2020九年级数学下册 第一章角的三角函数值

2020九年级数学下册 第一章角的三角函数值

课时作业(七)‎ ‎[第一章　6　利用三角函数测高]‎ 一、选择题 ‎1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为‎1米，则旗杆PA的高度为(　　)‎ 图K－7－1‎ A.米 B.米 C.米 D.米 ‎2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为‎1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进‎100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－7－2‎ A．‎50 ‎米 B．‎‎51米 C．(50 ＋1)米 D．‎‎101米 8‎ ‎3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为‎52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到‎1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73)(　　)‎ 图K－7－3‎ A．‎125米 B．‎‎105米 C．‎85米 D．‎‎65米 ‎4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为‎20 m，DE的长度为‎10 m，则树AB的高度是(　　)‎ A．‎20 ‎ m B．‎30 m ‎ C．‎30 ‎ m D．‎‎40 m 图K－7－4‎ ‎5．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高‎15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()‎ ‎　　　‎ 图K－7－5‎ A．‎20米 B．‎10 ‎米 C．‎15 ‎米 D．‎5 ‎米 二、填空题 ‎6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC＝‎18 m，则树高AB约为________m．(结果精确到‎0.1 m)‎ 图K－7－6‎ ‎7．如图K－7－7(示意图)‎ 8‎ ‎，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)‎20 m的点B处，用高为‎0.8 m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到‎0.1 m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)‎ ‎　　　‎ 图K－7－7‎ ‎8．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为‎18 m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．‎ 图K－7－8‎ 三、解答题 ‎9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K－7－9所示)，已知标语牌的高AB＝‎5 m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)‎ 图K－7－9‎ ‎10．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是‎31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.‎ ‎(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；‎ ‎(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．‎ ‎(结果均精确到‎0.01 m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)‎ 8‎ 图K－7－10‎ ‎11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：‎ ‎(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；‎ ‎(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；‎ ‎(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝‎1.5米，并测得C，D之间的距离为‎288米．‎ 已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(取1.732，结果保留整数)．‎ 图K－7－11‎ 如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．‎ ‎(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；‎ ‎(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．‎ 8‎ 图K－7－12‎ 8‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[答案] A　‎ ‎2．[解析] C　设AG＝x米，在Rt△AEG中，‎ ‎∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x米．‎ 在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x米，∴x－x＝100，‎ 解得x＝50 ，则AB＝(50 ＋1)米，故选C.‎ ‎3．[解析] B　如图，延长FH交AC于点E.由题意知BG⊥AC，BH⊥FH，FE⊥AC，∴四边形BGEH是矩形，∴BH＝GE，BG＝HE.‎ ‎∵BG∶AG＝1∶2.4，‎ ‎∴设BG＝x米，AG＝2.4x米(x＞0)．‎ 在Rt△ABG中，∵AB＝52米，由勾股定理可得BG2＋AG2＝AB2，即x2＋(2.4x)2＝522，解得x＝20，则BG＝20米，AG＝48米．‎ 在Rt△BHF中，∵∠HBF＝77°，∴tan77°＝，∴FH＝BHtan77°.‎ 在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，‎ ‎∴EF＝AE，‎ ‎∴(48＋BH)＝20＋BHtan77°，‎ 解得BH≈24.25，‎ ‎∴FH＝BHtan77°≈105米．故选B.‎ ‎4．[解析] B　先根据CD＝‎20 m，DE＝‎10 m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．‎ ‎5．[解析] A　如图，延长CD交点A所在的水平线于点F，如图．由题意，知GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝‎15米，∴AB＝2GE＝‎30米．∵AF＝BC＝＝＝10 (米)，DF＝AF·tan30°＝10 ×＝10(米)，∴CD＝AB－DF＝30－10＝20(米)．‎ 8‎ ‎6．[答案] 12.6‎ ‎7．[答案] 40.0‎ ‎[解析] 过点A作AE⊥CD于点E.‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴四边形ABDE是矩形，‎ ‎∴AE＝BD＝20 m，DE＝AB＝0.8 m.‎ 在Rt△ACE中，∠CAE＝63°，‎ ‎∴CE＝AE·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)，‎ ‎∴CD＝CE＋DE≈39.2＋0.8＝40.0(m)，‎ 即筒仓CD的高约为40.0 m.‎ ‎8．[答案] 12 ‎[解析] 过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形．根据题意，得∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝‎18 m，‎ ‎∴DE＝BC＝18 m，CD＝BE.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝18×tan60°＝18 (m)．‎ 在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE＝18×tan30°＝6 (m)，∴CD＝BE＝AB－AE＝18 －6 ＝12 (m)．‎ ‎9．[解析] 如图，过点F作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，推出AH＝HF.‎ 设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m，在Rt△AEB中，由∠E＝30°，AB＝5 m，推出AE＝2AB＝10 m，可得x＋x＝10，解方程即可．‎ 解：如图，过点F作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，‎ ‎∴AH＝HF.设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m.‎ 在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5 m，‎ ‎∴AE＝2AB＝10 m，‎ ‎∴x＋x＝10，解得x＝5 －5，∴EF＝2x＝10 －10≈7.3(m)．‎ 答：点E与点F之间的距离约为7.3 m.‎ ‎10．解：(1)在Rt△ABE中，BE＝AB·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，‎ AE＝＝≈≈36.05(m)，‎ 故甲楼的高度约为18.60 m，彩旗的长度约为36.05 m.‎ ‎(2)过点F作FM⊥GD，交GD于点M，‎ 在Rt△GMF中，GM＝FM·tan19°.‎ 在Rt△GDC中，GD＝CD·tan40°.‎ 设甲、乙两楼之间的距离为x m，则FM＝CD＝x m.‎ 根据题意，得 xtan40°－xtan19°＝18.60，解得x＝37.20.‎ 乙楼的高度GD＝CDtan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，‎ 故乙楼的高度约为31.25 m，甲、乙两楼之间的距离约为37.20 m.‎ 8‎ ‎11．解：设AH＝x米，在Rt△EHG中，‎ ‎∵∠EGH＝45°，‎ ‎∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)米．‎ ‎∵GF＝CD＝288米，‎ ‎∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)米．‎ 在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，‎ ‎∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·，‎ 解得x＝150(＋1)．‎ ‎∴AB＝AH＋BH＝150(＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)．‎ 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] 本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A楼的高度，通过解直角三角形可得B楼的高度．‎ 解：(1)答案不唯一．如图，设AC表示A楼，BD表示B楼．‎ 测量步骤如下：‎ ‎①用测角器在A楼的顶端点A测量B楼楼底的俯角α；‎ ‎②用测角器在点A测量B楼楼顶的仰角β；‎ ‎③用皮尺从A楼楼顶放下，测量点A到地面的高度为a.‎ ‎(2)在Rt△ACD中，‎ CD＝＝.‎ 在Rt△AEB中，BE＝AE·tanβ.‎ ‎∵AE＝CD，∴BE＝，‎ ‎∴B楼的高度BD＝BE＋ED＝BE＋AC＝＋a＝a.‎ 8‎