高中数学必修4：1_2_2同角的三角函数的基本关系（教、学案）

高中数学必修4：1_2_2同角的三角函数的基本关系（教、学案）

‎1. 2.2‎同角的三角函数的基本关系 一、教学目标：‎ ‎⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；‎ ‎2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；‎ ‎3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．‎ 二、教学重、难点 ‎ 重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.‎ 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.‎ 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.‎ 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 ‎ ‎【创设情境】‎ O x y P M ‎1‎ A(1,0)‎ 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．‎ ‎【探究新知】‎ 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? ‎ 如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.‎ 根据三角函数的定义,当时,有.‎ 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.‎ ‎【例题讲评】‎ 例1化简：‎ ‎ 解：原式 例2 已知 解：‎ ‎ （注意象限、符号）‎ 例3求证： ‎ 分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．‎ 证法1：左边=右边，‎ ‎∴原等式成立 证法2：左边=＝‎ ‎＝右边 证法3：‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，‎ ‎∴＝＝＝1，‎ ‎∴．‎ ‎ ∴‎ 左边=右边 ∴原等式成立．‎ 例4已知方程的两根分别是，‎ 求 ‎ 解：‎ ‎ （化弦法）‎ 例5已知，‎ 求 解：‎ ‎【课堂练习】‎ ‎ 化简下列各式 1． 2． ‎3．‎ 练习答案：‎ 解：（１）原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝ ‎ ‎（２）原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎【学习小结】‎ ‎（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．‎ ‎（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．‎ (1) 作业：习题‎1.2A组第10,13题.‎ (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.‎ ‎ 【课后作业】见学案 ‎ 【板书设计】略 ‎ 【教学反思】‎ ‎1.2.2‎同角的三角函数的基本关系 课前预习学案 预习目标：‎ 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。‎ 预习内容：‎ 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： ‎ ‎ 。‎ 提出疑惑：‎ 与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？‎ ‎ 。 ‎ 课内探究学案 学习目标：‎ ‎⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；‎ ‎2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；‎ ‎3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．‎ 学习过程：‎ ‎【创设情境】‎ O x y P M ‎1‎ A(1,0)‎ 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．‎ ‎【探究新知】‎ 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? ‎ 如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即 .‎ 根据三角函数的定义,当时,有 .‎ 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.‎ ‎【例题讲评】‎ 例1化简：‎ 例2 已知 例3求证： ‎ 例4已知方程的两根分别是，‎ 求 ‎ 例5已知，‎ 求 ‎【课堂练习】‎ ‎ 化简下列各式 1． 2． ‎3．‎ 课后练习与提高 ‎1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为( )‎ ‎2若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )‎ A0 B‎1 C－1 D±1‎ ‎3若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为( )‎ A0 B C－ D±‎ ‎4若＝10，则tanα的值为 ‎ ‎5若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝ ‎ ‎6若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝ ‎ 同角的三角函数的基本关系 教学目的：‎ ‎⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；‎ ‎2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；‎ ‎3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．‎ 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．‎ 授课类型：新授课 知识回顾：同角三角函数的基本关系公式:‎ ‎—————————————————— —————————————————‎ ‎—————————————————— —————————————————‎ 典型例题：‎ 例1． 已知sin=2，求α的其余三个三角函数值． ‎ 例2．已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值．‎ 例3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．‎ 说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：‎ (1) 角所在的象限；‎ (2) 用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；‎ ‎(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论．‎ ‎ ‎ 四、小结 几种技巧 五、课后作业： ‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记： ‎