高考文科数学重庆卷解析版

高考文科数学重庆卷解析版

‎2014年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学文科试题答案及解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。‎ ‎2.在等差数列中，,则 A.5 B.8 C.10 D.14‎ ‎【答案】B ‎【解析】将条件全部化成:,解得,于是.考察关于等差数列的基本运算，属于简单题.‎ ‎3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本。已知从高中生中抽取70人，则为（）‎ A.100 B.150 C.200 D.250‎ ‎【答案】A ‎【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：‎ ‎。考察分层抽样的简单计算.‎ ‎4.下列函数为偶函数的是（）‎ A.B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用奇偶性的判断法则：。即可得到答案为D。考察最简单的奇偶性判断.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）‎ A.10 B.17 C.19 D.36‎ ‎【答案】C ‎【解析】按照程序框图问题的计算方法，按照程序所给步骤进行计算：‎ ‎【点评】：本题考查了对程序框图循环结构的理解。何时开始运算，运算几次能够达到条件是求出的关键。属于容易题。‎ ‎6.已知命题 对任意的，总有；‎ 是方程的根.‎ 则下列命题为真命题的是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】易知命题P是真命题，q是假命题。为假命题，为真命题。所以为真命题。此题考查复合命题的真假性判断。‎ ‎【点评】：本题主要考查了四种命题复合之后的关系，在对符号进行区分的时候容易出错。属于容易题。‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：根据三视图，我们可以得到原图如图PDACBB1所示，可以看作是底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥B1-A1C1PD的组合体,因此V =V柱+V锥=AC×AB×‎1‎‎2‎×AA‎1‎+‎1‎‎3‎×PD×DA‎1‎×A‎1‎B‎1‎=3×4×‎1‎‎2‎×2+‎1‎‎3‎×3×3×4=24‎,‎ ‎【点评】：此题考查几何体三视图，关键是会根据三视图还原原图，难度中等。‎ 8. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）‎ A. ‎ B. C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，同除以得。‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义、离心率问题，首先由题意建立关于的齐次方程，解出再代入离心率公式即可，属于中档难度。‎ ‎9.若，则的最小值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】，条件足以说明。经过化简得：，即，于是 ‎【点评】本题考查了对数的定义及运算，均值不等式的应用。‎ ‎10. 已知函数‎ fx= ‎‎1‎x+1‎‎-3,xϵ‎-1,0‎,‎x , xϵ‎0,1‎, ‎，且gx=fx-mx-m在‎-1,1‎内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）‎ A.‎(-‎9‎‎4‎,-2]∪(0,‎1‎‎2‎]‎; B.‎(-‎11‎‎4‎,-2]∪(0,‎1‎‎2‎]‎;‎ C.‎(-‎9‎‎4‎,-2]∪(0,‎2‎‎3‎]‎; D.‎‎(-‎11‎‎4‎,-2]∪(0,‎2‎‎3‎]‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的图像为下图所示的黑色图像部分.‎ gx=fx-mx-m在‎-1,1‎内的零点可看成函数与直线的交点，又知道该直线过定点.要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间。计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是‎(-‎9‎‎4‎,-2]∪(0,‎1‎‎2‎]‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎11.已知集合A=｛3，4，5，12，13｝，B=｛2，3，5，8，13｝，则A∩B=‎.‎ ‎【答案】｛3，5，13｝‎ ‎【解析】根据集合的运算，两个集合的交集就是两个集合中都有的元素，根据题意3，5，13在A集合与B集合中都出现了，所以A∩B=｛3，5，13｝‎ ‎【点评】本题考查集合的运算，难度较低，但考生在审题的时候容易错把交集看成补集，需要注意。‎ ‎12.已知向量a与b的夹角为‎60‎‎°‎，且a=(-2,-6)‎，b‎=‎‎10‎则a.b=‎.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】根据向量的数量积公式与向量模长公式：‎ a.b=abcosa,b,a=‎x‎2‎‎+‎y‎2‎ 得a‎=‎(-2)‎‎2‎‎+‎‎(-6)‎‎2‎=‎‎40‎ ，‎ 向量积：a.b=abcosa,b=a.b=‎40‎‎10‎cos‎60‎‎°‎=10‎。‎ ‎【点评】此题考查向量运算，难度较低，主要是公式的运用。‎ ‎13．将函数fx=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,-π‎2‎≤φ<π‎2‎)‎图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π‎6‎个单位长度得到y=sinx的图像，则fπ‎6‎=‎.‎ ‎【答案】‎‎2‎‎2‎ ‎【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数fx=sin⁡(ωx+φ)‎图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数fx=sin⁡(2ωx+φ)‎的图像，再根据平移变换规则：向右平移π‎6‎个单位长度得到函数fx=sin‎2ωx-‎π‎6‎+φ=fx=sin⁡(2ωx-πω‎3‎+φ)‎的函数图像，因此fx=sin‎2ωx-πω‎3‎+φ=sinx，得到ω=‎‎1‎‎2‎，‎-πω‎3‎+φ=-π‎6‎+φ=2kπ,因为‎-π‎2‎≤φ<‎π‎2‎，所以φ=‎π‎6‎，因此得到fx的解析式为fx=sinωx+φ=fx=sin‎1‎‎2‎x+‎π‎6‎，所以fπ‎6‎=sinπ‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎ ‎【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换，难度中等，关键是要记住三角函数图像变换规则，三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2，而不是除以2，这点学生容易记错。‎ ‎14.已知直线x-y+a=0‎与圆心为C的圆 x‎2‎‎+y‎2‎+2x-4y-4=0‎相交于A,B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为。‎ ‎【答案】a=0或a=6‎ ‎【解析】将圆的方程转换成标准方程得‎(x+1)‎‎2‎‎+‎(y-2)‎‎2‎=9‎, 圆C的圆心为(-1,2),半径为3，如图所示，因为直线x-y+a=0‎与圆C的交点A,B满足AC⊥BC，所以‎∆ABC为等腰直角三角形，则弦AB的长度为‎3‎‎2‎，且C到AB的距离为‎3‎‎2‎‎2‎，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为d=‎|-1-2+a|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎|-3+a|‎‎2‎,所以得‎|-3+a|‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎， ‎|-3+a|=3‎，所以a=0或a=6,‎ ‎【点评】此题考查直线与圆，关键在于运用点到直线的距离公式，而有的学生会想不到用距离公式来计算，难度中等。‎ ‎15.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 ‎7：30~7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为。（用数字作答）‎ ‎【答案】‎‎9‎‎32‎ ‎【解析】这是一个几何概型的题目，由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是x，小王到达学校的时间为y，则x,y满足‎0≤x≤20,0≤y≤20‎, 那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到5分钟可以用不等式x-y≥5‎表示，即图中的阴影部分，则小张比小王至少早5分钟到校的概率P=S阴影S正方形=‎15×15×‎‎1‎‎2‎‎20×20‎=‎‎9‎‎32‎。‎ ‎【点评】此题考查几何概型，关键是会区分几何概型的类型，此题为与面积有关的几何概型，关键是找到变量以及变量之间的关系，建立坐标系，难度中等。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分13分. （Ι）小问5分，（ΙΙ）小问8分）‎ 已知是以首项为1，公差为2的等差数列，是的前项和.‎ ‎（Ι）求和 ‎（ΙΙ）设是以2为首项的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和。‎ ‎【答案】（Ι）；（ΙΙ）‎ ‎【解析】（Ι）此题是对等差数列通项和前项和公式的直接考察，直接带入即可。‎ ‎（ΙΙ）由（1）知，，故，‎ ‎【点评】整道题都是属于简单基础题，纯粹是公式的套用.学生感到犯难的，是没有解方程的意识，以及看到那一大串式子所带来的恐惧感.‎ ‎17.本小题满分13分（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分；（III）小问5分。‎ ‎20名学生某次学生考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ ‎（3）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在的概率。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（ΙΙ）2，3（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知组距为10，频率总和为1可列如下等式 ‎【点评】此题主要考查的频率分布直方图，较为简单注意审题.‎ ‎18.（本小题满分13分. （Ι）小问5分，（ΙΙ）小问8分）‎ 在‎∆ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，‎且a+b+c=8‎ ‎（Ι）若a=2,b=‎‎5‎‎2‎，求cosC的值；‎ ‎（ΙΙ）若sinAcos‎2‎B‎2‎+sinBcos‎2‎A‎2‎=2sinC，且‎∆ ABC的面积S=‎9‎‎2‎sinC，求a和b的值.‎ ‎【答案】（Ι）‎-‎‎1‎‎5‎ （ΙΙ） ‎a=3,b=3‎ ‎【解析】（Ι）由题意可知：c=8-a+b=‎‎2‎‎7‎.‎ 由余弦定理得：cosC=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎-c‎2‎‎2ab=‎2‎‎2‎‎+‎(‎5‎‎2‎)‎‎2‎-‎‎(‎7‎‎2‎)‎‎2‎‎2∙2∙‎‎5‎‎2‎=-‎‎1‎‎5‎.‎ ‎（ΙΙ）由sinAcos‎2‎B‎2‎+sinBcos‎2‎A‎2‎=2sinC可得：‎ sinA‎1+cosB‎2‎+sinB‎1+cosA‎2‎=2sinC 化简得：‎sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC 因为sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sinC，所以sinA+sinB=3sinC.‎ 由正弦定理可知：a+b=3c.又因a+b+c=8‎，故a+b=6‎.‎ 由于S=‎1‎‎2‎absinC=‎9‎‎2‎sinC，所以ab=9‎，从而a‎2‎‎-6a+9=0‎，解得a=3,b=3‎.‎ ‎19.本小题满分12分（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。‎ 已知函数fx=x‎4‎+ax-lnx-‎‎3‎‎2‎,其中a∈R,且曲线y=fx在点‎(1,f‎1‎)‎处的切线垂直于直线y=‎1‎‎2‎x ‎（Ι）求a的值；‎ ‎（ΙΙ）求函数fx的单调区间和极值。‎ ‎【答案】（Ι）a=‎‎5‎‎4‎（ΙΙ）fx的单调递增区间为‎(5,+∞)‎；单调递减区间为‎(0,5)‎.‎ 并在x=5‎处取得极小值‎-ln5‎ ‎【解析】（Ι）对f（x）求导得f‎‘‎x‎=‎1‎‎4‎-ax‎2‎-‎‎1‎x,‎ ‎ 因为曲线y=fx在点‎(1,f‎1‎)‎处的切线垂直于直线y=‎1‎‎2‎x 所以f‎‘‎‎1‎‎=‎1‎‎4‎-a‎1‎-‎1‎‎1‎=-2‎ 解得：‎a=‎‎5‎‎4‎ ‎（ΙΙ）fx=x‎4‎+‎5‎‎4x-lnx-‎‎3‎‎2‎,其定义域为‎(0,+∞)‎ f‎‘‎x‎=‎1‎‎4‎-‎5‎‎4x‎2‎-‎1‎x=x‎2‎‎-4x-5‎‎4‎x‎2‎=‎‎(x-5)(x+1)‎‎4‎x‎2‎ 令f‎‘‎x‎≥0‎解得x≤-1或x≥5‎ 所以fx的单调递增区间为‎(5,+∞)‎；单调递减区间为‎(0,5)‎.‎ 并在x=5‎处取得极小值f‎5‎=‎5‎‎4‎+‎5‎‎20‎-ln5-‎3‎‎2‎=-ln5‎,‎ ‎20.本小题满分12分（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分。‎ 如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，,,为上一点，且 ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若，求四棱锥的体积 ‎【答案】（Ⅰ）略，在解析中呈现（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为底面，底面，故。‎ 因为是以为中心的菱形，，所以。‎ 又因为，所以，‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，，,在中，利用余弦定理可以求得 ‎.‎ 设，可得,‎ 又因为，解得，即.‎ 所以四棱锥的体积为 ‎【点评】总体来说难度不大，但是计算量稍高。特别是对平面几何的计算有很高的要求。而对于立体几何中的内容涉及不多。‎ ‎21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ 如题（21）图，设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右焦点分别为F‎1‎‎，‎F‎2‎，点D在椭圆上，DF‎1‎⊥‎F‎1‎F‎2‎，‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎|DF‎1‎|‎‎=2‎‎2‎，‎△DF‎1‎F‎2‎的面积为‎2‎‎2‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使得圆在x轴的上方与椭圆由两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设F‎1‎‎-c,0‎‎,‎F‎2‎c,0‎,其中a‎2‎‎-b‎2‎=‎c‎2‎ 由‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎|DF‎1‎|‎‎=2‎‎2‎得‎|DF‎1‎|‎=‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎2‎‎2‎=‎2‎‎2‎c 从而S‎△DF‎1‎F‎2‎=‎1‎‎2‎DF‎1‎‎|F‎1‎F‎2‎|‎=‎2‎‎2‎c‎2‎=‎2‎‎2‎，故c=1‎ 从而‎|DF‎1‎|=‎2‎‎2‎，由DF‎1‎⊥‎F‎1‎F‎2‎得‎|DF‎2‎|‎‎2‎‎=‎|DF‎1‎|‎‎2‎+‎|F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎=‎‎9‎‎2‎，因此‎|DF‎2‎|‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎ 所以‎2a=DF‎1‎+DF‎2‎=2‎‎2‎，故a=‎2‎，b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=1‎，‎ 因此所求椭圆的标准方程为 ‎（Ⅱ）如题（21）图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P‎1‎‎(x‎1‎,y‎1‎)‎,P‎2‎‎(x‎2‎,y‎2‎)‎是两个交点，y‎1‎‎>0, y‎2‎>0‎,F‎1‎P‎1‎,F‎2‎P‎2‎是圆C的切线，且F‎1‎P‎1‎‎⊥‎F‎2‎P‎2‎，由圆和椭圆的对称性，易知，x‎2‎‎=-‎x‎1‎，‎y‎2‎‎=y‎1‎ 由（Ⅰ）知F‎1‎‎-1,0‎‎,‎F‎2‎‎1,0‎，所以F‎1‎P‎1‎‎=(x‎1‎+1,y‎1‎)‎,F‎2‎P‎2‎‎=(‎-x‎1‎-1,y‎1‎)‎，再由F‎1‎P‎1‎‎⊥‎F‎2‎P‎2‎得‎-x‎1‎‎+1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎=0‎，由椭圆方程得‎1-x‎1‎‎2‎‎2‎=‎x‎1‎‎+1‎‎2‎,即‎3x‎1‎‎2‎+4x‎1‎=0‎.解得x‎1‎=‎ - ‎‎4‎‎3‎或x‎1‎=‎‎ 0‎ 当x‎1‎=‎ 0‎时P‎1‎‎、‎P‎2‎重合，题设要求的圆不存在 当x‎1‎=‎ - ‎‎4‎‎3‎时，过P‎1‎‎、‎P‎2‎分别与F‎1‎P‎1‎‎、‎F‎2‎P‎2‎垂直的直线交点即为圆心C，设C(0，y‎0‎)由CP‎1‎⊥‎F‎1‎P‎1‎,得y‎1‎‎-‎y‎0‎x‎1‎y‎1‎x‎1‎‎+1‎‎=-1‎,而y‎1‎‎=x‎1‎‎+1‎=‎‎1‎‎3‎，故y‎0‎‎=‎‎5‎‎3‎ 圆C的半径|CP‎1‎ |=‎‎-‎‎4‎‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎‎-‎‎5‎‎3‎‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎‎3‎ 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x‎2‎‎+y-‎‎5‎‎3‎‎2‎=‎‎32‎‎9‎ ‎【点评】：第一问运用椭圆的几何性质求标准方程，比较简单；第二问把椭圆和圆结合起来，查考了椭圆的对称性，圆的切线与半径垂直等性质，计算出圆心坐标，计算要仔细，难度与去年相比比较平稳。‎