函数模型及其应用练习题高考总复习

函数模型及其应用练习题高考总复习

第十节　函数模型及其应用 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过‎20 g，付邮费0.80元，超过‎20 g而不超过‎40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加‎20 g需增加邮费0.80元(信的质量在‎100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为‎72.5 g，则他应付邮费(　　)‎ A．3.20元 B．2.90元 C．2.80元 D．2.40元 解析　由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.‎ 答案　A ‎2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量 x和变量y的几组数据，如下表：‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎－0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x，y最适合的拟合函数是(　　)‎ A．y＝2x B．y＝x2－1‎ C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.‎ 答案　D ‎3．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于‎300 m2‎的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x ‎(单位：m)的取值范围是(　　)‎ A．[15,20]　　　B．[12,25]‎ C．[10,30]　　　D．[20,30]‎ 解析　如右图：过A作AM⊥BC交M，交DE于N；AM＝40，由相似三角形得：＝＝＝＝，解得AN＝x，MN＝40－x，则阴影部分的面积为S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C.‎ 答案　C ‎4．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为(　　)‎ A．2 800元 B．3 000元 C．3 800元 D．3 818元 解析　设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y＝ 如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，‎ ‎∴(x－800)×14%＝420.∴x＝3 800(元)．‎ 答案　C ‎5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)‎ A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 解析　依题意可设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．故当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．‎ 答案　B ‎6．已知某食品厂生产‎100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示：‎ 型号 小包装 大包装 质量 ‎100克 ‎300克 包装费 ‎0.5元 ‎0.8元 售价 ‎3.00元 ‎8.40元 下列说法中：‎ ‎①买小包装实惠；‎ ‎②买大包装实惠；‎ ‎③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；‎ ‎④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．‎ 所有正确的说法是(　　)‎ A．①④ B．①③‎ C．②③ D．②④‎ 解析　1包小包装每元买饼干克，1包大包装每元可买饼干＞克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．‎ 答案　D 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．‎ 解析　方法1：设计算机价格平均每年下降p%，‎ 由题意，可得＝(1－p%)3，∴p%＝1－.‎ ‎∴9年后的价格为 ‎8 100×9＝8 100×3＝300(元)．‎ 方法2：9年后的价格为8 100×3＝8 100×3＝300(元)．‎ 答案　300‎ ‎8．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间 ‎(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．‎ 解析　由题意解得 答案　60　16‎ ‎9．(2014·湖北武昌调研)某地西红柿从‎2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/‎100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：‎ 时间t ‎60‎ ‎100‎ ‎180‎ 种植成本Q ‎116‎ ‎84‎ ‎116‎ 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．‎ Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt 利用你选取的函数，求得：‎ ‎(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；‎ ‎(2)最低种植成本是________(元/‎100 kg)．‎ 解析　根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c且开口向上，对称轴t＝－＝＝120.‎ 代入数据得 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.‎ 最低种植成本是14 ‎400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120·(－2.4)＋84＋14 000×0.01＝80.‎ 答案　(1)120　(2)80‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)‎ ‎10．(2014·成都诊断)某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)＝5 ‎000m－‎500m2‎(0≤m≤5，m∈N)．‎ ‎(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x≤5，x∈N*)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)‎ ‎(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？‎ 解　(1)由题意得y＝5 000x－500x2－500－1 000x，‎ 即y＝－500x2＋4 000x－500(x≤5，x∈N*)．‎ ‎(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则 h(x)＝－500x2＋4 000x－500－u(x)‎ ‎＝－500x2＋3 500x－1 000，‎ ‎∵－500(x2－7x)－1 000＝－5002＋5 125(x≤3，x∈N*)，‎ ‎∴当x＝3(百台)时，h(x)max＝5 000(万元)．‎ 故当年生产量为300台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．‎ ‎11．(2014·日照模拟)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如右图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．‎ ‎(1)当t＝4时，求s的值；‎ ‎(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎(3)若N城位于M地正南方向，且距M地‎650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．‎ 解　(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，‎ ‎∴s＝×4×12＝24.‎ ‎(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，‎ 当10

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