【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-4幂函数与二次函数学案
§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性
质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．
提示 a>0且Δ≤0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.( × )
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．
( √ )
(3)函数y＝是幂函数．( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
题组二 教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a<－3 D．a≤－3
答案 D
解析 函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
题组三 易错自纠
4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．
答案 －1
解析 函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，
∴ymin＝2－6＋3＝－1.
6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案 >
解析 f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案 D
解析 设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．(2018·阜新模拟)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪
解析 不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a
0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
命题点2 二次函数的单调性
例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．
引申探究
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命题点3 二次函数的最值
例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
引申探究
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解 f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
(1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，
(2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝
命题点4 二次函数中的恒成立问题
例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－1)
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,
1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.
(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．
答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
跟踪训练2 (1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )
A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<0
答案 A
解析 ∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－在区间[0，＋∞)的左边或－＝0，即－≤0，得b≥0.
(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
答案 －1或3
解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意得a>－对1.
数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．
例 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<10，
解得m＝1.
4．若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3 D．00恒成立，
则a＝0或可得0≤a<3，
故当命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题时，a<0或a≥3.
5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f(0)＝f(4)，
得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，
∴4a＋b＝0，
又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，
∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
6．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a等于( )
A．2 B．0
C．0或－1 D．2或－1
答案 D
解析 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.
7．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0g(x)>f(x)
解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，
可知h(x)>g(x)>f(x)．
8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．
答案 f(x)＝－4x2－12x＋40
解析 设f(x)＝a2＋49(a≠0)，
方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2 ＝7，
所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
9．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是______________．
答案 [7，＋∞)
解析 函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)
开口向上，所以其对称轴x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.
10．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________．
答案 [0,4]
解析 令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.
11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足
解得－1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
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