甘肃省兰州市西北师大附中2020届高三6月诊断考试文科数学试题 Word版含解析

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西北师大附中 ‎2020届高三诊断考试试卷 高三文科数学 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解绝对值不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由解得，由解得，故，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查两个集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设，‎ 则，‎ ‎，，即，‎ 对应点为，在第四象限．‎ 故选：D．‎ 考点：复数的运算与几何意义．‎ - 21 -‎ ‎3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，‎ 高中生的近视人数为，故选B.‎ ‎【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.‎ ‎4.函数的零点所在区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数的定义域为，，则在其定义域上单调递增．因为，所以函数的零点在区间内，故选C ‎5.已知直线和平面，则的一个必要条件是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 与平面成等角 ‎【答案】D - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各个选项逐个加以分析：根据空间两直线的位置关系判定的方法，得到、两项都不具备必要性，故错；根据空间直线与平面的位置关系判定方法，得到没有必要性，而是一个必要非充分条件．由此可得正确答案．‎ ‎【详解】解：对于，若“且”则必定“或、相交或、是异面直线”成立，故充分性不成立．‎ 而若“ “则不一定“且”，可能，都垂直于，故必要性也不成立．故错；‎ 对于，若“且”则有“”成立，应该是充分不必要条件，故错；‎ 对于，若“且”成立，则有“或、是异面直线或、相交”成立，应该是既不充分也不必要条件，故错；‎ 对于，若“，与所成角相等”不能推出“”，说明没有充分性，‎ 反之若“”则必定有“，与所成角相等”成立，‎ 因此符合题是必要非充分条件，正确 故选：．‎ ‎【点睛】本题以空间直线的位置关系为例，考查了充分必要条件的判断，属于基础题．解题时应该注意合理利用空间直线与直线、平面与直线位置关系的常用结论．‎ ‎6.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意周期，，角的终边经过点，则，，．故选B．‎ - 21 -‎ 考点：三角函数的定义，三角函数的性质．‎ ‎7.已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意求出，再利用裂项求和法即可求解.‎ ‎【详解】是一个等差数列的前项和，则，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的前项和为 ‎，‎ 则.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．‎ ‎【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，‎ 则=，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，‎ ‎∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．‎ ‎∴S△PBC=S△ABC．‎ ‎∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：‎ P==．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．‎ ‎9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为-一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得出水面半径，求出水的体积，即可求出平地降雨量.‎ ‎【详解】由题意可得，天池盆上底半径为寸，下底面半径为寸，高为寸， ‎ 因积水深寸，所以水面半径为寸，‎ - 21 -‎ 则盆中水的体积为：（立方寸），‎ 所以平地降雨量为寸.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆台体积的相关计算，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎10.已知是实数，若圆与直线相切，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题设圆心到直线的距离，即，也即，因为，所以，即，解之得或，应选答案B．‎ 点睛：解答本题的关键是借助题设条件建立方程，然后再依据问题的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式建立了不等式，最后通过解不等式使得问题获解．‎ ‎11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 21 -‎ ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为，‎ 与联立,可得交点，‎ ‎∵若为锐角，则点M在以线段F1F2为直径的圆外，‎ ‎∴|OM|>|OF2|,即有，‎ ‎∴,即b2>3a2，‎ ‎∴c2−a2>3a2，即c>2a.‎ 则.‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).‎ 本题选择A选项.‎ ‎12.已知点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，若存在使得成立，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在直线上，得到两点间距离最近等价于函数的图象在点处的切线的斜率为2，得到过点的直线与直线的垂直，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，当函数的图象上点处的切线与函数平行时，‎ 此时函数的图象上点处的切线的斜率与函数的斜率相等，‎ - 21 -‎ 又由，所以，即，解得，从而，即，‎ 又由点到直线的距离为，‎ 所以过点的直线与直线的垂直，‎ 设点，则，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式和两直线位置关系的应用，其中解答中充分利用图象上的点到直线的距离最短时为过点的切线与该直线平行这一特性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ 二、填空题 ‎13.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．‎ ‎【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x﹣1，‎ ‎∴f（﹣）=﹣f（）=﹣（log2﹣1）=﹣（﹣﹣1）=，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．‎ ‎14.若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据题意，设向量与向量的夹角为，因为向量，的夹角为，且，，求得和，根据，即可求得夹角为.‎ ‎【详解】设向量与向量的夹角为，‎ 向量，的夹角为，且，，‎ 则 又 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知数列为等差数列，若，且其前项和有最大值，则使得的最大值为________．‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件，结合其前项和有最大值，可得数列的公差，从而得到，，根据求和公式可得，‎ - 21 -‎ ‎，最后得到结果.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 由它们的前项和有最大值，可得数列的公差，‎ 所以，，，‎ 所以，，‎ 所以使得的的最大值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，根据题意判断有关最值，属于简单题目.‎ ‎16.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.‎ ‎【详解】设该球的半径为R，则AB＝2R，2ACAB2R，‎ ‎∴ACR，‎ 由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，‎ 所以Rt△ABC面积SBC×ACR2，‎ 又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面体P﹣ABC的体积为，‎ - 21 -‎ ‎∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，‎ 所以：球的体积V πR3π×34π．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.‎ 三、解答题 ‎17.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若角边上的中线，求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知，利用正弦定理化简可得，注意到，，及可求的值 ‎(Ⅱ) 由，知，在中，由余弦定理可求，则的面积可求.‎ ‎【详解】(Ⅰ)，∴由正弦定理得：，即，‎ 又∵，∴，∴.又,所以，.‎ ‎(Ⅱ)由，知，在中，由余弦定理得，解得，∴.‎ - 21 -‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，O为与的交点，E为棱上一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD. （2）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P−EAD的体积.‎ ‎【详解】（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形是菱形，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面.‎ 而平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）解：∵平面，平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵是中点，∴是中点.‎ 取中点，连结，∵四边形是菱形，，‎ ‎∴，又，，∴平面，.‎ - 21 -‎ ‎.‎ ‎∴三棱锥体积.‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.‎ ‎19.手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.‎ 组数 第l组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 ‎20‎ ‎36‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎4‎ - 21 -‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接计算.‎ ‎（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.‎ ‎（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可知，‎ ‎，‎ ‎（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是 则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；‎ ‎（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.‎ 其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，‎ 所以抽取的2人来自同一个组的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎20.已知椭圆：的左，右焦点分别为，上顶点为.‎ - 21 -‎ 为抛物线的焦点，且，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知求出点坐标，由，得为线段的中点，求出，再由，得到，最后根据关系，求出，即可求出椭圆方程；‎ ‎（2）写出直线方程，与椭圆方程联立，得到坐标关系，进而表示出中点坐标，假设满足条件点存在，由，得到关系，利用的范围，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）由已知，设，‎ ‎，为线段的中点，‎ ‎，所以.‎ ‎，，‎ 在中，，‎ - 21 -‎ 所以，‎ 于是椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，，，‎ 取的中点为.‎ 假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，‎ 则.‎ 联立，整理得，‎ ‎，‎ ‎，又，所以.‎ 因为，所以，‎ ‎，即，‎ 因为，所以，即，‎ 整理得.‎ 因为时，，当且仅当等号成立，‎ - 21 -‎ ‎，所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系，要灵活应用根与系数关系解决相交弦坐标问题，以，为邻边的菱形等价转化为直线垂直关系是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正数的数列满足，，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导函数，通过研究函数的单调性，可得函数的最大值，注意函数的定义域;‎ ‎（2）在上恰有两个不等的实根转化为在上有两个不同的实根，设，，研究的单调性和值域可确定实数的取值范围；‎ ‎（3）由（1）知，当时，，转化为，故，‎ 当时，，然后由一般到特殊把得到的式子相乘即可.‎ ‎【详解】解：（1）函数的定义域为，，‎ ‎，，单调递增；‎ - 21 -‎ ‎，，单调递减.‎ 当时，取最大值.‎ ‎（2），由得在上有两个不同的实根，‎ 设，‎ ‎，当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎，，，‎ ‎，得，‎ 则.‎ ‎（3）由（1）知当时，.‎ 由已知条件，，‎ 故，‎ 所以当时，，，，，‎ ‎,，‎ 相乘得，‎ 又，故，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查：（1）求函数的最值问题；（2）已知方程根的情况求参数的范围，通过分离参数，转化为研究函数的单调性和值域（3）证明数列不等式，根据函数的最值得到函数不等式，通过放缩法证明数列不等式，有一定技巧性，对学生要求较高；是难题.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t - 21 -‎ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于不同的两点A，B.‎ ‎（1）求曲线C的参数方程；‎ ‎（2）若点P为直线与x轴的交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系和三角函数关系式的恒等变变换的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）等价于，‎ 将，代入上式，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为，即，‎ 所以曲线C的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）将代入曲线C的直角坐标方程，整理得；，‎ 由题意得，故，又，∴，‎ 设方程的两个实根分别为，，则，，‎ 所以与同号，由参数几何意义，可得 ‎，，‎ ‎∴，‎ - 21 -‎ ‎∵，‎ ‎∴，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎23.已知，函数的最小值为1．‎ ‎（1）证明：．‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值 ‎（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．‎ 详解：（Ⅰ）证明：‎ ‎，显然在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为恒成立，所以恒成立，‎ 当且仅当时，取得最小值，‎ - 21 -‎ 所以，即实数的最大值为．‎ 点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．‎ - 21 -‎