中考最值系列之胡不归问题
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最值系列之“胡不归”问题
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能
会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问
题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当
赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不
断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道 AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1
0）与 x 轴从左至
右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 3
3y x b 与抛物线的另一交
点为 D．
（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A
出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速
度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直
线 解 析 式 为 3 4 3
3 3y x ， D 点 坐 标 为 5,3 3 ， 故 抛 物 线 解 析 式 为
3 2 49y x x ，化简为： 23 2 3 8 3
9 9 9y x x ．另外为了突出问题，此处略去了
该题的第二小问．
点 M 运动的时间为 1
2AF DF
，即求 1
2AF DF
的最小值．
接下来问题便是如何构造
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DF ，考虑 BD 与 x 轴夹角为 30°，且 DF 方向不变，故过点 D 作
DM∥x 轴，过点 F 作 FH⊥DM 交 DM 于 H 点，则任意位置均有 FH= 2
DF ．
当 A、F、H 共线时取到最小值，根据 A、D 两点坐标可得结果．
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【2018 重庆中考】抛物线 26 2 3 66 3y x x 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），
与 y 轴交于点 C．点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于
点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O1B1，当 1
2PE EC 的值最大时，
求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O1 的坐标．（为突出问题，删去了两个
小问）
【分析】根据抛物线解析式得 A 3 2,0 、B 2,0 、C 0, 6 ，直线 AC 的解析式为：
3 63y x ，可知 AC 与 x 轴夹角为 30°．
根据题意考虑，P 在何处时，PE+ 2
EC 取到最大值．过点 E 作 EH⊥y 轴交 y 轴于 H 点，则
∠CEH=30°，故 CH= 2
EC ，问题转化为 PE+CH 何时取到最小值．
考虑到 PE 于 CH 并无公共端点，故用代数法计算，设 26 2 3, 66 3P m m m
，则
3, 63E m m
， 30, 63H m
， 26 36PE m m ， 3
3CH m ，
226 4 3 6 4 6= 2 26 3 6 3PE CH m m m 5sin 5ABE
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当 P 点坐标为 2 2, 6 时，取到最小值，故确定 P、C、求四边形面积最小值，运用将军
饮马模型解题即可．
