2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业7二次函数与幂函数含解析苏教版
课时作业7 二次函数与幂函数
一、选择题
1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是( D )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝x.故选D.
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( A )
A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1,3]上递增
D．单调性不能确定
解析：由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( D )
解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c<0，所以排除B，故选D.
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4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( A )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
5．(2020·山东青岛模拟)若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－)，f()的大小关系为( B )
A．f()>f(－)>f(－1)
B．f()
f()>f()，即f()0时，由f(0)＝1可知，需满足题意，需得00，即a>0时，f(x)max＝f＝－6.而g(x)＝x＋4在(－∞，－1]上单调递增，故g(x)
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max＝g(－1)＝3.故或解得a≤6，所以a的最大值是6，故选A.
二、填空题
9．(2020·江西九江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝－1.
解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.
10．(2020·上海普陀一模)设α∈{，，－1，－2,3}，若f(x)＝xα为偶函数，则α＝－2.
解析：由题可知，当α＝－2时，f(x)＝x－2，满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数；当α＝，，－1,3时，不满足f(－x)＝f(x)，故α＝－2.
11．(2020·河北唐山模拟)已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是f(x)＝－4x2－12x＋40.
解析：设f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－3，x1x2＝＋，
则|x1－x2|＝＝2＝7，
得a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
12．设函数f(x)＝mx2－x－，若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，则m的取值范围是m<－.
解析：若m＝0，则显然不成立；
若m≠0，则解得m<－.
三、解答题
13．已知奇函数y＝f(x)的定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x)．
(1)求出函数y＝f(x)的解析式；
(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间．(不用证明，只需直接写出递增区间即可)
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－x(1＋x)．
又因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
综上f(x)＝
(2)函数y＝f(x)的单调递增区间是.
14．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．
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解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，a>0，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝＝2，
解得a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
∴g(x)图象的对称轴方程为x＝，
则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．
15．(2020·安徽合肥模拟)若0aa，babb.故在ab，ba，aa，bb中最大值是ab，故选C.
16．(2020·福建莆田模拟)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1,1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是.
解析：∵f(x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1，∴当x＝1时，a∈R，当x∈[－1,1)时，a≥恒成立，∴a≥max＝－.综上可得a≥－.
17．(2020·山西晋中模拟)对于函数f(x)＝ax2＋(1＋b)x＋b－1(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝mx0成立，则称x0为f(x)关于参数m的不动点．
(1)若a＝1，b＝－2时，求f(x)关于参数1的不动点；
(2)若对于任意实数b，函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点，求a的取值范围；
(3)当a＝1，b＝2时，函数f(x)在(0,2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
由题意得x2－x－3＝x，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3，
故当a＝1，b＝－2时，f(x)关于参数1的两个不动点为－1和3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有关于参数1的两个不动点，∴ax2＋(b＋1)x＋b
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－1＝x，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个不等实根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立，
于是Δ′＝(－4a)2－16a<0，解得0
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