江苏省常州市武进区2013届高三上学期期中考试数学文试卷

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武进区教育学会2012～2013学年度第一学期期中 高三文科数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．已知集合，，则集合= ▲ ．‎ ‎2．已知向量，则向量与的夹角为 ▲ ．‎ ‎3．设直线是曲线上的一条切线，则切线斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ ．‎ ‎4．的周期是 ▲ ．‎ ‎5．公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 ▲ ．‎ ‎6．若实数满足，则= ▲ ．‎ ‎7．已知向量满足，.若与垂直，‎ 则 ▲ ．‎ ‎8．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上.如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 ▲ ．‎ ‎9．等差数列中，已知，，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎10．已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为 ▲ ．‎ ‎11．已知，若实数满足则的最小值为 ▲ ．‎ ‎12．过点C(2，5)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则= ‎ ‎▲ ．‎ ‎13．给出以下命题： ‎ ‎（1）在△ABC中，是的必要不充分条件；‎ ‎（2）在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形；‎ ‎（3）函数与函数是同一个函数；‎ ‎（4）函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.‎ 则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）．‎ ‎14．数列满足，则的前项和为 ▲ ．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 设函数.图像的一条对称轴是直线．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，试求的值.‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 长方体中，， ，、分别是和的中点，求证：（1）；（2）面.‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎ 已知，其中是自然常数，‎ ‎ (1)当时，求的单调区间和极值；‎ ‎ (2)若恒成立，求的取值范围.‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 已知曲线C：.‎ ‎ （1）证明：不论取何实数，曲线C必过定点；‎ ‎ （2）当时，若曲线C与直线相切，求的值.；‎ ‎ （3）对所有的且，是否存在直线与曲线C总相切？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 各项均为正数的数列中，前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎（2）若恒成立，求k的取值范围；‎ ‎(3)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 设函数是奇函数，且当时，取得极小值.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数的值；‎ ‎（3）设，（），求的最大值．‎ ‎ ‎ 武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试 高三文科数学试题评分标准 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． ‎ ‎7． 8． 9． 10． ‎ ‎11． 12． 13．（2）、（3） 14．420 ‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（1）∵是函数的图象的对称轴，‎ ‎∴，∴，………………2分 ‎∵－，∴， ………………4分 故 ………………6分 ‎（2）因为，‎ 所以， ………………8分 故 ‎＝ ………………11分 而 ‎＝.‎ 所以，. ………………14分 ‎16．（本题满分14分）‎ 证明：⑴ 取中点，连接、.‎ ‎、分别是和的中点，，，………………2分 ‎，，四边形是平行四边形，，…………5分 又，. ………………………7分 ‎ ⑵，，，，‎ ‎， ‎ ‎，，‎ ‎，， ………………10分 又长方体，，‎ ‎，，‎ ‎，，………………12分 又，，‎ 面.………………………14分 ‎17．（本题满分14分）‎ 解：(1) …………………………2分 ‎∴当时，，此时为单调递减；‎ 当时，，此时为单调递增. ………………4分 ‎∴当的极小值为，无极大值………………………………6分 ‎（2）法一：∵，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，………………8分 令，，‎ ‎∴………………10分 令，则，‎ 当时，，此时为单调递增，‎ 当时，，此时为单调递减， ………………12分 ‎∴，‎ ‎∴. ………………14分 法二：由条件：在上恒成立 令，，， ………………8分 时，恒成立，∴在上递减，‎ ‎∴；‎ 由条件知∴ 与矛盾. ………………10分 时，令，∴‎ 当时，，此时为单调递增，‎ 当时，，此时为单调递减，‎ ‎，‎ ‎∴ ………………12分 即. ………………14分 ‎18．（本题满分16分）‎ 解：(1)证明:曲线C的方程可变形为，‎ 由， ………………2分 解得，点满足C的方程，‎ 故曲线C过定点. ………………4分 ‎(2)原方程配方得;由于，所以，‎ 所以C的方程表示圆心是，半径是的圆. ………………6分 由题意得圆心到直线距离， ………………8分 ‎∴，解得. ………………10分 ‎（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为，则有，‎ 消去得，故圆心必在直线上.‎ 又曲线C过定点，所以存在直线与曲线C总相切， ………………12分 直线过点且与直线垂直；‎ ‎∴方程为即. ………………16分 法二：假设存在直线满足条件，显然不垂直于轴，设，‎ 圆心到直线距离，‎ ‎ ∴对所有的且都成立，………………12分 即恒成立 ‎∴ ∴‎ ‎∴存在直线：即与曲线C总相切. ………………16分 ‎19．（本题满分16分）‎ 解：(1) ，，‎ 两式相减得， ………………2分 整理得， ‎ 数列的各项均为正数，，‎ 是公差为的等差数列， ………………4分 又得，. ………………5分 ‎（2）由题意得，‎ ‎，‎ ‎ ………………8分 ‎ ………………10分 ‎ (3)对任意，，则，‎ 而，由题意可知， ………………12分 于是 ‎ ‎， ‎ 即. ………………16分 ‎20．（本题满分16分）‎ 解：（1）为奇函数，， ………………2分 又由及，得， ‎ ‎； ………………4分 ‎ 当时，，当时，‎ 在时取得极小值，为所求 ………………5分 ‎（2）方程化简得： ，‎ 因为方程仅有整数解，故为整数，‎ 又由及知，. ………………7分 又，故为16的正约数， ………………9分 所以，进而得到. ………………10分 ‎（3）因为是偶函数，所以只要求出在上的最大值即可.记，，‎ ‎（1）时，，在上单调增且.‎ ‎∴，故； ………………12分 ‎（2）时，由得，和，‎ ‎①当即时，在[0，1]上单调减，‎ ‎∴，故，‎ ‎； ………………14分 ‎②当即时，在单调减，单调增，‎ ‎（Ⅰ）当，即时，，∴，‎ ‎（Ⅱ）当，即时，，∴，‎ 综上可知，. ………………16分