+m=,‎ 直线OP经过弦AB的中点,则k OM=kOP,=-,‎ =-,∴k=,即直线AB的斜率为.‎
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